哈尔测度的唯一性定理的证明概要
字数 5028 2025-12-22 07:18:43

哈尔测度的唯一性定理的证明概要

接下来我将系统性地讲解哈尔测度的唯一性定理的证明思路。为了透彻理解，我们将按照“概念定义 -> 定理陈述 -> 证明的核心思路与步骤 -> 技术细节与难点 -> 推论与应用”的逻辑顺序展开。请先确保对“哈尔测度”的基本概念（左不变性、右不变性、局部紧群）有了解。

第一步：回顾核心概念——哈尔测度

在开始证明之前，需要明确两个核心概念：

  1. 局部紧群 (Locally Compact Group, LCG)： 一个群 \(G\)，同时是一个局部紧豪斯多夫拓扑空间，且群运算 \((x, y) \mapsto xy\) 和求逆 \(x \mapsto x^{-1}\) 都是连续映射。例如：欧几里得空间 \(\mathbb{R}^n\)、环面 \(\mathbb{T}^n\)、一般线性群 \(GL(n, \mathbb{R})\) 等。
  2. 哈尔测度 (Haar Measure)： 在局部紧群 \(G\) 的波莱尔 σ-代数上的一个（正）拉东测度 \(\mu\)，满足：
  • 左不变性： 对任何波莱尔集 \(E \subset G\) 和任何 \(g \in G\)，有 \(\mu(gE) = \mu(E)\)。
  • 局部有限性： 对 \(G\) 的任意紧集 \(K\)，有 \(\mu(K) < \infty\)。
  • 内正则性： 对任意开集 \(U\)，有 \(\mu(U) = \sup\{\mu(K) : K \subset U, K \text{ 紧}\}\)。
  • 外正则性： 对任意波莱尔集 \(E\)，有 \(\mu(E) = \inf\{\mu(U) : E \subset U, U \text{ 开}\}\)。

哈尔测度的存在性是一个深刻定理（已讲过），这里我们关注其唯一性。

第二步：定理的精确陈述

哈尔测度的唯一性定理：

设 \(G\) 是一个局部紧群。若 \(\mu\) 和 \(\nu\) 是 \(G\) 上的两个左哈尔测度（即满足上述定义的左不变拉东测度），则存在一个正常数 \(c > 0\)，使得对 \(G\) 的所有波莱尔集 \(E\)，有 \(\nu(E) = c \cdot \mu(E)\)。

换言之，在相差一个正数乘法的意义下，局部紧群上的左哈尔测度是唯一的。对于右哈尔测度，结论同样成立，但乘数常数可能不同（与模函数相关）。

第三步：证明的核心思路与结构

证明的核心在于将比较两个测度的问题，转化为利用它们的不变性来构造一个线性泛函，并证明该泛函本质上是唯一的。主要步骤如下：

步骤 3.1：从测度到线性泛函

  1. 设 \(\mu\) 和 \(\nu\) 是两个左哈尔测度。对任意在 \(G\) 上具有紧支撑的连续函数 \(f \in C_c(G)\)，我们可以构造一个新的函数 \(F_f: G \to \mathbb{C}\)，定义为：

\[ F_f(g) = \frac{\int_G f(x) \, d\nu(x)}{\int_G f(g^{-1}x) \, d\mu(x)}. \]

但直接这样处理分母可能为零。更标准的方法是固定一个非负、非零的“参考函数” \(h \in C_c^+(G)\)（即 \(h \ge 0\) 且不恒为零）。

步骤 3.2：构造一个“平均算子”
2. 对任意 \(f \in C_c(G)\)，定义算子 \(T_h f: G \to \mathbb{C}\) 为：

\[ (T_h f)(g) = \frac{\int_G f(x) h(g^{-1}x) \, d\mu(x)}{\int_G h(g^{-1}x) \, d\mu(x)}. \]

这里，分母 \(\int_G h(g^{-1}x) \, d\mu(x)\) 由于 \(h\) 的紧支撑性和 \(\mu\) 的局部有限性，是一个正的连续函数（不会为零）。
3. 关键观察：由于 \(\mu\) 是左不变的，经过变量替换可以证明，函数 \((T_h f)(g)\) 实际上是与 \(g\) 无关的常数！也就是说，存在一个常数 \(c(f, h, \mu)\)，使得对所有 \(g \in G\)，有 \((T_h f)(g) = c(f, h, \mu)\)。

  • 推导要点：利用 \(\mu\) 的左不变性，将分子和分母中的积分变量 \(x\) 同时替换为 \(g^{-1}x\) 或 \(gx\)，可以验证对于任意 \(g_1, g_2\)，有 \((T_h f)(g_1) = (T_h f)(g_2)\)。

步骤 3.3：将常数与另一个测度联系起来
4. 现在，我们将这个“平均算子”与第二个哈尔测度 \(\nu\) 结合。考虑积分 \(\int_G (T_h f)(g) \, d\nu(g)\)。由于 \((T_h f)(g)\) 是常数 \(c(f, h, \mu)\)，我们有：

\[ \int_G (T_h f)(g) \, d\nu(g) = c(f, h, \mu) \cdot \nu(\text{supp}(h)). \]

（这里 \(\nu(\text{supp}(h)) < \infty\) 是因为 \(\text{supp}(h)\) 是紧集，而 \(\nu\) 是拉东测度。）
5. 另一方面，我们可以直接计算这个积分。交换积分顺序（由富比尼定理保证，因为被积函数是非负或可积的），并利用 \(\nu\) 的左不变性，可以得到：

\[ \int_G (T_h f)(g) \, d\nu(g) = \frac{\int_G f(x) \, d\nu(x) \cdot \int_G h(y) \, d\mu(y)}{\int_G h(y) \, d\mu(y)} = \int_G f(x) \, d\nu(x). \]

（注意：这里有一个巧妙的对称性。分母 \(\int_G h(g^{-1}x) d\mu(x)\) 与 \(g\) 无关，实际上等于 \(\int_G h(y) d\mu(y)\)。分子部分在交换积分后，对 \(g\) 的积分利用了 \(\nu\) 的不变性，将含有 \(g\) 的部分积分掉。）

步骤 3.4：得出比例关系
6. 联立步骤4和步骤5的结果，我们得到：

\[ \int_G f(x) \, d\nu(x) = c(f, h, \mu) \cdot \nu(\text{supp}(h)). \]

现在，关键点在于常数 \(c(f, h, \mu)\) 本质上只依赖于测度 \(\mu\) 和函数 \(f, h\)，而与 \(\nu\) 无关。从步骤2和3的构造可知，\(c(f, h, \mu)\) 是由 \(\mu\) 和 \(h\) 完全决定的。
7. 如果我们将上述推理中的 \(\mu\) 和 \(\nu\) 角色互换，固定同一个 \(h\)，我们会得到另一个关系：

\[ \int_G f(x) \, d\mu(x) = c(f, h, \nu) \cdot \mu(\text{supp}(h)). \]

然而，通过分析算子 \(T_h\) 的定义，我们可以发现 \(c(f, h, \mu)\) 和 \(c(f, h, \nu)\) 所满足的函数方程是相同的，并且它们作为 \(f\) 的线性泛函是正的和左不变的。在 \(C_c(G)\) 上，满足这些性质的线性泛函是唯一的（相差常数倍）。
8. 因此，存在一个常数 \(c > 0\)（这个常数可能依赖于 \(h, \mu, \nu\)），使得对 所有 \(f \in C_c(G)\)，有：

\[ \int_G f(x) \, d\nu(x) = c \cdot \int_G f(x) \, d\mu(x). \]

这个常数 \(c\) 就是 \(\nu(\text{supp}(h)) / \mu(\text{supp}(h))\) 吗？ 不完全是，因为在推导中 \(h\) 是任意固定的。实际上，最终的常数 \(c\) 与 \(h\) 的选择无关，它纯粹是 \(\nu\) 相对于 \(\mu\) 的“缩放因子”。

步骤 3.5：从函数到集合
9. 最后一步，需要将对所有连续紧支撑函数成立的积分等式，推广到所有波莱尔集。这是通过拉东测度的正则性和里斯表示定理来完成的。

  • 等式 \(\int f \, d\nu = c \int f \, d\mu\) 对所有 \(f \in C_c(G)\) 成立，意味着由 \(\nu\) 和 \(c\mu\) 诱导出的两个正线性泛函在 \(C_c(G)\) 上相等。
    • 根据里斯表示定理，局部紧豪斯多夫空间上的正线性泛函与正则波莱尔测度一一对应。
  • 因此，作为正则波莱尔测度，\(\nu\) 和 \(c\mu\) 必须相等。即对任意波莱尔集 \(E\)，有 \(\nu(E) = c \cdot \mu(E)\)。

第四步：证明中的技术细节与难点

  • 分母非零的处理： 选择参考函数 \(h \in C_c^+(G)\) 是关键。由于 \(\mu\) 是正则的且 \(h\) 非零，可以证明函数 \(g \mapsto \int_G h(g^{-1}x) d\mu(x)\) 是正且连续的，从而保证分母不为零，算子 \(T_h\) 定义良好。
  • 交换积分顺序与富比尼定理： 在步骤5中交换 \(\int_G d\nu(g)\) 和 \(\int_G d\mu(x)\) 的次序，需要验证被积函数的可积性。这可以利用 \(f\) 和 \(h\) 的紧支撑性以及 \(\mu, \nu\) 的局部有限性来构造一个紧集包裹住支撑，从而在乘积测度 \(\nu \times \mu\) 上可积。
  • 泛函的唯一性： 步骤7中声称“在 \(C_c(G)\) 上，正的、左不变的线性泛函在相差常数倍的意义下唯一”，这本身就是哈尔测度唯一性的一种等价表述。其证明通常依赖于一个逼近论证：对于任意两个非负函数 \(f, \varphi \in C_c^+(G)\)，可以通过对 \(\varphi\) 的平移平均来逼近 \(f\) 的积分，从而建立两个泛函的比例关系。
  • 从函数到测度的过渡： 最后一步依赖 里斯表示定理 和 拉东测度的正则性。这保证了测度完全由其在连续紧支撑函数上的积分所决定。

第五步：定理的推论与应用

  1. 模函数 (Modular Function)： 若 \(\mu\) 是左哈尔测度，则对固定的 \(g \in G\)，集合函数 \(E \mapsto \mu(Eg)\) 也是一个左哈尔测度。由唯一性定理，存在一个正数 \(\Delta(g)\) 使得 \(\mu(Eg) = \Delta(g) \mu(E)\)。函数 \(\Delta: G \to \mathbb{R}^+\) 称为群 \(G\) 的模函数。它是刻画群“左右差异”的关键。
  2. 哈尔测度的归一化 (Normalization)： 在具体群（如 \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{T}^n\)）上，我们可以通过唯一性定理，将哈尔测度归一化为某种标准形式（如 \(\mathbb{R}^n\) 上的勒贝格测度）。
  3. 商群上的测度： 唯一性定理是构造齐性空间（如商群 \(G/H\)）上不变测度的基础。在证明存在性后，唯一性可以帮助确定该测度的具体形式。
  4. 调和分析的基础： 哈尔测度的唯一性确保了傅里叶变换、卷积等概念在局部紧群上有良好定义的基础，因为所有计算都在一个确定的测度框架下进行（至多差一个常数因子）。

总结：哈尔测度唯一性定理的证明，精髓在于利用不变性构造一个与群元素无关的“平均算子”，将两个测度的比较问题转化为对连续函数积分泛函的比较，再通过里斯表示定理将函数层面的等式提升到测度层面。证明巧妙地结合了拓扑（紧支撑连续性）、分析（积分交换）和测度论（正则性、表示定理）的工具。

哈尔测度的唯一性定理的证明概要 接下来我将系统性地讲解 哈尔测度的唯一性定理 的证明思路。为了透彻理解，我们将按照“概念定义 -> 定理陈述 -> 证明的核心思路与步骤 -> 技术细节与难点 -> 推论与应用”的逻辑顺序展开。请先确保对“哈尔测度”的基本概念（左不变性、右不变性、局部紧群）有了解。 第一步：回顾核心概念——哈尔测度 在开始证明之前，需要明确两个核心概念： 局部紧群 (Locally Compact Group, LCG) ： 一个群 \( G \)，同时是一个局部紧豪斯多夫拓扑空间，且群运算 \((x, y) \mapsto xy\) 和求逆 \(x \mapsto x^{-1}\) 都是连续映射。例如：欧几里得空间 \(\mathbb{R}^n\)、环面 \(\mathbb{T}^n\)、一般线性群 \(GL(n, \mathbb{R})\) 等。 哈尔测度 (Haar Measure) ： 在局部紧群 \(G\) 的波莱尔 σ-代数上的一个（正）拉东测度 \(\mu\)，满足： 左不变性 ： 对任何波莱尔集 \(E \subset G\) 和任何 \(g \in G\)，有 \(\mu(gE) = \mu(E)\)。 局部有限性 ： 对 \(G\) 的任意紧集 \(K\)，有 \(\mu(K) < \infty\)。 内正则性 ： 对任意开集 \(U\)，有 \(\mu(U) = \sup\{\mu(K) : K \subset U, K \text{ 紧}\}\)。 外正则性 ： 对任意波莱尔集 \(E\)，有 \(\mu(E) = \inf\{\mu(U) : E \subset U, U \text{ 开}\}\)。 哈尔测度的存在性是一个深刻定理（已讲过），这里我们关注其唯一性。 第二步：定理的精确陈述 哈尔测度的唯一性定理 ： 设 \(G\) 是一个局部紧群。若 \(\mu\) 和 \(\nu\) 是 \(G\) 上的两个左哈尔测度（即满足上述定义的左不变拉东测度），则存在一个正常数 \(c > 0\)，使得对 \(G\) 的所有波莱尔集 \(E\)，有 \(\nu(E) = c \cdot \mu(E)\)。 换言之，在相差一个正数乘法的意义下，局部紧群上的左哈尔测度是唯一的。对于右哈尔测度，结论同样成立，但乘数常数可能不同（与模函数相关）。 第三步：证明的核心思路与结构 证明的核心在于将比较两个测度的问题，转化为利用它们的 不变性 来构造一个线性泛函，并证明该泛函本质上是唯一的。主要步骤如下： 步骤 3.1：从测度到线性泛函 设 \(\mu\) 和 \(\nu\) 是两个左哈尔测度。对任意在 \(G\) 上具有紧支撑的连续函数 \(f \in C_ c(G)\)，我们可以构造一个新的函数 \(F_ f: G \to \mathbb{C}\)，定义为： \[ F_ f(g) = \frac{\int_ G f(x) \, d\nu(x)}{\int_ G f(g^{-1}x) \, d\mu(x)}. \] 但直接这样处理分母可能为零。更标准的方法是固定一个非负、非零的“参考函数” \(h \in C_ c^+(G)\)（即 \(h \ge 0\) 且不恒为零）。 步骤 3.2：构造一个“平均算子” 2. 对任意 \(f \in C_ c(G)\)，定义算子 \(T_ h f: G \to \mathbb{C}\) 为： \[ (T_ h f)(g) = \frac{\int_ G f(x) h(g^{-1}x) \, d\mu(x)}{\int_ G h(g^{-1}x) \, d\mu(x)}. \] 这里，分母 \(\int_ G h(g^{-1}x) \, d\mu(x)\) 由于 \(h\) 的紧支撑性和 \(\mu\) 的局部有限性，是一个正的连续函数（不会为零）。 3. 关键观察 ：由于 \(\mu\) 是左不变的，经过变量替换可以证明，函数 \((T_ h f)(g)\) 实际上是与 \(g\) 无关的常数 ！也就是说，存在一个常数 \(c(f, h, \mu)\)，使得对所有 \(g \in G\)，有 \((T_ h f)(g) = c(f, h, \mu)\)。 * 推导要点 ：利用 \(\mu\) 的左不变性，将分子和分母中的积分变量 \(x\) 同时替换为 \(g^{-1}x\) 或 \(gx\)，可以验证对于任意 \(g_ 1, g_ 2\)，有 \((T_ h f)(g_ 1) = (T_ h f)(g_ 2)\)。 步骤 3.3：将常数与另一个测度联系起来 4. 现在，我们将这个“平均算子”与第二个哈尔测度 \(\nu\) 结合。考虑积分 \(\int_ G (T_ h f)(g) \, d\nu(g)\)。由于 \((T_ h f)(g)\) 是常数 \(c(f, h, \mu)\)，我们有： \[ \int_ G (T_ h f)(g) \, d\nu(g) = c(f, h, \mu) \cdot \nu(\text{supp}(h)). \] （这里 \(\nu(\text{supp}(h)) < \infty\) 是因为 \(\text{supp}(h)\) 是紧集，而 \(\nu\) 是拉东测度。） 5. 另一方面，我们可以直接计算这个积分。交换积分顺序（由富比尼定理保证，因为被积函数是非负或可积的），并利用 \(\nu\) 的左不变性，可以得到： \[ \int_ G (T_ h f)(g) \, d\nu(g) = \frac{\int_ G f(x) \, d\nu(x) \cdot \int_ G h(y) \, d\mu(y)}{\int_ G h(y) \, d\mu(y)} = \int_ G f(x) \, d\nu(x). \] （注意：这里有一个巧妙的对称性。分母 \(\int_ G h(g^{-1}x) d\mu(x)\) 与 \(g\) 无关，实际上等于 \(\int_ G h(y) d\mu(y)\)。分子部分在交换积分后，对 \(g\) 的积分利用了 \(\nu\) 的不变性，将含有 \(g\) 的部分积分掉。） 步骤 3.4：得出比例关系 6. 联立步骤4和步骤5的结果，我们得到： \[ \int_ G f(x) \, d\nu(x) = c(f, h, \mu) \cdot \nu(\text{supp}(h)). \] 现在，关键点在于常数 \(c(f, h, \mu)\) 本质上只依赖于测度 \(\mu\) 和函数 \(f, h\)，而与 \(\nu\) 无关。从步骤2和3的构造可知，\(c(f, h, \mu)\) 是由 \(\mu\) 和 \(h\) 完全决定的。 7. 如果我们将上述推理中的 \(\mu\) 和 \(\nu\) 角色互换，固定同一个 \(h\)，我们会得到另一个关系： \[ \int_ G f(x) \, d\mu(x) = c(f, h, \nu) \cdot \mu(\text{supp}(h)). \] 然而，通过分析算子 \(T_ h\) 的定义，我们可以发现 \(c(f, h, \mu)\) 和 \(c(f, h, \nu)\) 所满足的函数方程是相同的，并且它们作为 \(f\) 的线性泛函是正的和左不变的。在 \(C_ c(G)\) 上，满足这些性质的线性泛函是唯一的（相差常数倍）。 8. 因此，存在一个常数 \(c > 0\)（这个常数可能依赖于 \(h, \mu, \nu\)），使得对 所有 \(f \in C_ c(G)\)，有： \[ \int_ G f(x) \, d\nu(x) = c \cdot \int_ G f(x) \, d\mu(x). \] 这个常数 \(c\) 就是 \(\nu(\text{supp}(h)) / \mu(\text{supp}(h))\) 吗？ 不完全是，因为在推导中 \(h\) 是任意固定的。实际上，最终的常数 \(c\) 与 \(h\) 的选择无关，它纯粹是 \(\nu\) 相对于 \(\mu\) 的“缩放因子”。 步骤 3.5：从函数到集合 9. 最后一步，需要将对所有连续紧支撑函数成立的积分等式，推广到所有波莱尔集。这是通过 拉东测度的正则性 和 里斯表示定理 来完成的。 * 等式 \(\int f \, d\nu = c \int f \, d\mu\) 对所有 \(f \in C_ c(G)\) 成立，意味着由 \(\nu\) 和 \(c\mu\) 诱导出的两个正线性泛函在 \(C_ c(G)\) 上相等。 * 根据里斯表示定理，局部紧豪斯多夫空间上的正线性泛函与正则波莱尔测度一一对应。 * 因此，作为正则波莱尔测度，\(\nu\) 和 \(c\mu\) 必须相等。即对任意波莱尔集 \(E\)，有 \(\nu(E) = c \cdot \mu(E)\)。 第四步：证明中的技术细节与难点 分母非零的处理 ： 选择参考函数 \(h \in C_ c^+(G)\) 是关键。由于 \(\mu\) 是正则的且 \(h\) 非零，可以证明函数 \(g \mapsto \int_ G h(g^{-1}x) d\mu(x)\) 是正且连续的，从而保证分母不为零，算子 \(T_ h\) 定义良好。 交换积分顺序与富比尼定理 ： 在步骤5中交换 \(\int_ G d\nu(g)\) 和 \(\int_ G d\mu(x)\) 的次序，需要验证被积函数的可积性。这可以利用 \(f\) 和 \(h\) 的紧支撑性以及 \(\mu, \nu\) 的局部有限性来构造一个紧集包裹住支撑，从而在乘积测度 \(\nu \times \mu\) 上可积。 泛函的唯一性 ： 步骤7中声称“在 \(C_ c(G)\) 上，正的、左不变的线性泛函在相差常数倍的意义下唯一”，这本身就是哈尔测度唯一性的一种等价表述。其证明通常依赖于一个逼近论证：对于任意两个非负函数 \(f, \varphi \in C_ c^+(G)\)，可以通过对 \(\varphi\) 的平移平均来逼近 \(f\) 的积分，从而建立两个泛函的比例关系。 从函数到测度的过渡 ： 最后一步依赖 里斯表示定理 和 拉东测度的正则性 。这保证了测度完全由其在连续紧支撑函数上的积分所决定。 第五步：定理的推论与应用 模函数 (Modular Function) ： 若 \(\mu\) 是左哈尔测度，则对固定的 \(g \in G\)，集合函数 \(E \mapsto \mu(Eg)\) 也是一个左哈尔测度。由唯一性定理，存在一个正数 \(\Delta(g)\) 使得 \(\mu(Eg) = \Delta(g) \mu(E)\)。函数 \(\Delta: G \to \mathbb{R}^+\) 称为群 \(G\) 的模函数。它是刻画群“左右差异”的关键。 哈尔测度的归一化 (Normalization) ： 在具体群（如 \(\mathbb{R}^n\), \(\mathbb{T}^n\)）上，我们可以通过唯一性定理，将哈尔测度归一化为某种标准形式（如 \(\mathbb{R}^n\) 上的勒贝格测度）。 商群上的测度 ： 唯一性定理是构造齐性空间（如商群 \(G/H\)）上不变测度的基础。在证明存在性后，唯一性可以帮助确定该测度的具体形式。 调和分析的基础 ： 哈尔测度的唯一性确保了傅里叶变换、卷积等概念在局部紧群上有良好定义的基础，因为所有计算都在一个确定的测度框架下进行（至多差一个常数因子）。 总结 ：哈尔测度唯一性定理的证明，精髓在于利用不变性构造一个与群元素无关的“平均算子”，将两个测度的比较问题转化为对连续函数积分泛函的比较，再通过里斯表示定理将函数层面的等式提升到测度层面。证明巧妙地结合了拓扑（紧支撑连续性）、分析（积分交换）和测度论（正则性、表示定理）的工具。