分析学词条：哈尔测度（Haar Measure）
字数 4578 2025-12-22 04:40:16

好的，我们开始。

分析学词条：哈尔测度（Haar Measure）

哈尔测度是调和分析、表示论和拓扑群理论中的核心概念。它本质上是定义在“拓扑群”上的一种特殊的测度，具有“平移不变性”。让我们一步一步来理解。

第一步：前置概念——拓扑群

要理解哈尔测度，首先需要知道它定义在什么对象上。

  1. 群（Group）：一个集合 \(G\)，配备一个二元运算（比如记作乘法 \(\cdot\)），满足：
  • 封闭性：如果 \(g, h \in G\)，那么 \(g \cdot h \in G\)。
  • 结合律：\((g \cdot h) \cdot k = g \cdot (h \cdot k)\)。
  • 单位元存在：存在元素 \(e \in G\)，使得对任意 \(g \in G\)，有 \(e \cdot g = g \cdot e = g\)。
  • 逆元存在：对任意 \(g \in G\)，存在元素 \(g^{-1} \in G\)，使得 \(g \cdot g^{-1} = g^{-1} \cdot g = e\)。
  • 例子：全体非零实数 \(\mathbb{R}^*\) 在乘法下构成一个群；全体整数 \(\mathbb{Z}\) 在加法下构成一个群。

  1. 拓扑空间（Topological Space）：一个集合，其中定义了“开集”的概念，使得我们可以谈论连续性、极限、邻域等。一个度量空间（如 \(\mathbb{R}^n\)）自然地就是一个拓扑空间。

  2. 拓扑群（Topological Group）：当一个群 \(G\) 同时也是一个拓扑空间，并且群运算（乘法和取逆）都相对于这个拓扑是连续映射时，就称 \(G\) 为拓扑群。

  • 连续性要求：映射 \((g, h) \mapsto g \cdot h\) 和 \(g \mapsto g^{-1}\) 都是连续的。
  • 例子：实数集 \(\mathbb{R}\)（加法群）、圆群 \(\mathbb{T} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \}\)（乘法群）、一般线性群 \(GL(n, \mathbb{R})\)（可逆实数矩阵的集合，配备矩阵乘法和由 \(\mathbb{R}^{n^2}\) 诱导的拓扑）。

第二步：哈尔测度的定义与性质

现在，我们在一个拓扑群 \(G\) 上定义测度。回忆勒贝格测度，它是在欧氏空间 \(\mathbb{R}^n\) 上定义的。勒贝格测度有一个关键性质：平移不变性。即，对于一个可测集 \(E\) 和任意向量 \(x \in \mathbb{R}^n\)，集合 \(x + E = \{ x + y : y \in E \}\) 的测度等于 \(E\) 的测度。

哈尔测度将这一思想推广到一般的拓扑群上，但“平移”变成了群的运算。

  • 左哈尔测度（Left Haar Measure）：拓扑群 \(G\) 上的一个（非零）左不变的正则的博雷尔测度 \(\mu\)。
  • 博雷尔测度：定义在 \(G\) 上由开集生成的 \(\sigma\)-代数（博雷尔 \(\sigma\)-代数）上的测度。
  • 正则性：既是内正则的（对任何博雷尔集 \(E\)，有 \(\mu(E) = \sup \{ \mu(K) : K \subset E, K \text{ 紧} \}\)），也是外正则的（\(\mu(E) = \inf \{ \mu(U) : E \subset U, U \text{ 开} \}\)）。这保证了测度与拓扑的兼容性。
  • 左不变性（核心性质）：对于任意博雷尔集 \(E \subset G\) 和任意群元素 \(g \in G\)，有

\[ \mu(gE) = \mu(E) \]

其中 \(gE = \{ g \cdot h : h \in E \}\) 是 \(E\) 的左平移。
* 意义：这个测度在群的作用下是“均匀”的。用这个测度去“称量”一个集合，无论你把它用群运算移动到什么位置，它的“大小”都是一样的。

  • 右哈尔测度：类似地，可以定义右不变测度 \(\nu\)，满足 \(\nu(Eg) = \nu(E)\)，其中 \(Eg = \{ h \cdot g : h \in E \}\)。

第三步：哈尔测度的存在性、唯一性与模函数

这是一个深刻的定理：

  • 存在性与唯一性定理（哈尔，1933）：在局部紧的拓扑群 \(G\) 上，存在一个左哈尔测度。并且，如果 \(\mu_1\) 和 \(\mu_2\) 是两个左哈尔测度，那么它们只相差一个正常数因子，即存在 \(c > 0\)，使得对所有可测集 \(E\)，有 \(\mu_1(E) = c \cdot \mu_2(E)\)。我们说左哈尔测度在正数倍的意义下是唯一的。

    • “局部紧”是一个拓扑条件（每一点都有一个紧邻域），它保证了群有足够的“有限性”来支撑一个正则测度。我们讨论的大多数重要群（如矩阵群、李群）都是局部紧的。

  • 左与右的关系——模函数：
    对于一个给定的左哈尔测度 \(\mu\)，我们用左群作用去移动它：对固定的 \(g \in G\)，定义一个新的测度 \(\mu_g\) 为 \(\mu_g(E) = \mu(Eg)\)。
    可以证明，\(\mu_g\) 也是一个左哈尔测度！根据唯一性定理，必然存在一个正数 \(\Delta(g) > 0\)，使得

\[ \mu(Eg) = \Delta(g) \cdot \mu(E) \]

对所有博雷尔集 \(E\) 成立。
这个函数 \(\Delta: G \to (0, \infty)\) 称为群 \(G\) 的模函数（或哈尔模）。

  • 幺模群：如果 \(\Delta(g) \equiv 1\) 对所有的 \(g \in G\) 成立，这意味着左哈尔测度同时也是右哈尔测度。此时我们称 \(G\) 为幺模群。
  • 幺模群的例子：所有紧群（如有限群、特殊正交群 \(SO(n)\)）、所有阿贝尔群（群运算可交换，如 \(\mathbb{R}^n\)）、所有离散群（如整数集 \(\mathbb{Z}\)）、所有半单李群（如 \(SL(n, \mathbb{R})\)）。

第四步：具体例子与计算

  1. 加法群 \(\mathbb{R}^n\)：
    • 这是一个局部紧的阿贝尔群。
  • 标准的勒贝格测度 \(m\) 就是一个（左）哈尔测度。由于群是阿贝尔的，左平移 \(x+E\) 和右平移 \(E+x\) 是一回事，所以勒贝格测度既是左不变也是右不变的。\(\mathbb{R}^n\) 是幺模的。
  1. 乘法群 \(\mathbb{R}^+ = (0, \infty)\)：
  • 群的运算是乘法 \((x, y) \mapsto xy\)。
  • 一个左哈尔测度是 \(d\mu_L(x) = \frac{dx}{x}\)。我们来验证左不变性：将集合 \(E\) 左乘以常数 \(a > 0\)，得到 \(aE = \{ ax : x \in E \}\)。测度变为

\[ \mu_L(aE) = \int_{aE} \frac{dx}{x} \quad \text{令 } y = x/a \Rightarrow x = ay, \, dx = a\, dy \]

\[ = \int_E \frac{a\, dy}{ay} = \int_E \frac{dy}{y} = \mu_L(E) \]

  • 那么，右哈尔测度呢？计算右平移 \(Ea = \{ xa : x \in E \}\) 的测度：

\[ \mu_L(Ea) = \int_{Ea} \frac{dx}{x} \quad \text{令 } y = x/a \Rightarrow x = ya, \, dx = a\, dy \]

\[ = \int_E \frac{a\, dy}{ya} = \int_E \frac{dy}{y} = \mu_L(E) \]

  • 等等，这似乎表明 \(d\mu_L(x) = dx/x\) 也是右不变的？别急，我们漏掉了集合变化时积分区域的变化。实际上，上面的变量代换是正确的，它证明了 \(\mu_L(Ea) = \mu_L(E)\)。这意味着在这个特定的群上，我们选择的左哈尔测度恰好也是右哈尔测度，所以 \(\mathbb{R}^+\) 也是幺模群。模函数 \(\Delta(a) \equiv 1\)。
  1. 矩阵群 \(G = GL(1, \mathbb{R}) = \mathbb{R}^*\) （非零实数乘法群）：
  • 这比 \(\mathbb{R}^+\) 多了负数的部分。它由两个连通分支组成：正数和负数。
  • 一个左哈尔测度是 \(d\mu(x) = \frac{dx}{|x|}\)。可以验证，对任意 \(a \neq 0\)，有 \(\mu(aE) = \mu(E)\)。
  1. 仿射群 \(G = \{ (a, b) : a > 0, b \in \mathbb{R} \}\)，群运算为 \((a, b) \cdot (a‘, b’) = (aa‘, ab’ + b)\)：
    • 这是一个非阿贝尔且非紧的群，出现在小波分析中。
  • 可以找到一个左哈尔测度：\(d\mu_L(a, b) = \frac{da \, db}{a^2}\)。
  • 其右哈尔测度不同：\(d\mu_R(a, b) = \frac{da \, db}{a}\)。
  • 通过计算可以发现模函数 \(\Delta(a, b) = \frac{1}{a}\)。这体现了左右测度的差异。

第五步：重要性与应用

哈尔测度为在群上做积分（称为哈尔积分）提供了基础，这是许多领域的基石：

  1. 抽象调和分析：在局部紧群上定义傅里叶变换，研究其性质。
  2. 表示论：在构造群的酉表示时，需要在群上进行积分。哈尔测度是定义卷积、研究表示的不可约性和正交性的关键工具。
  3. 遍历理论：研究群作用在测度空间上的动力系统。哈尔测度提供了群自身作为一个齐性空间的自然不变测度。
  4. 数论：在阿代尔环和代数群的研究中，哈尔测度是核心工具。
  5. 几何：在李群上，哈尔测度与不变微分形式相联系，用于计算体积和积分几何量。
  6. 应用数学：在小波分析中，仿射群上的哈尔测度（或其修正）用于构造小波基。

总结：哈尔测度是勒贝格测度在拓扑群上的自然推广，其核心在于平移不变性。它存在于所有局部紧群上，并且在正数倍意义下唯一。模函数刻画了左右不变测度的差异。哈尔测度是将分析工具（积分、傅里叶分析）引入具有对称性结构（群结构）的领域的桥梁。

好的，我们开始。 分析学词条：哈尔测度（Haar Measure） 哈尔测度是调和分析、表示论和拓扑群理论中的核心概念。它本质上是定义在“拓扑群”上的一种特殊的测度，具有“平移不变性”。让我们一步一步来理解。 第一步：前置概念——拓扑群 要理解哈尔测度，首先需要知道它定义在什么对象上。 群（Group） ：一个集合 \( G \)，配备一个二元运算（比如记作乘法 \( \cdot \)），满足： 封闭性 ：如果 \( g, h \in G \)，那么 \( g \cdot h \in G \)。 结合律 ：\( (g \cdot h) \cdot k = g \cdot (h \cdot k) \)。 单位元存在 ：存在元素 \( e \in G \)，使得对任意 \( g \in G \)，有 \( e \cdot g = g \cdot e = g \)。 逆元存在 ：对任意 \( g \in G \)，存在元素 \( g^{-1} \in G \)，使得 \( g \cdot g^{-1} = g^{-1} \cdot g = e \)。 例子 ：全体非零实数 \( \mathbb{R}^* \) 在乘法下构成一个群；全体整数 \( \mathbb{Z} \) 在加法下构成一个群。 拓扑空间（Topological Space） ：一个集合，其中定义了“开集”的概念，使得我们可以谈论连续性、极限、邻域等。一个度量空间（如 \( \mathbb{R}^n \)）自然地就是一个拓扑空间。 拓扑群（Topological Group） ：当一个群 \( G \) 同时也是一个拓扑空间，并且群运算（乘法和取逆）都相对于这个拓扑是连续映射时，就称 \( G \) 为拓扑群。 连续性要求 ：映射 \( (g, h) \mapsto g \cdot h \) 和 \( g \mapsto g^{-1} \) 都是连续的。 例子 ：实数集 \( \mathbb{R} \)（加法群）、圆群 \( \mathbb{T} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \} \)（乘法群）、一般线性群 \( GL(n, \mathbb{R}) \)（可逆实数矩阵的集合，配备矩阵乘法和由 \( \mathbb{R}^{n^2} \) 诱导的拓扑）。 第二步：哈尔测度的定义与性质 现在，我们在一个拓扑群 \( G \) 上定义测度。回忆勒贝格测度，它是在欧氏空间 \( \mathbb{R}^n \) 上定义的。勒贝格测度有一个关键性质： 平移不变性 。即，对于一个可测集 \( E \) 和任意向量 \( x \in \mathbb{R}^n \)，集合 \( x + E = \{ x + y : y \in E \} \) 的测度等于 \( E \) 的测度。 哈尔测度将这一思想推广到一般的拓扑群上，但“平移”变成了群的运算。 左哈尔测度（Left Haar Measure） ：拓扑群 \( G \) 上的一个（非零） 左不变 的 正则 的 博雷尔测度 \( \mu \)。 博雷尔测度 ：定义在 \( G \) 上由开集生成的 \( \sigma \)-代数（博雷尔 \( \sigma \)-代数）上的测度。 正则性 ：既是内正则的（对任何博雷尔集 \( E \)，有 \( \mu(E) = \sup \{ \mu(K) : K \subset E, K \text{ 紧} \} \)），也是外正则的（\( \mu(E) = \inf \{ \mu(U) : E \subset U, U \text{ 开} \} \)）。这保证了测度与拓扑的兼容性。 左不变性（核心性质） ：对于任意博雷尔集 \( E \subset G \) 和任意群元素 \( g \in G \)，有 \[ \mu(gE) = \mu(E) \] 其中 \( gE = \{ g \cdot h : h \in E \} \) 是 \( E \) 的 左平移 。 意义 ：这个测度在群的作用下是“均匀”的。用这个测度去“称量”一个集合，无论你把它用群运算移动到什么位置，它的“大小”都是一样的。 右哈尔测度 ：类似地，可以定义右不变测度 \( \nu \)，满足 \( \nu(Eg) = \nu(E) \)，其中 \( Eg = \{ h \cdot g : h \in E \} \)。 第三步：哈尔测度的存在性、唯一性与模函数 这是一个深刻的定理： 存在性与唯一性定理（哈尔，1933） ：在 局部紧 的拓扑群 \( G \) 上，存在一个左哈尔测度。并且，如果 \( \mu_ 1 \) 和 \( \mu_ 2 \) 是两个左哈尔测度，那么它们只相差一个正常数因子，即存在 \( c > 0 \)，使得对所有可测集 \( E \)，有 \( \mu_ 1(E) = c \cdot \mu_ 2(E) \)。我们说 左哈尔测度在正数倍的意义下是唯一的 。 “局部紧”是一个拓扑条件（每一点都有一个紧邻域），它保证了群有足够的“有限性”来支撑一个正则测度。我们讨论的大多数重要群（如矩阵群、李群）都是局部紧的。 左与右的关系——模函数 ： 对于一个给定的左哈尔测度 \( \mu \)，我们用左群作用去移动它：对固定的 \( g \in G \)，定义一个新的测度 \( \mu_ g \) 为 \( \mu_ g(E) = \mu(Eg) \)。 可以证明，\( \mu_ g \) 也是一个左哈尔测度！根据唯一性定理，必然存在一个正数 \( \Delta(g) > 0 \)，使得 \[ \mu(Eg) = \Delta(g) \cdot \mu(E) \] 对所有博雷尔集 \( E \) 成立。 这个函数 \( \Delta: G \to (0, \infty) \) 称为群 \( G \) 的 模函数 （或哈尔模）。 幺模群 ：如果 \( \Delta(g) \equiv 1 \) 对所有的 \( g \in G \) 成立，这意味着左哈尔测度同时也是右哈尔测度。此时我们称 \( G \) 为 幺模群 。 幺模群的例子 ：所有 紧群 （如有限群、特殊正交群 \( SO(n) \)）、所有 阿贝尔群 （群运算可交换，如 \( \mathbb{R}^n \)）、所有 离散群 （如整数集 \( \mathbb{Z} \)）、所有 半单李群 （如 \( SL(n, \mathbb{R}) \)）。 第四步：具体例子与计算 加法群 \( \mathbb{R}^n \) ： 这是一个局部紧的阿贝尔群。 标准的勒贝格测度 \( m \) 就是一个（左）哈尔测度。由于群是阿贝尔的，左平移 \( x+E \) 和右平移 \( E+x \) 是一回事，所以勒贝格测度既是左不变也是右不变的。\( \mathbb{R}^n \) 是幺模的。 乘法群 \( \mathbb{R}^+ = (0, \infty) \) ： 群的运算是乘法 \( (x, y) \mapsto xy \)。 一个左哈尔测度是 \( d\mu_ L(x) = \frac{dx}{x} \)。我们来验证左不变性：将集合 \( E \) 左乘以常数 \( a > 0 \)，得到 \( aE = \{ ax : x \in E \} \)。测度变为 \[ \mu_ L(aE) = \int_ {aE} \frac{dx}{x} \quad \text{令 } y = x/a \Rightarrow x = ay, \, dx = a\, dy \] \[ = \int_ E \frac{a\, dy}{ay} = \int_ E \frac{dy}{y} = \mu_ L(E) \] 那么，右哈尔测度呢？计算右平移 \( Ea = \{ xa : x \in E \} \) 的测度： \[ \mu_ L(Ea) = \int_ {Ea} \frac{dx}{x} \quad \text{令 } y = x/a \Rightarrow x = ya, \, dx = a\, dy \] \[ = \int_ E \frac{a\, dy}{ya} = \int_ E \frac{dy}{y} = \mu_ L(E) \] 等等，这似乎表明 \( d\mu_ L(x) = dx/x \) 也是右不变的？别急，我们漏掉了集合变化时积分区域的变化。实际上，上面的变量代换是正确的，它证明了 \( \mu_ L(Ea) = \mu_ L(E) \)。这意味着在这个特定的群上，我们选择的左哈尔测度恰好也是右哈尔测度，所以 \( \mathbb{R}^+ \) 也是幺模群。模函数 \( \Delta(a) \equiv 1 \)。 矩阵群 \( G = GL(1, \mathbb{R}) = \mathbb{R}^* \) （非零实数乘法群） ： 这比 \( \mathbb{R}^+ \) 多了负数的部分。它由两个连通分支组成：正数和负数。 一个左哈尔测度是 \( d\mu(x) = \frac{dx}{|x|} \)。可以验证，对任意 \( a \neq 0 \)，有 \( \mu(aE) = \mu(E) \)。 仿射群 \( G = \{ (a, b) : a > 0, b \in \mathbb{R} \} \)，群运算为 \( (a, b) \cdot (a‘, b’) = (aa‘, ab’ + b) \) ： 这是一个 非阿贝尔 且 非紧 的群，出现在小波分析中。 可以找到一个左哈尔测度：\( d\mu_ L(a, b) = \frac{da \, db}{a^2} \)。 其右哈尔测度不同：\( d\mu_ R(a, b) = \frac{da \, db}{a} \)。 通过计算可以发现模函数 \( \Delta(a, b) = \frac{1}{a} \)。这体现了左右测度的差异。 第五步：重要性与应用 哈尔测度为在群上做积分（称为哈尔积分）提供了基础，这是许多领域的基石： 抽象调和分析 ：在局部紧群上定义傅里叶变换，研究其性质。 表示论 ：在构造群的酉表示时，需要在群上进行积分。哈尔测度是定义卷积、研究表示的不可约性和正交性的关键工具。 遍历理论 ：研究群作用在测度空间上的动力系统。哈尔测度提供了群自身作为一个齐性空间的自然不变测度。 数论 ：在阿代尔环和代数群的研究中，哈尔测度是核心工具。 几何 ：在李群上，哈尔测度与不变微分形式相联系，用于计算体积和积分几何量。 应用数学 ：在小波分析中，仿射群上的哈尔测度（或其修正）用于构造小波基。 总结 ：哈尔测度是勒贝格测度在拓扑群上的自然推广，其核心在于 平移不变性 。它存在于所有局部紧群上，并且在正数倍意义下唯一。模函数刻画了左右不变测度的差异。哈尔测度是将分析工具（积分、傅里叶分析）引入具有对称性结构（群结构）的领域的桥梁。