量子力学中的KMS条件 KMS条件（Kubo-Martin-Schwinger条件）是量子统计力学中描述平衡态的一个重要数学工具。它给出了系统在温度有限时的平衡态（Gibbs态）的刻画，并在代数量子场论和量子动力学中有广泛应用。下面逐步介绍其核心思想。 1. 背景：有限温度下的量子系统 在温度为 \( T \) 的平衡态中，量子系统的统计行为由 Gibbs 态描述： \[ \rho_ \beta = \frac{e^{-\beta H}}{\mathrm{Tr}(e^{-\beta H})}, \quad \beta = \frac{1}{k_ B T} \] 其中 \( H \) 是系统哈密顿量。可观测量 \( A \) 的期望值为： \[ \langle A \rangle_ \beta = \mathrm{Tr}(\rho_ \beta A) \] 在无限系统（如热力学极限）中，Gibbs 公式可能失效，但 KMS 条件仍可定义平衡态。 2. 两点函数的解析性要求 考虑时间演化 \( A(t) = e^{iHt} A e^{-iHt} \)。在 Gibbs 态下，两点关联函数 \[ F_ {A,B}(t) = \langle A(t) B \rangle_ \beta \] 满足以下性质：若定义复值函数 \[ G_ {A,B}(z) = \langle A(z) B \rangle_ \beta, \quad z \in \mathbb{C} \] 则 \( G_ {A,B}(t) \) 可解析延拓到复平面上的带状区域 \( 0 < \mathrm{Im}(z) < \beta \)（对某些算子需谨慎定义），且在边界满足： \[ F_ {A,B}(t + i\beta) = \langle B A(t) \rangle_ \beta \] 这就是 KMS 条件的原始形式： 虚时间平移 \( i\beta \) 交换算符顺序 。 3. 数学表述（C* -代数版本） 在代数量子理论中，系统由 C* -代数 \( \mathcal{A} \) 描述，时间演化由单参数自同构群 \( \alpha_ t \) 给出。态 \( \omega \) 满足 \( \beta \)-KMS 条件，若对任意 \( A, B \in \mathcal{A} \)： 存在函数 \( F_ {A,B}(z) \) 在带形区域 \( 0 < \mathrm{Im}(z) < \beta \) 内解析，在闭带上连续，且满足边界条件： \[ F_ {A,B}(t) = \omega(\alpha_ t(A) B), \quad F_ {A,B}(t + i\beta) = \omega(B \alpha_ t(A)) \] 这等价于在傅里叶空间表示下的能谱条件（涨落-耗散定理）。 4. 物理含义与例子 周期性条件 ：KMS 条件可视为虚时间方向的周期性条件，周期为 \( i\beta \)。这在路径积分表述中对应有限温度场的周期性边界条件。 自由费米子示例 ：对于自由费米子，温度 \( T \) 下的格林函数满足 \( G(\tau + \beta) = -G(\tau) \)（反周期性），这是费米子 KMS 条件的体现。 模理论 ：在冯诺依曼代数框架下，KMS 态对应的模自同构是 Tomita-Takesaki 理论的核心，用于构造动力学子系统。 5. 推广与应用 局部平衡 ：KMS 条件可局部化，用于定义非平衡稳态的近似。 代数量子场论 ：在弯曲时空中，KMS 条件用于定义哈特尔-霍金温度（黑洞热力学）。 非交换几何 ：与谱三重态和热核理论密切相关。 KMS 条件将温度引入量子动力学的代数结构，是连接统计物理与算子代数的重要桥梁。