达朗贝尔公式
- 基本概念引入
达朗贝尔公式是描述一维波动方程初值问题解析解的数学表达式。考虑无限长弦的振动问题，其控制方程为：
\[ u_{tt} = c^2 u_{xx}, \quad -\infty < x < \infty, \ t>0, \]
其中 \(u(x,t)\) 表示弦的位移，\(c\) 为波速。初始条件给定为：
\[ u(x,0) = f(x), \quad u_t(x,0) = g(x). \]
该公式的目标是通过 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 直接表示解 \(u(x,t)\)。
- 行波法与特征坐标变换
波动方程的关键特性是解可表示为行波叠加。引入特征坐标（又称行波坐标）：
\[ \xi = x - ct, \quad \eta = x + ct. \]
通过链式法则将偏导数转换为新坐标下的形式：
\[ u_x = u_\xi + u_\eta, \quad u_{xx} = u_{\xi\xi} + 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}, \]
\[ u_t = -c u_\xi + c u_\eta, \quad u_{tt} = c^2 (u_{\xi\xi} - 2u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}). \]
代入原方程后化简得：
\[ u_{\xi\eta} = 0. \]
- 通解与物理意义
方程 \(u_{\xi\eta} = 0\) 的通解为：
\[ u(\xi, \eta) = F(\xi) + G(\eta), \]
即：
\[ u(x,t) = F(x - ct) + G(x + ct). \]
这里 \(F(x - ct)\) 表示以速度 \(c\) 向右传播的波，\(G(x + ct)\) 表示向左传播的波。解的结构明确体现了一维波动由两个相反方向的波叠加而成。
- 利用初始条件确定特定解
将通解代入初始条件：
\[ u(x,0) = F(x) + G(x) = f(x), \]
\[ u_t(x,0) = -c F'(x) + c G'(x) = g(x). \]
对第二式积分（从 \(x_0\) 到 \(x\)）：
\[ -F(x) + G(x) = \frac{1}{c} \int_{x_0}^x g(s) \, ds + C, \]
结合 \(F(x) + G(x) = f(x)\)，解得：
\[ F(x) = \frac{1}{2} f(x) - \frac{1}{2c} \int_{x_0}^x g(s) \, ds - \frac{C}{2}, \]
\[ G(x) = \frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2c} \int_{x_0}^x g(s) \, ds + \frac{C}{2}. \]
- 达朗贝尔公式的最终形式
将 \(F\) 和 \(G\) 的表达式代回通解，并取 \(x_0 = x - ct\)（消除常数 \(C\)），得到：
\[ u(x,t) = \frac{1}{2} [f(x - ct) + f(x + ct)] + \frac{1}{2c} \int_{x - ct}^{x + ct} g(s) \, ds. \]
此即达朗贝尔公式，其物理意义为：解由初始位移 \(f(x)\) 的左右传播平均（第一项）和初始速度 \(g(x)\) 的累积效应（第二项）共同构成。
- 示例与验证
若初始位移 \(f(x) = e^{-x^2}\)，初始速度 \(g(x) = 0\)，则解为：
\[ u(x,t) = \frac{1}{2} \left( e^{-(x - ct)^2} + e^{-(x + ct)^2} \right). \]
该解表示两个高斯波包向左右对称扩散。可通过直接求导验证其满足波动方程及初始条件。
- 应用与扩展
达朗贝尔公式仅适用于一维无界区域。对于有限区间或高维问题，需结合边界条件使用分离变量法或格林函数法。公式还揭示了依赖区间的概念：点 \((x,t)\) 的解仅由初始区间 \([x - ct, x + ct]\) 上的数据决定，体现了波动传播的因果特性。