斯蒂尔切斯积分（Stieltjes Integral）
字数 2771 2025-12-21 21:16:32

斯蒂尔切斯积分（Stieltjes Integral）

斯蒂尔切斯积分是黎曼积分的一种推广，它将积分区间上的“长度”概念从通常的勒贝格测度推广到由单调递增函数定义的测度。它是连接黎曼积分与勒贝格-斯蒂尔杰斯积分的重要桥梁。

  1. 动机与背景
    在标准黎曼积分中，我们计算函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的积分，本质上是将区间分割成小区间，用小区间的“长度”（即 \(\Delta x_i\)）乘以函数值进行加权求和。斯蒂尔切斯积分的思想是：这个“长度”是否可以用另一种方式衡量？例如，如果某些点或子区间在物理或概率意义上更为重要，我们能否用一个单调递增函数 \(\alpha(x)\) 的增量 \(\Delta \alpha_i = \alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})\) 来替代 \(\Delta x_i\)，作为新的“权重”进行积分？这就是斯蒂尔切斯积分（通常指黎曼-斯蒂尔切斯积分）的核心思想。

  2. 黎曼-斯蒂尔切斯积分的定义
    设 \(f\) 和 \(\alpha\) 是定义在闭区间 \([a, b]\) 上的实值函数，且 \(\alpha\) 是单调递增的。

  • 分割：取区间 \([a, b]\) 的一个分割 \(P: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\)。
  • 取样点：在每个子区间 \([x_{i-1}, x_i]\) 上任取一点 \(t_i\)。
  • 黎曼-斯蒂尔切斯和：构造和式 \(S(P, f, \alpha) = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) [\alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})]\)。
  • 积分存在性：如果存在一个数 \(I\)，使得对于任意 \(\epsilon > 0\)，都存在 \(\delta > 0\)，只要分割 \(P\) 的模（最长子区间长度）\(\|P\| < \delta\)，不论取样点 \(t_i\) 如何选择，都有 \(|S(P, f, \alpha) - I| < \epsilon\)，则称 \(f\) 关于 \(\alpha\) 在 \([a, b]\) 上是黎曼-斯蒂尔切斯可积的，记此极限值 \(I\) 为 \(\int_a^b f(x) d\alpha(x)\)，称为斯蒂尔切斯积分。
  1. 可积性条件
    并非所有函数对 \((f, \alpha)\) 都可积。一些重要的充分条件包括：
  • 若 \(f\) 连续，\(\alpha\) 单调递增，则 \(f\) 关于 \(\alpha\) 黎曼-斯蒂尔切斯可积。
  • 若 \(f\) 有界，\(\alpha\) 单调递增且在 \(f\) 的所有不连续点处连续，则 \(f\) 关于 \(\alpha\) 可积。
  • 若 \(f\) 与 \(\alpha\) 在区间上有公共的不连续点，则积分可能不存在。这一点比黎曼积分（仅要求 \(f\) 的不连续点集为零测集）更复杂，因为 \(\alpha\) 的跳跃会影响积分的存在性。
  1. 性质
  • 线性性：积分关于被积函数 \(f\) 和积分器函数 \(\alpha\) 都是线性的。
  • 区间可加性：\(\int_a^c f d\alpha + \int_c^b f d\alpha = \int_a^b f d\alpha\)。
  • 分部积分公式：这是其关键性质之一。若 \(\int_a^b f d\alpha\) 存在，则 \(\int_a^b \alpha df\) 也存在，且有 \(\int_a^b f(x) d\alpha(x) = f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a) - \int_a^b \alpha(x) df(x)\)。这为计算某些积分提供了便利。
  • 与黎曼积分的关系：当 \(\alpha(x) = x\) 时，斯蒂尔切斯积分退化为普通的黎曼积分。
  1. 几何与物理意义
  • 几何：当 \(f(x) \ge 0\) 时，\(\int_a^b f d\alpha\) 可以解释为以 \(\alpha\) 为“横向尺度”的曲线下的面积。如果 \(\alpha\) 是阶梯函数，积分就退化为对 \(f\) 在 \(\alpha\) 的跳跃点处的值的加权和。
  • 物理/概率：若将 \(\alpha(x)\) 视为质量在区间 \((-\infty, x]\) 上的总质量分布函数（可能是连续的，也可能在点质量处有跳跃），那么 \(\int_a^b f d\alpha\) 可以表示物理量 \(f\) （如力、势能）关于该质量分布的加权总和。在概率论中，若 \(\alpha\) 是随机变量的分布函数，则此积分就是数学期望 \(E[f(X)]\) 的黎曼-斯蒂尔切斯积分形式。
  1. 推广：勒贝格-斯蒂尔杰斯积分
    黎曼-斯蒂尔切斯积分仍有局限性，例如对函数 \(f\) 的要求较强（需要几乎处处连续）。为了处理更一般的函数（如可测函数），需要将其推广到勒贝格-斯蒂尔杰斯积分。
  • 核心思想：由单调递增函数 \(\alpha\) 可以在实数直线上诱导出一个勒贝格-斯蒂尔杰斯测度 \(\mu_\alpha\)。这个测度满足：对于区间 \((a, b]\)，有 \(\mu_\alpha((a, b]) = \alpha(b+) - \alpha(a+)\)。
  • 然后，关于这个测度 \(\mu_\alpha\) 对可测函数 \(f\) 进行勒贝格积分：\(\int_{[a, b]} f d\mu_\alpha\)。
  • 当 \(f\) 连续且 \(\alpha\) 单调递增时，勒贝格-斯蒂尔杰斯积分与黎曼-斯蒂尔切斯积分相等。但前者适用范围更广，可以处理有界变差函数 \(\alpha\)（通过若尔当分解）和更广泛的可积函数 \(f\)，并拥有一套完整的收敛定理（如单调收敛定理、控制收敛定理）。

总结来说，斯蒂尔切斯积分是一个承上启下的概念：它从黎曼积分的分割求和思想出发，通过引入一个单调递增的“积分器”函数来改变积分的权重，从而能够处理离散与连续混合的分布。它最终被更强大、更一般的勒贝格-斯蒂尔杰斯积分理论所包含和超越，成为现代测度论和概率论中定义积分（尤其是关于分布函数的期望）的一个直观起点和特例。

斯蒂尔切斯积分（Stieltjes Integral） 斯蒂尔切斯积分是黎曼积分的一种推广，它将积分区间上的“长度”概念从通常的勒贝格测度推广到由单调递增函数定义的测度。它是连接黎曼积分与勒贝格-斯蒂尔杰斯积分的重要桥梁。 动机与背景 在标准黎曼积分中，我们计算函数 \( f(x) \) 在区间 \([ a, b]\) 上的积分，本质上是将区间分割成小区间，用小区间的“长度”（即 \( \Delta x_ i \)）乘以函数值进行加权求和。斯蒂尔切斯积分的思想是：这个“长度”是否可以用另一种方式衡量？例如，如果某些点或子区间在物理或概率意义上更为重要，我们能否用一个单调递增函数 \( \alpha(x) \) 的增量 \( \Delta \alpha_ i = \alpha(x_ i) - \alpha(x_ {i-1}) \) 来替代 \( \Delta x_ i \)，作为新的“权重”进行积分？这就是斯蒂尔切斯积分（通常指黎曼-斯蒂尔切斯积分）的核心思想。 黎曼-斯蒂尔切斯积分的定义 设 \( f \) 和 \( \alpha \) 是定义在闭区间 \([ a, b]\) 上的实值函数，且 \( \alpha \) 是 单调递增 的。 分割 ：取区间 \([ a, b]\) 的一个分割 \( P: a = x_ 0 < x_ 1 < \cdots < x_ n = b \)。 取样点 ：在每个子区间 \([ x_ {i-1}, x_ i]\) 上任取一点 \( t_ i \)。 黎曼-斯蒂尔切斯和 ：构造和式 \( S(P, f, \alpha) = \sum_ {i=1}^{n} f(t_ i) [ \alpha(x_ i) - \alpha(x_ {i-1}) ] \)。 积分存在性 ：如果存在一个数 \( I \)，使得对于任意 \( \epsilon > 0 \)，都存在 \( \delta > 0 \)，只要分割 \( P \) 的模（最长子区间长度）\( \|P\| < \delta \)，不论取样点 \( t_ i \) 如何选择，都有 \( |S(P, f, \alpha) - I| < \epsilon \)，则称 \( f \) 关于 \( \alpha \) 在 \([ a, b]\) 上是 黎曼-斯蒂尔切斯可积 的，记此极限值 \( I \) 为 \( \int_ a^b f(x) d\alpha(x) \)，称为斯蒂尔切斯积分。 可积性条件 并非所有函数对 \( (f, \alpha) \) 都可积。一些重要的充分条件包括： 若 \( f \) 连续 ，\( \alpha \) 单调递增，则 \( f \) 关于 \( \alpha \) 黎曼-斯蒂尔切斯可积。 若 \( f \) 有界，\( \alpha \) 单调递增且在 \( f \) 的所有不连续点处 连续 ，则 \( f \) 关于 \( \alpha \) 可积。 若 \( f \) 与 \( \alpha \) 在区间上有 公共的不连续点 ，则积分可能不存在。这一点比黎曼积分（仅要求 \( f \) 的不连续点集为零测集）更复杂，因为 \( \alpha \) 的跳跃会影响积分的存在性。 性质 线性性 ：积分关于被积函数 \( f \) 和积分器函数 \( \alpha \) 都是线性的。 区间可加性 ：\( \int_ a^c f d\alpha + \int_ c^b f d\alpha = \int_ a^b f d\alpha \)。 分部积分公式 ：这是其关键性质之一。若 \( \int_ a^b f d\alpha \) 存在，则 \( \int_ a^b \alpha df \) 也存在，且有 \( \int_ a^b f(x) d\alpha(x) = f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a) - \int_ a^b \alpha(x) df(x) \)。这为计算某些积分提供了便利。 与黎曼积分的关系 ：当 \( \alpha(x) = x \) 时，斯蒂尔切斯积分退化为普通的黎曼积分。 几何与物理意义 几何 ：当 \( f(x) \ge 0 \) 时，\( \int_ a^b f d\alpha \) 可以解释为以 \( \alpha \) 为“横向尺度”的曲线下的面积。如果 \( \alpha \) 是阶梯函数，积分就退化为对 \( f \) 在 \( \alpha \) 的跳跃点处的值的加权和。 物理/概率 ：若将 \( \alpha(x) \) 视为质量在区间 \((-\infty, x]\) 上的总质量分布函数（可能是连续的，也可能在点质量处有跳跃），那么 \( \int_ a^b f d\alpha \) 可以表示物理量 \( f \) （如力、势能）关于该质量分布的加权总和。在概率论中，若 \( \alpha \) 是随机变量的分布函数，则此积分就是数学期望 \( E[ f(X) ] \) 的黎曼-斯蒂尔切斯积分形式。 推广：勒贝格-斯蒂尔杰斯积分 黎曼-斯蒂尔切斯积分仍有局限性，例如对函数 \( f \) 的要求较强（需要几乎处处连续）。为了处理更一般的函数（如可测函数），需要将其推广到 勒贝格-斯蒂尔杰斯积分 。 核心思想：由单调递增函数 \( \alpha \) 可以在实数直线上诱导出一个 勒贝格-斯蒂尔杰斯测度 \( \mu_ \alpha \)。这个测度满足：对于区间 \((a, b]\)，有 \( \mu_ \alpha((a, b ]) = \alpha(b+) - \alpha(a+) \)。 然后，关于这个测度 \( \mu_ \alpha \) 对可测函数 \( f \) 进行 勒贝格积分 ：\( \int_ {[ a, b]} f d\mu_ \alpha \)。 当 \( f \) 连续且 \( \alpha \) 单调递增时，勒贝格-斯蒂尔杰斯积分与黎曼-斯蒂尔切斯积分相等。但前者适用范围更广，可以处理有界变差函数 \( \alpha \)（通过若尔当分解）和更广泛的可积函数 \( f \)，并拥有一套完整的收敛定理（如单调收敛定理、控制收敛定理）。 总结来说，斯蒂尔切斯积分是一个承上启下的概念：它从黎曼积分的分割求和思想出发，通过引入一个单调递增的“积分器”函数来改变积分的权重，从而能够处理离散与连续混合的分布。它最终被更强大、更一般的勒贝格-斯蒂尔杰斯积分理论所包含和超越，成为现代测度论和概率论中定义积分（尤其是关于分布函数的期望）的一个直观起点和特例。