量子力学中的Dyson级数

字数 4076 2025-12-21 19:37:02

量子力学中的Dyson级数

我们来系统讲解量子力学中的Dyson级数，这是一个极其重要的工具，用于求解时间演化算符或S矩阵，特别是在相互作用绘景（或称狄拉克绘景）中处理含时微扰问题时。

第一步：问题的起源与相互作用绘景
在量子力学中，若系统的哈密顿量 \(\hat{H}(t)\) 可以分解为简单的、可精确求解的部分 \(\hat{H}_0\) 与一个“扰动”部分 \(\hat{V}(t)\) 之和，即 \(\hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{V}(t)\)，我们希望找到一个系统的办法来计算时间演化算符 \(\hat{U}(t, t_0)\)。这个算符将系统从初始时间 \(t_0\) 的状态演化到时间 \(t\) 的状态。在薛定谔绘景中直接求解通常很困难。为了突出扰动的影响，我们引入相互作用绘景：

在相互作用绘景中，一个算符 \(\hat{O}_S\)（薛定谔绘景）变为 \(\hat{O}_I(t) = e^{i\hat{H}_0 (t-t_0)/\hbar} \hat{O}_S e^{-i\hat{H}_0 (t-t_0)/\hbar}\)。
态矢量变为 \(|\psi_I(t)\rangle = e^{i\hat{H}_0 (t-t_0)/\hbar} |\psi_S(t)\rangle\)。
在此绘景中，态矢量的时间演化仅由相互作用项决定：\(i\hbar \frac{d}{dt} |\psi_I(t)\rangle = \hat{V}_I(t) |\psi_I(t)\rangle\)，其中 \(\hat{V}_I(t) = e^{i\hat{H}_0 (t-t_0)/\hbar} \hat{V}(t) e^{-i\hat{H}_0 (t-t_0)/\hbar}\)。
相应地，我们定义相互作用绘景中的时间演化算符 \(\hat{U}_I(t, t_0)\)，它满足 \(|\psi_I(t)\rangle = \hat{U}_I(t, t_0) |\psi_I(t_0)\rangle\) 和方程 \(i\hbar \frac{d}{dt} \hat{U}_I(t, t_0) = \hat{V}_I(t) \hat{U}_I(t, t_0)\)，且初始条件为 \(\hat{U}_I(t_0, t_0) = \mathbf{1}\)（单位算符）。

第二步：积分方程的推导
上述微分方程连同初始条件，完全等价于一个积分方程：

\[\hat{U}_I(t, t_0) = \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} dt_1\ \hat{V}_I(t_1) \hat{U}_I(t_1, t_0) \]

这个方程的推导是直接的：将微分方程从 \(t_0\) 到 \(t\) 积分，并利用初始条件。这个积分方程是自洽的，因为待求的 \(\hat{U}_I\) 也出现在右边的被积函数中。它的优势在于，为迭代求解提供了一个完美的起点。

第三步：Dyson级数的迭代构造（核心步骤）
现在，我们通过迭代法求解上述积分方程：

零阶近似：我们忽略相互作用，取 \(\hat{U}_I^{(0)}(t, t_0) = \mathbf{1}\)。
一阶近似：将零阶近似代入积分方程右边：

\[ \hat{U}_I^{(1)}(t, t_0) = \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} dt_1\ \hat{V}_I(t_1) \cdot \mathbf{1} = \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} dt_1\ \hat{V}_I(t_1) \]

二阶近似：将一阶近似代入原积分方程右边：

\[ \begin{aligned} \hat{U}_I^{(2)}(t, t_0) &= \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} dt_1\ \hat{V}_I(t_1) \left[ \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t_1} dt_2\ \hat{V}_I(t_2) \right] \\ &= \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} dt_1\ \hat{V}_I(t_1) + \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^2 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2\ \hat{V}_I(t_1) \hat{V}_I(t_2) \end{aligned} \]

n阶近似与级数形式：不断重复此过程，就得到了著名的Dyson级数：

\[ \boxed{\hat{U}_I(t, t_0) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n\ \hat{V}_I(t_1) \hat{V}_I(t_2) \cdots \hat{V}_I(t_n)} \]

其中，\(n=0\) 的项定义为 \(\mathbf{1}\)。这个级数是上述积分方程的形式解。求和号下的每个积分区域是“时间有序”的：\(t \geq t_1 \geq t_2 \geq \cdots \geq t_n \geq t_0\)。这意味着在算符乘积中，时间从右向左增加。

第四步：时间编序算符与紧凑形式
为了处理这个受限制的积分区域，我们引入时间编序算符 \(\mathcal{T}\)。它对一组含时算符的乘积进行重新排列，使得时间从左向右递减（或从右向左递增，约定需明确）。采用常见的从左向右时间递减的约定：

\[\mathcal{T} \{ \hat{V}_I(t_1) \hat{V}_I(t_2) \} = \begin{cases} \hat{V}_I(t_1) \hat{V}_I(t_2), & \text{if } t_1 > t_2 \\ \hat{V}_I(t_2) \hat{V}_I(t_1), & \text{if } t_2 > t_1 \end{cases} \]

对于玻色子算符，这个定义是直接的。引入 \(\mathcal{T}\) 后，Dyson级数中的多重积分可以改写为在无时间顺序限制的立方区域 \([t_0, t]^n\) 上的积分，但需要除以 \(n!\) 来补偿对相同时间顺序集合的重复计数。具体地：

\[\int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n\ \hat{V}_I(t_1) \cdots \hat{V}_I(t_n) = \frac{1}{n!} \int_{t_0}^{t} dt_1 \cdots \int_{t_0}^{t} dt_n\ \mathcal{T} \{ \hat{V}_I(t_1) \cdots \hat{V}_I(t_n) \} \]

代入Dyson级数，我们得到其最紧凑、最著名的形式：

\[\boxed{\hat{U}_I(t, t_0) = \mathcal{T} \exp\left( -\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} d\tau\ \hat{V}_I(\tau) \right)} \]

这个表达式是一个“形式解”，右边的指数函数必须通过其幂级数展开来理解，而这个展开式正是我们之前推导的、并用 \(\mathcal{T}\) 重写过的Dyson级数。因此，Dyson级数是时间编序指数算符的定义和具体实现。

第五步：与S矩阵和费曼图的关系
Dyson级数在量子场论和散射理论中应用极为广泛。

S矩阵：在散射问题中，我们通常关心渐近过去（\(t_0 \to -\infty\)）到渐近未来（\(t \to +\infty\)）的演化，即S矩阵：\(\hat{S} = \hat{U}_I(+\infty, -\infty)\)。Dyson级数直接给出了S矩阵的微扰展开式。
费曼图：Dyson级数中的每一项（即第n阶项）对应一组复杂的算符乘积的积分。在量子场论中，通过Wick定理，这些编序乘积可以分解为自由场传播子（即收缩）的乘积之和。每一项的这种分解都可以用一个费曼图来图形化表示：图的顶点对应相互作用 \(\hat{V}_I\)，图的边对应传播子，而Dyson级数的求和则对应于所有可能拓扑结构的费曼图的求和。因此，Dyson级数是连接微扰展开与费曼图规则的桥梁。

总结：Dyson级数从相互作用绘景的基本方程出发，通过迭代积分方程得到，是一个对时间演化算符（或S矩阵）的微扰展开。它天然地处理了时间顺序，并可以通过时间编序算符表达成紧凑的指数形式。这个级数是量子力学和量子场论中进行微扰计算的基础，直接引向了费曼图技术，是分析相互作用系统动力学的核心数学工具之一。

量子力学中的Dyson级数我们来系统讲解量子力学中的Dyson级数，这是一个极其重要的工具，用于求解时间演化算符或S矩阵，特别是在相互作用绘景（或称狄拉克绘景）中处理含时微扰问题时。第一步：问题的起源与相互作用绘景在量子力学中，若系统的哈密顿量 \( \hat{H}(t) \) 可以分解为简单的、可精确求解的部分 \( \hat{H}_ 0 \) 与一个“扰动”部分 \( \hat{V}(t) \) 之和，即 \( \hat{H}(t) = \hat{H}_ 0 + \hat{V}(t) \)，我们希望找到一个系统的办法来计算时间演化算符 \( \hat{U}(t, t_ 0) \)。这个算符将系统从初始时间 \( t_ 0 \) 的状态演化到时间 \( t \) 的状态。在薛定谔绘景中直接求解通常很困难。为了突出扰动的影响，我们引入相互作用绘景：在相互作用绘景中，一个算符 \( \hat{O}_ S \)（薛定谔绘景）变为 \( \hat{O}_ I(t) = e^{i\hat{H}_ 0 (t-t_ 0)/\hbar} \hat{O}_ S e^{-i\hat{H}_ 0 (t-t_ 0)/\hbar} \)。态矢量变为 \( |\psi_ I(t)\rangle = e^{i\hat{H}_ 0 (t-t_ 0)/\hbar} |\psi_ S(t)\rangle \)。在此绘景中，态矢量的时间演化仅由相互作用项决定：\( i\hbar \frac{d}{dt} |\psi_ I(t)\rangle = \hat{V}_ I(t) |\psi_ I(t)\rangle \)，其中 \( \hat{V}_ I(t) = e^{i\hat{H}_ 0 (t-t_ 0)/\hbar} \hat{V}(t) e^{-i\hat{H}_ 0 (t-t_ 0)/\hbar} \)。相应地，我们定义相互作用绘景中的时间演化算符 \( \hat{U}_ I(t, t_ 0) \)，它满足 \( |\psi_ I(t)\rangle = \hat{U}_ I(t, t_ 0) |\psi_ I(t_ 0)\rangle \) 和方程 \( i\hbar \frac{d}{dt} \hat{U}_ I(t, t_ 0) = \hat{V}_ I(t) \hat{U}_ I(t, t_ 0) \)，且初始条件为 \( \hat{U}_ I(t_ 0, t_ 0) = \mathbf{1} \)（单位算符）。第二步：积分方程的推导上述微分方程连同初始条件，完全等价于一个积分方程： \[ \hat{U} I(t, t_ 0) = \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} \int {t_ 0}^{t} dt_ 1\ \hat{V}_ I(t_ 1) \hat{U}_ I(t_ 1, t_ 0) \] 这个方程的推导是直接的：将微分方程从 \( t_ 0 \) 到 \( t \) 积分，并利用初始条件。这个积分方程是自洽的，因为待求的 \( \hat{U}_ I \) 也出现在右边的被积函数中。它的优势在于，为迭代求解提供了一个完美的起点。第三步：Dyson级数的迭代构造（核心步骤）现在，我们通过迭代法求解上述积分方程：零阶近似：我们忽略相互作用，取 \( \hat{U}_ I^{(0)}(t, t_ 0) = \mathbf{1} \)。一阶近似：将零阶近似代入积分方程右边： \[ \hat{U} I^{(1)}(t, t_ 0) = \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} \int {t_ 0}^{t} dt_ 1\ \hat{V} I(t_ 1) \cdot \mathbf{1} = \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} \int {t_ 0}^{t} dt_ 1\ \hat{V}_ I(t_ 1) \] 二阶近似：将一阶近似代入原积分方程右边： \[ \begin{aligned} \hat{U} I^{(2)}(t, t_ 0) &= \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} \int {t_ 0}^{t} dt_ 1\ \hat{V} I(t_ 1) \left[ \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} \int {t_ 0}^{t_ 1} dt_ 2\ \hat{V} I(t_ 2) \right ] \\ &= \mathbf{1} - \frac{i}{\hbar} \int {t_ 0}^{t} dt_ 1\ \hat{V} I(t_ 1) + \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^2 \int {t_ 0}^{t} dt_ 1 \int_ {t_ 0}^{t_ 1} dt_ 2\ \hat{V}_ I(t_ 1) \hat{V}_ I(t_ 2) \end{aligned} \] n阶近似与级数形式：不断重复此过程，就得到了著名的 Dyson级数： \[ \boxed{\hat{U} I(t, t_ 0) = \sum {n=0}^{\infty} \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n \int_ {t_ 0}^{t} dt_ 1 \int_ {t_ 0}^{t_ 1} dt_ 2 \cdots \int_ {t_ 0}^{t_ {n-1}} dt_ n\ \hat{V}_ I(t_ 1) \hat{V}_ I(t_ 2) \cdots \hat{V}_ I(t_ n)} \] 其中，\( n=0 \) 的项定义为 \( \mathbf{1} \)。这个级数是上述积分方程的形式解。求和号下的每个积分区域是“时间有序”的：\( t \geq t_ 1 \geq t_ 2 \geq \cdots \geq t_ n \geq t_ 0 \)。这意味着在算符乘积中，时间从右向左增加。第四步：时间编序算符与紧凑形式为了处理这个受限制的积分区域，我们引入时间编序算符 \( \mathcal{T} \)。它对一组含时算符的乘积进行重新排列，使得时间从左向右递减（或从右向左递增，约定需明确）。采用常见的从左向右时间递减的约定： \[ \mathcal{T} \{ \hat{V}_ I(t_ 1) \hat{V}_ I(t_ 2) \} = \begin{cases} \hat{V} I(t_ 1) \hat{V} I(t_ 2), & \text{if } t_ 1 > t_ 2 \\ \hat{V} I(t_ 2) \hat{V} I(t_ 1), & \text{if } t_ 2 > t_ 1 \end{cases} \] 对于玻色子算符，这个定义是直接的。引入 \( \mathcal{T} \) 后，Dyson级数中的多重积分可以改写为在无时间顺序限制的立方区域 \( [ t_ 0, t]^n \) 上的积分，但需要除以 \( n ! \) 来补偿对相同时间顺序集合的重复计数。具体地： \[ \int {t_ 0}^{t} dt_ 1 \int {t_ 0}^{t_ 1} dt_ 2 \cdots \int {t_ 0}^{t {n-1}} dt_ n\ \hat{V} I(t_ 1) \cdots \hat{V} I(t_ n) = \frac{1}{n!} \int {t_ 0}^{t} dt_ 1 \cdots \int {t_ 0}^{t} dt_ n\ \mathcal{T} \{ \hat{V}_ I(t_ 1) \cdots \hat{V}_ I(t_ n) \} \] 代入Dyson级数，我们得到其最紧凑、最著名的形式： \[ \boxed{\hat{U} I(t, t_ 0) = \mathcal{T} \exp\left( -\frac{i}{\hbar} \int {t_ 0}^{t} d\tau\ \hat{V}_ I(\tau) \right)} \] 这个表达式是一个“形式解”，右边的指数函数必须通过其幂级数展开来理解，而这个展开式正是我们之前推导的、并用 \( \mathcal{T} \) 重写过的Dyson级数。因此， Dyson级数是时间编序指数算符的定义和具体实现。第五步：与S矩阵和费曼图的关系 Dyson级数在量子场论和散射理论中应用极为广泛。 S矩阵：在散射问题中，我们通常关心渐近过去（\( t_ 0 \to -\infty \)）到渐近未来（\( t \to +\infty \)）的演化，即S矩阵：\( \hat{S} = \hat{U}_ I(+\infty, -\infty) \)。Dyson级数直接给出了S矩阵的微扰展开式。费曼图：Dyson级数中的每一项（即第n阶项）对应一组复杂的算符乘积的积分。在量子场论中，通过 Wick定理，这些编序乘积可以分解为自由场传播子（即收缩）的乘积之和。每一项的这种分解都可以用一个费曼图来图形化表示：图的顶点对应相互作用 \( \hat{V}_ I \)，图的边对应传播子，而Dyson级数的求和则对应于所有可能拓扑结构的费曼图的求和。因此，Dyson级数是连接微扰展开与费曼图规则的桥梁。总结：Dyson级数从相互作用绘景的基本方程出发，通过迭代积分方程得到，是一个对时间演化算符（或S矩阵）的微扰展开。它天然地处理了时间顺序，并可以通过时间编序算符表达成紧凑的指数形式。这个级数是量子力学和量子场论中进行微扰计算的基础，直接引向了费曼图技术，是分析相互作用系统动力学的核心数学工具之一。