波动方程的基本解 (Fundamental Solution of the Wave Equation)
字数 5405 2025-12-21 19:15:14

波动方程的基本解 (Fundamental Solution of the Wave Equation)

好的，我们来学习波动方程的基本解。这个概念是理解波动现象传播和求解相关初值问题的核心工具。我将从最基础的定义开始，逐步深入到其性质、求解和应用。

第一步：回顾波动方程及其基本解的定义

首先，我们明确研究对象：三维空间中的经典波动方程。

\[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \Delta u = 0 \]

其中，\(u = u(\mathbf{x}, t)\)， \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3\)， \(t > 0\)， \(c > 0\) 是波速， \(\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_3^2}\) 是拉普拉斯算子。

一个基本解（或称为“点源解”、“传播子”）是指这样一个广义函数（或分布）\(E(\mathbf{x}, t)\)，它满足带有单位点脉冲源（集中于原点和初始时刻）的方程。严格来说，\(E\) 是以下非齐次波动方程的解：

\[\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} - c^2 \Delta E = \delta(\mathbf{x}) \delta(t) \]

其中，\(\delta(\cdot)\) 是狄拉克δ函数。初始条件通常约定为 \(E(\mathbf{x}, t) = 0\) 当 \(t < 0\)（因果性条件，即原因先于结果）。

物理图像：基本解 \(E(\mathbf{x}, t)\) 描述了在 \(t=0\) 时刻，在空间原点 \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 处施加一个瞬间的单位脉冲（例如，点爆炸、瞬时点扰动）后，扰动在随后时刻 \(t > 0\) 于空间任意点 \(\mathbf{x}\) 处所产生的影响（如位移、压力变化）。

第二步：求解三维波动方程的基本解

求解 \(E\) 的一个强大方法是利用傅里叶变换。我们对方程两边关于空间变量 \(\mathbf{x}\) 做傅里叶变换，记 \(\hat{E}(\mathbf{\xi}, t) = \mathcal{F}_{\mathbf{x} \to \mathbf{\xi}}[E(\mathbf{x}, t)]\)。利用傅里叶变换的性质 \(\mathcal{F}[\Delta E] = -|\mathbf{\xi}|^2 \hat{E}\)，以及 \(\mathcal{F}[\delta(\mathbf{x})] = 1\)，方程变为关于时间 \(t\) 的常微分方程：

\[\frac{d^2 \hat{E}}{dt^2} + c^2 |\mathbf{\xi}|^2 \hat{E} = \delta(t) \]

这是一个关于时间的二阶常微分方程，右侧是瞬时脉冲。在因果性条件 \(\hat{E}=0\) (当 \(t<0\)) 下，其解是一个“单位冲激响应”：

\[\hat{E}(\mathbf{\xi}, t) = \frac{\sin(c|\mathbf{\xi}| t)}{c|\mathbf{\xi}|} H(t) \]

其中 \(H(t)\) 是赫维赛德阶跃函数，它确保因果性（\(t<0\) 时为零）。

接下来，我们需要对这个结果进行傅里叶逆变换，从频域 \(\mathbf{\xi}\) 变回空间域 \(\mathbf{x}\)：

\[E(\mathbf{x}, t) = \frac{H(t)}{(2\pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\sin(c|\mathbf{\xi}| t)}{c|\mathbf{\xi}|} e^{i \mathbf{\xi} \cdot \mathbf{x}} d\mathbf{\xi} \]

这个积分可以计算。利用球坐标系，并完成角度部分的积分后，可以化简为一维积分。最终得到三维波动方程的基本解（球面波解）：

\[E_3(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{4\pi c^2} \frac{\delta(|\mathbf{x}| - ct)}{|\mathbf{x}|} H(t) \]

第三步：理解基本解的物理意义与数学结构

这是理解的关键。让我们仔细剖析这个表达式：

  1. δ 函数 \(\delta(|\mathbf{x}| - ct)\): 这是核心。它的自变量是 \(r - ct\)，其中 \(r = |\mathbf{x}|\)。这意味着在固定时刻 \(t > 0\)，只有当观测点 \(\mathbf{x}\) 到原点的距离 \(r\) 精确等于 \(ct\) 时，基本解才非零。
  • 几何解释：扰动以速度 \(c\) 从原点向外传播。在时刻 \(t\)，扰动的“前锋”正好到达半径为 \(ct\) 的球面上。球面内部的点 (\(r < ct\))？这个基本解给出的影响为零。球面外部的点 (\(r > ct\))？影响也为零。
  • 物理意义：这描述了无后效的传播，也称为惠更斯原理在三维空间成立。初始时刻的脉冲点源，在之后只影响一个以速度 \(c\) 匀速膨胀的球壳（波前），球壳内部和外部都恢复平静（对于自由空间的基本解而言）。
  1. 分母 \(4\pi c^2 |\mathbf{x}|\):
  • \(4\pi |\mathbf{x}|^2\) 是半径为 \(|\mathbf{x}|\) 的球面面积。这里的 \(|\mathbf{x}|\) 是球面半径。由于能量（或扰动幅度）从点源出发，均匀地散布在不断扩大的球面上，其强度（单位面积上的量）必然与 \(1/(4\pi |\mathbf{x}|^2)\) 成正比。
  • 这里分母是 \(|\mathbf{x}|\) 而非 \(|\mathbf{x}|^2\)，是因为 \(\delta(|\mathbf{x}| - ct)\) 是一个一维δ函数，当我们将它对球面积分时，面积元 \(dS = |\mathbf{x}|^2 d\Omega\) 中的 \(|\mathbf{x}|^2\) 会与分母的 \(|\mathbf{x}|\) 结合，最终体现出球面散布的特性 \(\propto 1/|\mathbf{x}|\)。所以，\(E_3\) 的幅度随距离衰减为 \(1/|\mathbf{x}|\)。
  1. 阶跃函数 \(H(t)\)： 再次强调因果性，保证 \(t<0\) 时解为零。

总结物理图像：三维波动方程的基本解是一个以原点为中心、以速度 \(c\) 均匀向外膨胀的球面δ波壳。波前是一个无限薄、强度按 \(1/r\) 衰减的球面。

第四步：一维与二维基本解的对比

为了加深理解，我们简要对比其他维数下的基本解（推导过程类似，但逆变换积分不同）：

  • 一维波动方程 \(u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0\) 的基本解为：

\[ E_1(x, t) = \frac{1}{2c} H(ct - |x|) H(t) \]

解释：对于一维情况（如无限长弦），点脉冲的影响不是集中于一个传播的点，而是均匀地充满以原点为中心、长度为 \(2ct\) 的整个区间。函数 \(H(ct - |x|)\) 在 \(|x| < ct\) 时为常数1，之外为0。这意味着脉冲产生的影响在波经过后不会消失，区间内所有点都保持恒定的扰动（幅度衰减为 \(1/(2c)\)）。这体现了一维波动具有持久后效，惠更斯原理不成立。

  • 二维波动方程 \(u_{tt} - c^2 (u_{xx} + u_{yy}) = 0\) 的基本解为：

\[ E_2(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{2\pi c} \frac{H(ct - |\mathbf{x}|)}{\sqrt{c^2 t^2 - |\mathbf{x}|^2}} H(t)， \quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 \]

解释：二维情况（如无限平面薄膜）介于两者之间。扰动以速度 \(c\) 传播，在时刻 \(t\)，影响区域是半径为 \(ct\) 的实心圆盘（\(|\mathbf{x}| \le ct\)）。但在圆盘内，影响强度不是均匀的：在波前 (\(|\mathbf{x}| \approx ct\)) 附近，分母趋近于0，导致解趋于奇异（但仍可积），这对应着较强烈的波前；在圆心附近，影响较弱。波经过后，各点的扰动并不立即归零，而是有一个“尾巴”逐渐衰减。这被称为扩散的波前，惠更斯原理在二维也不严格成立。

第五步：基本解的核心应用——求解初值问题（泊松公式）

基本解最重要的应用是构建一般初值问题的解。考虑三维波动方程的柯西问题（初值问题）：

\[\begin{cases} u_{tt} - c^2 \Delta u = 0, & \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3, \, t>0 \\ u(\mathbf{x}, 0) = \phi(\mathbf{x}) \\ u_t(\mathbf{x}, 0) = \psi(\mathbf{x}) \end{cases} \]

利用基本解 \(E_3(\mathbf{x}, t)\)，以及线性方程的叠加原理和杜哈梅尔原理（处理非齐次项的思想），可以得到解的显式表达式——三维泊松公式（Kirchhoff公式的一种形式）：

\[u(\mathbf{x}, t) = \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{1}{4\pi c^2 t} \iint_{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|=ct} \phi(\mathbf{y}) \, dS(\mathbf{y}) \right] + \frac{1}{4\pi c^2 t} \iint_{|\mathbf{y}-\mathbf{x}|=ct} \psi(\mathbf{y}) \, dS(\mathbf{y}) \]

如何理解这个公式？

  1. 积分区域：公式中的积分是在以 \(\mathbf{x}\) 为中心、以 \(ct\) 为半径的球面 \(|\mathbf{y}-\mathbf{x}| = ct\) 上进行的。这正好是基本解 \(E_3(\mathbf{y} - \mathbf{x}, t)\) 非零的区域（当把基本解的中心从原点平移到点 \(\mathbf{x}\) 时）。
  2. 物理意义：点 \(\mathbf{x}\) 在时刻 \(t\) 的状态 \(u(\mathbf{x}, t)\)，完全由初始数据 \(\phi\) 和 \(\psi\) 在以 \(\mathbf{x}\) 为中心、\(ct\) 为半径的球面 \(S(\mathbf{x}, ct)\) 上的值决定。球面内部的初始数据对 \((\mathbf{x}, t)\) 点的解没有影响。这正是三维波动严格的惠更斯原理（或称为“无后效原理”）的数学体现。
  3. 与基本解的联系：这个公式可以理解为，将初始分布 \(\phi(\mathbf{y})\) 和 \(\psi(\mathbf{y})\) 视为无数个点脉冲的叠加。每个点 \(\mathbf{y}\) 处的初始扰动（由 \(\phi\) 和 \(\psi\) 刻画）都作为一个球面子波（即基本解）从该点向外传播。在 \((\mathbf{x}, t)\) 点观察到的总效果，是所有这些子波在经过时间 \(t\) 后、传播距离恰好为 \(ct\) 的那些点（即位于球面 \(S(\mathbf{x}, ct)\) 上的点）所贡献的叠加。基本解 \(E_3\) 正是描述每个点脉冲传播规律的“砖石”。

对比一维（达朗贝尔公式）：一维波动方程初值问题的解（达朗贝尔公式）依赖于区间 \([x-ct, x+ct]\) 上的初始数据，这是一个区间而非两个端点，这与一维基本解的持久后效特性一致。

通过以上五个步骤，我们从定义、求解、物理解释、不同维数对比到核心应用，系统地剖析了波动方程的基本解。掌握这个概念，是深入理解波动传播特性、求解相关定解问题以及学习更高级的格林函数理论的重要基石。

波动方程的基本解 (Fundamental Solution of the Wave Equation) 好的，我们来学习 波动方程的基本解 。这个概念是理解波动现象传播和求解相关初值问题的核心工具。我将从最基础的定义开始，逐步深入到其性质、求解和应用。 第一步：回顾波动方程及其基本解的定义 首先，我们明确研究对象：三维空间中的经典波动方程。 \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - c^2 \Delta u = 0 \] 其中，\( u = u(\mathbf{x}, t) \)， \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \)， \( t > 0 \)， \( c > 0 \) 是波速， \( \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_ 1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_ 2^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_ 3^2} \) 是拉普拉斯算子。 一个 基本解 （或称为“点源解”、“传播子”）是指这样一个广义函数（或分布）\( E(\mathbf{x}, t) \)，它满足带有单位点脉冲源（集中于原点和初始时刻）的方程。严格来说，\( E \) 是以下非齐次波动方程的解： \[ \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} - c^2 \Delta E = \delta(\mathbf{x}) \delta(t) \] 其中，\( \delta(\cdot) \) 是狄拉克δ函数。初始条件通常约定为 \( E(\mathbf{x}, t) = 0 \) 当 \( t < 0 \)（因果性条件，即原因先于结果）。 物理图像 ：基本解 \( E(\mathbf{x}, t) \) 描述了在 \( t=0 \) 时刻，在空间原点 \( \mathbf{x} = \mathbf{0} \) 处施加一个瞬间的单位脉冲（例如，点爆炸、瞬时点扰动）后，扰动在随后时刻 \( t > 0 \) 于空间任意点 \( \mathbf{x} \) 处所产生的影响（如位移、压力变化）。 第二步：求解三维波动方程的基本解 求解 \( E \) 的一个强大方法是利用傅里叶变换。我们对方程两边关于空间变量 \( \mathbf{x} \) 做傅里叶变换，记 \( \hat{E}(\mathbf{\xi}, t) = \mathcal{F}_ {\mathbf{x} \to \mathbf{\xi}}[ E(\mathbf{x}, t)] \)。利用傅里叶变换的性质 \( \mathcal{F}[ \Delta E] = -|\mathbf{\xi}|^2 \hat{E} \)，以及 \( \mathcal{F}[ \delta(\mathbf{x}) ] = 1 \)，方程变为关于时间 \( t \) 的常微分方程： \[ \frac{d^2 \hat{E}}{dt^2} + c^2 |\mathbf{\xi}|^2 \hat{E} = \delta(t) \] 这是一个关于时间的二阶常微分方程，右侧是瞬时脉冲。在因果性条件 \( \hat{E}=0 \) (当 \( t <0 \)) 下，其解是一个“单位冲激响应”： \[ \hat{E}(\mathbf{\xi}, t) = \frac{\sin(c|\mathbf{\xi}| t)}{c|\mathbf{\xi}|} H(t) \] 其中 \( H(t) \) 是赫维赛德阶跃函数，它确保因果性（\( t <0 \) 时为零）。 接下来，我们需要对这个结果进行傅里叶逆变换，从频域 \( \mathbf{\xi} \) 变回空间域 \( \mathbf{x} \)： \[ E(\mathbf{x}, t) = \frac{H(t)}{(2\pi)^3} \int_ {\mathbb{R}^3} \frac{\sin(c|\mathbf{\xi}| t)}{c|\mathbf{\xi}|} e^{i \mathbf{\xi} \cdot \mathbf{x}} d\mathbf{\xi} \] 这个积分可以计算。利用球坐标系，并完成角度部分的积分后，可以化简为一维积分。最终得到 三维波动方程的基本解（球面波解） ： \[ E_ 3(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{4\pi c^2} \frac{\delta(|\mathbf{x}| - ct)}{|\mathbf{x}|} H(t) \] 第三步：理解基本解的物理意义与数学结构 这是理解的关键。让我们仔细剖析这个表达式： δ 函数 \( \delta(|\mathbf{x}| - ct) \) : 这是核心。它的自变量是 \( r - ct \)，其中 \( r = |\mathbf{x}| \)。这意味着在固定时刻 \( t > 0 \)，只有当观测点 \( \mathbf{x} \) 到原点的距离 \( r \) 精确等于 \( ct \) 时，基本解才非零。 几何解释 ：扰动以速度 \( c \) 从原点向外传播。在时刻 \( t \)，扰动的“前锋”正好到达半径为 \( ct \) 的球面上。球面内部的点 (\( r < ct \))？这个基本解给出的影响为零。球面外部的点 (\( r > ct \))？影响也为零。 物理意义 ：这描述了 无后效的传播 ，也称为 惠更斯原理 在三维空间成立。初始时刻的脉冲点源，在之后只影响一个以速度 \( c \) 匀速膨胀的球壳（波前），球壳内部和外部都恢复平静（对于自由空间的基本解而言）。 分母 \( 4\pi c^2 |\mathbf{x}| \) : \( 4\pi |\mathbf{x}|^2 \) 是半径为 \( |\mathbf{x}| \) 的球面面积。这里的 \( |\mathbf{x}| \) 是球面半径。由于能量（或扰动幅度）从点源出发，均匀地散布在不断扩大的球面上，其强度（单位面积上的量）必然与 \( 1/(4\pi |\mathbf{x}|^2) \) 成正比。 这里分母是 \( |\mathbf{x}| \) 而非 \( |\mathbf{x}|^2 \)，是因为 \( \delta(|\mathbf{x}| - ct) \) 是一个一维δ函数，当我们将它对球面积分时，面积元 \( dS = |\mathbf{x}|^2 d\Omega \) 中的 \( |\mathbf{x}|^2 \) 会与分母的 \( |\mathbf{x}| \) 结合，最终体现出球面散布的特性 \( \propto 1/|\mathbf{x}| \)。所以，\( E_ 3 \) 的幅度随距离衰减为 \( 1/|\mathbf{x}| \)。 阶跃函数 \( H(t) \) ： 再次强调因果性，保证 \( t <0 \) 时解为零。 总结物理图像 ：三维波动方程的基本解是一个以原点为中心、以速度 \( c \) 均匀向外膨胀的 球面δ波壳 。波前是一个无限薄、强度按 \( 1/r \) 衰减的球面。 第四步：一维与二维基本解的对比 为了加深理解，我们简要对比其他维数下的基本解（推导过程类似，但逆变换积分不同）： 一维波动方程 \( u_ {tt} - c^2 u_ {xx} = 0 \) 的基本解为： \[ E_ 1(x, t) = \frac{1}{2c} H(ct - |x|) H(t) \] 解释 ：对于一维情况（如无限长弦），点脉冲的影响不是集中于一个传播的点，而是均匀地 充满 以原点为中心、长度为 \( 2ct \) 的整个区间。函数 \( H(ct - |x|) \) 在 \( |x| < ct \) 时为常数1，之外为0。这意味着脉冲产生的影响在波经过后不会消失，区间内所有点都保持恒定的扰动（幅度衰减为 \( 1/(2c) \)）。这体现了 一维波动具有持久后效 ，惠更斯原理不成立。 二维波动方程 \( u_ {tt} - c^2 (u_ {xx} + u_ {yy}) = 0 \) 的基本解为： \[ E_ 2(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{2\pi c} \frac{H(ct - |\mathbf{x}|)}{\sqrt{c^2 t^2 - |\mathbf{x}|^2}} H(t)， \quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 \] 解释 ：二维情况（如无限平面薄膜）介于两者之间。扰动以速度 \( c \) 传播，在时刻 \( t \)，影响区域是半径为 \( ct \) 的 实心圆盘 （\( |\mathbf{x}| \le ct \)）。但在圆盘内，影响强度不是均匀的：在波前 (\( |\mathbf{x}| \approx ct \)) 附近，分母趋近于0，导致解趋于奇异（但仍可积），这对应着较强烈的波前；在圆心附近，影响较弱。波经过后，各点的扰动并不立即归零，而是有一个“尾巴”逐渐衰减。这被称为 扩散的波前 ，惠更斯原理在二维也不严格成立。 第五步：基本解的核心应用——求解初值问题（泊松公式） 基本解最重要的应用是构建一般初值问题的解。考虑三维波动方程的柯西问题（初值问题）： \[ \begin{cases} u_ {tt} - c^2 \Delta u = 0, & \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3, \, t>0 \\ u(\mathbf{x}, 0) = \phi(\mathbf{x}) \\ u_ t(\mathbf{x}, 0) = \psi(\mathbf{x}) \end{cases} \] 利用基本解 \( E_ 3(\mathbf{x}, t) \)，以及线性方程的叠加原理和杜哈梅尔原理（处理非齐次项的思想），可以得到解的显式表达式—— 三维泊松公式 （Kirchhoff公式的一种形式）： \[ u(\mathbf{x}, t) = \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{1}{4\pi c^2 t} \iint_ {|\mathbf{y}-\mathbf{x}|=ct} \phi(\mathbf{y}) \, dS(\mathbf{y}) \right] + \frac{1}{4\pi c^2 t} \iint_ {|\mathbf{y}-\mathbf{x}|=ct} \psi(\mathbf{y}) \, dS(\mathbf{y}) \] 如何理解这个公式？ 积分区域 ：公式中的积分是在以 \( \mathbf{x} \) 为中心、以 \( ct \) 为半径的球面 \( |\mathbf{y}-\mathbf{x}| = ct \) 上进行的。这正好是基本解 \( E_ 3(\mathbf{y} - \mathbf{x}, t) \) 非零的区域（当把基本解的中心从原点平移到点 \( \mathbf{x} \) 时）。 物理意义 ：点 \( \mathbf{x} \) 在时刻 \( t \) 的状态 \( u(\mathbf{x}, t) \)， 完全由初始数据 \( \phi \) 和 \( \psi \) 在以 \( \mathbf{x} \) 为中心、\( ct \) 为半径的球面 \( S(\mathbf{x}, ct) \) 上的值决定 。球面内部的初始数据对 \( (\mathbf{x}, t) \) 点的解没有影响。这正是三维波动 严格的惠更斯原理 （或称为“无后效原理”）的数学体现。 与基本解的联系 ：这个公式可以理解为，将初始分布 \( \phi(\mathbf{y}) \) 和 \( \psi(\mathbf{y}) \) 视为无数个点脉冲的叠加。每个点 \( \mathbf{y} \) 处的初始扰动（由 \( \phi \) 和 \( \psi \) 刻画）都作为一个球面子波（即基本解）从该点向外传播。在 \( (\mathbf{x}, t) \) 点观察到的总效果，是所有这些子波在经过时间 \( t \) 后、传播距离恰好为 \( ct \) 的那些点（即位于球面 \( S(\mathbf{x}, ct) \) 上的点）所贡献的叠加。基本解 \( E_ 3 \) 正是描述每个点脉冲传播规律的“砖石”。 对比一维（达朗贝尔公式） ：一维波动方程初值问题的解（达朗贝尔公式）依赖于区间 \( [ x-ct, x+ct ] \) 上的初始数据，这是一个区间而非两个端点，这与一维基本解的持久后效特性一致。 通过以上五个步骤，我们从定义、求解、物理解释、不同维数对比到核心应用，系统地剖析了 波动方程的基本解 。掌握这个概念，是深入理解波动传播特性、求解相关定解问题以及学习更高级的格林函数理论的重要基石。