托内利定理（Tonelli's Theorem）
字数 3801 2025-12-21 19:09:45

托内利定理（Tonelli's Theorem）

下面我为你循序渐进地讲解托内利定理。

1. 定理的背景与动机
在数学分析，尤其是实变函数与测度论中，我们经常需要计算高维区域上的积分，一个基本的方法是将多重积分转化为累次积分（即多次单积分）。然而，交换积分次序的合法性需要严格的证明。对于非负可测函数，托内利定理提供了一个非常强大且实用的判据：只要函数非负且可测，那么其累次积分（无论次序）与重积分三者必定相等，并且积分交换总是合法的。这大大简化了非负函数积分的计算。

2. 预备知识：乘积测度空间
记 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 和 \((Y, \mathcal{G}, \nu)\) 是两个 \(\sigma\)-有限的完备测度空间（例如，\(X=Y=\mathbb{R}^n\)，\(\mu, \nu\) 为勒贝格测度）。它们的乘积测度空间为 \((X \times Y, \mathcal{F} \otimes \mathcal{G}, \mu \times \nu)\)，其中：

  • \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}\) 是乘积 \(\sigma\)-代数，由可测矩形的集合 \(\{A \times B: A \in \mathcal{F}, B \in \mathcal{G}\}\) 生成。
  • \(\mu \times \nu\) 是乘积测度，在可测矩形上定义为 \((\mu \times \nu)(A \times B) = \mu(A) \nu(B)\)，并通过卡拉西奥多里延拓定理唯一地延拓到整个乘积 \(\sigma\)-代数上。\(\sigma\)-有限性保证了乘积测度定义的良好性。

3. 截口与切片函数
对于定义在 \(X \times Y\) 上的函数 \(f(x, y)\)，固定其中一个变量可以得到一个单变量函数，称为截口：

  • 对于固定的 \(x \in X\)，函数 \(f_x: Y \to [-\infty, \infty]\) 定义为 \(f_x(y) = f(x, y)\)。
  • 对于固定的 \(y \in Y\)，函数 \(f^y: X \to [-\infty, \infty]\) 定义为 \(f^y(x) = f(x, y)\)。
    一个关键事实（由富比尼定理保证）：如果 \(f\) 是 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}\)-可测的，那么对于几乎所有的 \(x \in X\)，\(f_x\) 是 \(\mathcal{G}\)-可测的；对于几乎所有的 \(y \in Y\)，\(f^y\) 是 \(\mathcal{F}\)-可测的。

4. 定理的精确陈述（现代形式）
设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 和 \((Y, \mathcal{G}, \nu)\) 是 \(\sigma\)-有限的完备测度空间，\(f: X \times Y \to [0, \infty]\) 是一个非负的 \((\mathcal{F} \otimes \mathcal{G})\)-可测函数。则：

  1. 对于几乎处处的 \(x \in X\)，函数 \(y \mapsto f(x, y)\) 是 \(\mathcal{G}\)-可测的，并且函数 \(x \mapsto \int_Y f(x, y) \, d\nu(y)\) 是 \(\mathcal{F}\)-可测的。
  2. 对于几乎处处的 \(y \in Y\)，函数 \(x \mapsto f(x, y)\) 是 \(\mathcal{F}\)-可测的，并且函数 \(y \mapsto \int_X f(x, y) \, d\mu(x)\) 是 \(\mathcal{G}\)-可测的。
  3. 下述等式成立：

\[ \int_{X \times Y} f \, d(\mu \times \nu) = \int_X \left( \int_Y f(x, y) \, d\nu(y) \right) d\mu(x) = \int_Y \left( \int_X f(x, y) \, d\mu(x) \right) d\nu(y). \]

等号两侧的值都允许是 \(+\infty\)。

5. 定理的核心思想与解读

  • 非负性至关重要：定理结论之所以如此强（无需假设积分有限），根本原因在于被积函数 \(f\) 是非负的。对于非负函数，积分值要么是一个有限的非负数，要么是 \(+\infty\)，不存在因正负相抵而导致的“未定型”问题。
  • 自动可积性验证：在应用托内利定理时，我们无需事先验证 \(f\) 在乘积空间上是否可积（即 \(\int |f| d(\mu \times \nu) < \infty\)）。我们只需：
    a. 验证 \(f\) 是 非负 的。
    b. 验证 \(f\) 是 乘积可测 的。
    只要这两个条件满足，你就可以放心地交换积分次序进行计算。如果通过计算发现某一次序的累次积分是一个有限的数，那么由定理结论（三者相等）可以直接推出 \(f\) 在乘积测度下也是可积的（即属于 \(L^1(\mu \times \nu)\)）。
  • 与富比尼定理的关系：富比尼定理处理的是可积函数（即 \(\int |f| d(\mu \times \nu) < \infty\)），它断言此时累次积分相等且与重积分相等。而托内利定理常常作为应用富比尼定理之前的“侦察兵”：当我们拿到一个非负可测函数 \(f\) 时，先用托内利定理交换次序计算累次积分。如果算出一个有限值，根据托内利定理的结论，这等于 \(\int f d(\mu \times \nu)\)，从而我们不仅完成了计算，还顺便证明了 \(f\) 是可积的，进而满足了使用富比尼定理的条件（虽然此时结论已由托内利得出）。简单记忆：非负用托内利（Tonelli），可积用富比尼（Fubini）。

6. 一个典型应用示例
计算积分：\(\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy\)。

  • 步骤1（验证条件）：函数 \(f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)} = e^{-x^2}e^{-y^2}\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 上连续，故为博雷尔可测（进而勒贝格可测）。显然 \(f \geq 0\)。\(\mathbb{R}\) 上的勒贝格测度是 \(\sigma\)-有限的。
  • 步骤2（应用托内利定理）：由于条件满足，我们可以自由交换积分次序。

\[ \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}e^{-y^2} \, dy \right) dx. \]

  • 步骤3（计算累次积分）：先对 \(y\) 积分，将 \(e^{-x^2}\) 视为常数：

\[ = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, dy \right) dx = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \cdot \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, dy \right). \]

已知 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \, dt = \sqrt{\pi}\)。因此原积分 \(= \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi} = \pi\)。

  • 步骤4（结论）：我们得到了一个有限的数值 \(\pi\)。根据托内利定理，这同时意味着函数 \(e^{-(x^2+y^2)}\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 上勒贝格可积，且其积分值为 \(\pi\)。

7. 需要注意的细节与常见误区

  • 测度的 \(\sigma\)-有限性假设不可省略：否则乘积测度的构造会变得复杂，定理结论可能不成立。常见的勒贝格测度和计数测度（在可数集上）都是 \(\sigma\)-有限的。
  • 函数必须是非负的：如果去掉非负条件，即使函数可测，累次积分也可能存在且相等，但重积分可能不存在（不满足绝对可积）。例如，一个在正方形上正负震荡使得重积分不存在的函数，其累次积分可能因积分次序不同而得到不同的结果。
  • 完备性假设：定理陈述中通常要求测度空间是完备的（例如勒贝格测度空间），这是为了保证截口函数的可测性结论更干净（“几乎所有”截口可测）。在实践中，我们通常使用完备化的测度空间。

综上所述，托内利定理 是关于非负可测函数积分换序的强力工具，它免除了事先验证函数可积性的步骤，为计算和理论推导提供了极大便利，并与富比尼定理构成了处理重积分与累次积分关系的完整理论框架。

托内利定理（Tonelli's Theorem） 下面我为你循序渐进地讲解托内利定理。 1. 定理的背景与动机 在数学分析，尤其是实变函数与测度论中，我们经常需要计算高维区域上的积分，一个基本的方法是将多重积分转化为累次积分（即多次单积分）。然而，交换积分次序的合法性需要严格的证明。对于非负可测函数，托内利定理提供了一个非常强大且实用的判据： 只要函数非负且可测，那么其累次积分（无论次序）与重积分三者必定相等 ，并且积分交换总是合法的。这大大简化了非负函数积分的计算。 2. 预备知识：乘积测度空间 记 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 和 \((Y, \mathcal{G}, \nu)\) 是两个 \(\sigma\)-有限的完备测度空间（例如，\(X=Y=\mathbb{R}^n\)，\(\mu, \nu\) 为勒贝格测度）。它们的乘积测度空间为 \((X \times Y, \mathcal{F} \otimes \mathcal{G}, \mu \times \nu)\)，其中： \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}\) 是乘积 \(\sigma\)-代数，由可测矩形的集合 \(\{A \times B: A \in \mathcal{F}, B \in \mathcal{G}\}\) 生成。 \(\mu \times \nu\) 是乘积测度，在可测矩形上定义为 \((\mu \times \nu)(A \times B) = \mu(A) \nu(B)\)，并通过卡拉西奥多里延拓定理唯一地延拓到整个乘积 \(\sigma\)-代数上。\(\sigma\)-有限性保证了乘积测度定义的良好性。 3. 截口与切片函数 对于定义在 \(X \times Y\) 上的函数 \(f(x, y)\)，固定其中一个变量可以得到一个单变量函数，称为 截口 ： 对于固定的 \(x \in X\)，函数 \(f_ x: Y \to [ -\infty, \infty]\) 定义为 \(f_ x(y) = f(x, y)\)。 对于固定的 \(y \in Y\)，函数 \(f^y: X \to [ -\infty, \infty ]\) 定义为 \(f^y(x) = f(x, y)\)。 一个关键事实（由富比尼定理保证）： 如果 \(f\) 是 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}\)-可测的，那么对于几乎所有的 \(x \in X\)，\(f_ x\) 是 \(\mathcal{G}\)-可测的；对于几乎所有的 \(y \in Y\)，\(f^y\) 是 \(\mathcal{F}\)-可测的。 4. 定理的精确陈述（现代形式） 设 \((X, \mathcal{F}, \mu)\) 和 \((Y, \mathcal{G}, \nu)\) 是 \(\sigma\)-有限的完备测度空间，\(f: X \times Y \to [ 0, \infty ]\) 是一个非负的 \((\mathcal{F} \otimes \mathcal{G})\)-可测函数。则： 对于几乎处处的 \(x \in X\)，函数 \(y \mapsto f(x, y)\) 是 \(\mathcal{G}\)-可测的，并且函数 \(x \mapsto \int_ Y f(x, y) \, d\nu(y)\) 是 \(\mathcal{F}\)-可测的。 对于几乎处处的 \(y \in Y\)，函数 \(x \mapsto f(x, y)\) 是 \(\mathcal{F}\)-可测的，并且函数 \(y \mapsto \int_ X f(x, y) \, d\mu(x)\) 是 \(\mathcal{G}\)-可测的。 下述等式成立： \[ \int_ {X \times Y} f \, d(\mu \times \nu) = \int_ X \left( \int_ Y f(x, y) \, d\nu(y) \right) d\mu(x) = \int_ Y \left( \int_ X f(x, y) \, d\mu(x) \right) d\nu(y). \] 等号两侧的值都允许是 \(+\infty\) 。 5. 定理的核心思想与解读 非负性至关重要 ：定理结论之所以如此强（无需假设积分有限），根本原因在于被积函数 \(f\) 是非负的。对于非负函数，积分值要么是一个有限的非负数，要么是 \(+\infty\)，不存在因正负相抵而导致的“未定型”问题。 自动可积性验证 ：在应用托内利定理时，我们无需事先验证 \(f\) 在乘积空间上是否可积（即 \(\int |f| d(\mu \times \nu) < \infty\)）。我们只需： a. 验证 \(f\) 是 非负 的。 b. 验证 \(f\) 是 乘积可测 的。 只要这两个条件满足，你就可以 放心地交换积分次序 进行计算。如果通过计算发现某一次序的累次积分是一个 有限的 数，那么由定理结论（三者相等）可以直接推出 \(f\) 在乘积测度下也是可积的（即属于 \(L^1(\mu \times \nu)\)）。 与富比尼定理的关系 ：富比尼定理处理的是 可积函数 （即 \(\int |f| d(\mu \times \nu) < \infty\)），它断言此时累次积分相等且与重积分相等。而托内利定理常常作为应用富比尼定理之前的“侦察兵”：当我们拿到一个非负可测函数 \(f\) 时，先用托内利定理交换次序计算累次积分。如果算出一个有限值，根据托内利定理的结论，这等于 \(\int f d(\mu \times \nu)\)，从而我们不仅完成了计算，还顺便证明了 \(f\) 是可积的，进而满足了使用富比尼定理的条件（虽然此时结论已由托内利得出）。 简单记忆 ：非负用托内利（Tonelli），可积用富比尼（Fubini）。 6. 一个典型应用示例 计算积分：\(\iint_ {\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy\)。 步骤1（验证条件） ：函数 \(f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)} = e^{-x^2}e^{-y^2}\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 上连续，故为博雷尔可测（进而勒贝格可测）。显然 \(f \geq 0\)。\(\mathbb{R}\) 上的勒贝格测度是 \(\sigma\)-有限的。 步骤2（应用托内利定理） ：由于条件满足，我们可以自由交换积分次序。 \[ \iint_ {\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy = \int_ {-\infty}^{\infty} \left( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2}e^{-y^2} \, dy \right) dx. \] 步骤3（计算累次积分） ：先对 \(y\) 积分，将 \(e^{-x^2}\) 视为常数： \[ = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \left( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, dy \right) dx = \left( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \cdot \left( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-y^2} \, dy \right). \] 已知 \(\int_ {-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \, dt = \sqrt{\pi}\)。因此原积分 \(= \sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi} = \pi\)。 步骤4（结论） ：我们得到了一个有限的数值 \(\pi\)。根据托内利定理，这同时意味着函数 \(e^{-(x^2+y^2)}\) 在 \(\mathbb{R}^2\) 上勒贝格可积，且其积分值为 \(\pi\)。 7. 需要注意的细节与常见误区 测度的 \(\sigma\)-有限性假设不可省略 ：否则乘积测度的构造会变得复杂，定理结论可能不成立。常见的勒贝格测度和计数测度（在可数集上）都是 \(\sigma\)-有限的。 函数必须是非负的 ：如果去掉非负条件，即使函数可测，累次积分也可能存在且相等，但重积分可能不存在（不满足绝对可积）。例如，一个在正方形上正负震荡使得重积分不存在的函数，其累次积分可能因积分次序不同而得到不同的结果。 完备性假设 ：定理陈述中通常要求测度空间是完备的（例如勒贝格测度空间），这是为了保证截口函数的可测性结论更干净（“几乎所有”截口可测）。在实践中，我们通常使用完备化的测度空间。 综上所述， 托内利定理 是关于非负可测函数积分换序的强力工具，它免除了事先验证函数可积性的步骤，为计算和理论推导提供了极大便利，并与富比尼定理构成了处理重积分与累次积分关系的完整理论框架。