平行曲面在等距变换下的不变量
字数 3501 2025-12-21 17:03:35

平行曲面在等距变换下的不变量

好的，我们现在来探讨“平行曲面”在经历“等距变换”时，哪些几何量会保持不变。这是一个融合了曲面论与变换群论的深刻主题。我们将分步、细致地进行讲解。

第一步：明确核心概念

首先，我们需要精确理解“平行曲面”和“等距变换”这两个基石。

  1. 平行曲面：给定一张光滑曲面 \(S\) 及其单位法向量场 \(N\)。对于任意常数 \(d\)，我们构造一张新曲面 \(S_d\)，其上的点 \(p_d\) 由 \(S\) 上的点 \(p\) 沿法线方向平移距离 \(d\) 得到，即 \(p_d = p + d \cdot N(p)\)。曲面 \(S_d\) 称为 \(S\) 的平行曲面。当 \(d>0\) 时向外平行，\(d<0\) 时向内平行。

  2. 等距变换：三维空间中的一种变换，它保持任意两点间的距离不变。这包括刚性运动（旋转和平移）和反射。其核心是保持曲面的“第一基本形式”（即度量）不变，因此曲面上曲线的长度、两切线间的夹角、曲面区域的面积（内蕴几何量）在变换前后都相同。

第二步：平行曲面的基本几何量回顾

为了研究不变量，我们需要回顾平行曲面的一些基本公式。设原曲面 \(S\) 的主曲率为 \(k_1, k_2\)，高斯曲率为 \(K = k_1 k_2\)，平均曲率为 \(H = (k_1 + k_2)/2\)。

对于平行曲面 \(S_d\)，其对应的几何量与原曲面有如下关系：

  • 法向量： \(S_d\) 在点 \(p_d\) 处的单位法向量与 \(S\) 在点 \(p\) 处的相同，即 \(N_d(p_d) = N(p)\)。
  • 主曲率： \(k_i^d = \frac{k_i}{1 - d \cdot k_i}, \quad i=1,2\)。这里 \(1 - d \cdot k_i \neq 0\) 保证了平行曲面在该点光滑。
  • 高斯曲率： \(K_d = \frac{K}{1 - 2dH + d^2 K}\)。
  • 平均曲率： \(H_d = \frac{H - dK}{1 - 2dH + d^2 K}\)。

第三步：等距变换对平行曲面的影响

现在，我们对整个几何构型（包括原曲面 \(S\) 及其平行曲面 \(S_d\)）施加一个等距变换 \(T\)。等距变换 \(T\) 是全局的，它将空间中的每一点映射到另一点。

  • \(T\) 将原曲面 \(S\) 变为一个新曲面 \(T(S)\)。

  • 由于等距变换保持距离和方向（反射会改变手性，但不影响我们讨论的度量），它将直线变为直线，且保持角度。因此，原曲面 \(S\) 在点 \(p\) 处的法线 \(L\)（一条穿过 \(p\) 沿 \(N(p)\) 方向的直线），在 \(T\) 的作用下，将变为新曲面 \(T(S)\) 在点 \(T(p)\) 处的一条法线 \(T(L)\)，其方向为 \(T_*(N(p))\)（这里 \(T_*\) 是 \(T\) 诱导的切空间映射，对于刚性运动，它就是一个旋转作用在向量上）。

  • 关键观察：构造平行曲面的操作“沿法线方向平移固定距离 \(d\)” 与 “进行等距变换 \(T\)” 这两个操作是交换的！
    这是因为：

  1. 从点 \(p\) 出发，先沿法线 \(N(p)\) 方向移动 \(d\) 到达 \(p_d\)，再对结果做等距变换得到 \(T(p_d)\)。
  2. 从同一点 \(p\) 出发，先做等距变换到 \(T(p)\)，然后沿着新曲面 \(T(S)\) 在 \(T(p)\) 点的法线方向（即 \(T_*(N(p))\) ）移动相同的距离 \(d\)，到达某点 \(q\)。
    由于等距变换 \(T\) 保持距离和角度，路径 \(p \to p_d\) 和路径 \(T(p) \to q\) 是“全等”的。因此，\(T(p_d) = q\)。
    这意味着，对平行曲面做等距变换，得到的正是对新曲面做平行曲面构造的结果。用公式表达就是：

\[ T(S_d) = [T(S)]_d \]

即：**“先平移，后变换” 等于 “先变换，后平移”**。

第四步：推导不变量

基于第三步的交换性 \(T(S_d) = [T(S)]_d\)，我们可以推导出哪些量是“平行曲面”在“等距变换”下的不变量。

我们比较变换前后，两张平行曲面 \(S_d\) 和 \(T(S_d) = [T(S)]_d\) 的几何。

  1. 内蕴几何不变量：
  • 由于 \(T\) 是等距变换，原曲面 \(S\) 与其像 \(T(S)\) 是等距的，它们有完全相同的第一基本形式。
  • 根据平行曲面的公式，平行曲面 \(S_d\) 和 \([T(S)]_d\) 的第一基本形式完全由 \(S\) 和 \(T(S)\) 的第一基本形式以及常数 \(d\) 决定。
  • 因为 \(S\) 与 \(T(S)\) 等距（第一基本形式相同），所以 \(S_d\) 与 \([T(S)]_d = T(S_d)\) 也必定是等距的。
  • 结论1：平行曲面 \(S_d\) 的内蕴几何（由其第一基本形式决定的所有量，如高斯曲率 \(K_d\)、测地线、内蕴距离等）是等距变换下的不变量。 更准确地说，\(S_d\) 和变换后的 \(T(S_d)\) 具有相同的内蕴几何。
  1. 外蕴几何的混合不变量：
    我们考虑原曲面 \(S\) 与其平行曲面 \(S_d\) 之间的“相对几何”。
  • 平行距离 \(d\)：这是构造中的核心常数，显然是固定且与变换无关的。
  • 对应点间的法向距离：在变换下，点 \(p\) 与 \(p_d\) 之间的距离 \(d\) 被保持。变换后，\(T(p)\) 与 \(T(p_d)\) 之间的距离同样为 \(d\)。
  • 对应法线方向：变换前后，点对 \((p, p_d)\) 的连线方向与两曲面在对应点的法线方向保持一致（都等于 \(N(p)\) 或其在 \(T\) 下的像）。这个“平行性”关系被等距变换保持。
  • 结论2：平行曲面族 \(\{S_d\}\) 作为一个整体，其“平行结构”——即由固定的法向距离 \(d\) 关联的曲面族——本身是等距变换下的不变量。 等距变换将一族平行曲面变为另一族平行曲面。
  1. 衍生不变量：
    结合前两点，我们可以构造一些具体的、在变换下保持不变的标量函数。
  • 考虑 \(S_d\) 的平均曲率 \(H_d\) 和高斯曲率 \(K_d\)。它们是 \(S\) 的主曲率 \(k_1, k_2\) 和距离 \(d\) 的函数，如第二步中的公式所示。
  • 虽然 \(S\) 的 \(k_1, k_2\) 在等距变换下可能会改变（因为主方向在空间中的方位变了），但它们的值本身是不变量。主曲率是曲面的内蕴属性（与第二基本形式相关，但第二基本形式的系数在等距变换下可能改变符号，但其特征值 \(k_1, k_2\) 的值是保持的，反射可能会改变符号，但通常我们讨论的等距包含保持定向的，此时符号也保持不变）。
  • 因此，将相同的 \(k_1, k_2\) 值和相同的 \(d\) 代入 \(K_d\) 和 \(H_d\) 的公式，得到的结果必然相同。
  • 结论3：由原曲面的主曲率 \(k_1, k_2\) 和平行距离 \(d\) 通过固定公式计算出的平行曲面高斯曲率 \(K_d\) 和平均曲率 \(H_d\)，是等距变换下的不变量。 即，如果两张曲面是等距的，那么它们各自的平行曲面（在相同 \(d\) 下）在对应点具有相同的 \(K_d\) 和 \(H_d\) 值。

总结

  • 核心不变量：平行曲面族的结构。等距变换不改变曲面间“以固定法向距离平行”这一关系。
  • 具体表现：
  1. 内蕴不变量：平行曲面 \(S_d\) 本身的内蕴几何（如它的第一基本形式、内蕴高斯曲率）是等距不变量。
  2. 相对几何不变量：原曲面 \(S\) 与平行曲面 \(S_d\) 之间的法向距离 \(d\) 和法向对应关系是保持的。
  3. 曲率函数不变量：平行曲面的高斯曲率 \(K_d\) 和平均曲率 \(H_d\) （作为从原曲面继承并经由固定公式计算的量）是等距不变量。这意味着，如果我们只知道一张曲面的这两个曲率函数（关于 \(d\) 的参数形式），我们就能确定其在等距变换下的所有平行曲面的相应曲率。
平行曲面在等距变换下的不变量 好的，我们现在来探讨“平行曲面”在经历“等距变换”时，哪些几何量会保持不变。这是一个融合了曲面论与变换群论的深刻主题。我们将分步、细致地进行讲解。 第一步：明确核心概念 首先，我们需要精确理解“平行曲面”和“等距变换”这两个基石。 平行曲面 ：给定一张光滑曲面 \(S\) 及其单位法向量场 \(N\)。对于任意常数 \(d\)，我们构造一张新曲面 \(S_ d\)，其上的点 \(p_ d\) 由 \(S\) 上的点 \(p\) 沿法线方向平移距离 \(d\) 得到，即 \(p_ d = p + d \cdot N(p)\)。曲面 \(S_ d\) 称为 \(S\) 的 平行曲面 。当 \(d>0\) 时向外平行，\(d <0\) 时向内平行。 等距变换 ：三维空间中的一种变换，它 保持任意两点间的距离不变 。这包括 刚性运动 （旋转和平移）和 反射 。其核心是保持曲面的“第一基本形式”（即度量）不变，因此曲面上曲线的长度、两切线间的夹角、曲面区域的面积（内蕴几何量）在变换前后都相同。 第二步：平行曲面的基本几何量回顾 为了研究不变量，我们需要回顾平行曲面的一些基本公式。设原曲面 \(S\) 的主曲率为 \(k_ 1, k_ 2\)，高斯曲率为 \(K = k_ 1 k_ 2\)，平均曲率为 \(H = (k_ 1 + k_ 2)/2\)。 对于平行曲面 \(S_ d\)，其对应的几何量与原曲面有如下关系： 法向量 ： \(S_ d\) 在点 \(p_ d\) 处的单位法向量与 \(S\) 在点 \(p\) 处的相同，即 \(N_ d(p_ d) = N(p)\)。 主曲率 ： \(k_ i^d = \frac{k_ i}{1 - d \cdot k_ i}, \quad i=1,2\)。这里 \(1 - d \cdot k_ i \neq 0\) 保证了平行曲面在该点光滑。 高斯曲率 ： \(K_ d = \frac{K}{1 - 2dH + d^2 K}\)。 平均曲率 ： \(H_ d = \frac{H - dK}{1 - 2dH + d^2 K}\)。 第三步：等距变换对平行曲面的影响 现在，我们对整个几何构型（包括原曲面 \(S\) 及其平行曲面 \(S_ d\)）施加一个等距变换 \(T\)。等距变换 \(T\) 是全局的，它将空间中的每一点映射到另一点。 \(T\) 将原曲面 \(S\) 变为一个新曲面 \(T(S)\)。 由于等距变换保持距离和方向（反射会改变手性，但不影响我们讨论的度量），它将 直线变为直线 ，且保持 角度 。因此，原曲面 \(S\) 在点 \(p\) 处的 法线 \(L\)（一条穿过 \(p\) 沿 \(N(p)\) 方向的直线），在 \(T\) 的作用下，将变为新曲面 \(T(S)\) 在点 \(T(p)\) 处的一条 法线 \(T(L)\)，其方向为 \(T_ (N(p))\)（这里 \(T_ \) 是 \(T\) 诱导的切空间映射，对于刚性运动，它就是一个旋转作用在向量上）。 关键观察： 构造平行曲面的操作“沿法线方向平移固定距离 \(d\)” 与 “进行等距变换 \(T\)” 这两个操作是交换的！ 这是因为： 从点 \(p\) 出发，先沿法线 \(N(p)\) 方向移动 \(d\) 到达 \(p_ d\)，再对结果做等距变换得到 \(T(p_ d)\)。 从同一点 \(p\) 出发，先做等距变换到 \(T(p)\)，然后沿着新曲面 \(T(S)\) 在 \(T(p)\) 点的法线方向（即 \(T_* (N(p))\) ）移动相同的距离 \(d\)，到达某点 \(q\)。 由于等距变换 \(T\) 保持距离和角度，路径 \(p \to p_ d\) 和路径 \(T(p) \to q\) 是“全等”的。因此，\(T(p_ d) = q\)。 这意味着， 对平行曲面做等距变换，得到的正是对新曲面做平行曲面构造的结果 。用公式表达就是： \[ T(S_ d) = [ T(S)]_ d \] 即： “先平移，后变换” 等于 “先变换，后平移” 。 第四步：推导不变量 基于第三步的交换性 \(T(S_ d) = [ T(S)]_ d\)，我们可以推导出哪些量是“平行曲面”在“等距变换”下的不变量。 我们比较变换前后，两张平行曲面 \(S_ d\) 和 \(T(S_ d) = [ T(S)]_ d\) 的几何。 内蕴几何不变量 ： 由于 \(T\) 是等距变换，原曲面 \(S\) 与其像 \(T(S)\) 是 等距 的，它们有完全相同的第一基本形式。 根据平行曲面的公式，平行曲面 \(S_ d\) 和 \([ T(S)]_ d\) 的第一基本形式完全由 \(S\) 和 \(T(S)\) 的第一基本形式以及常数 \(d\) 决定。 因为 \(S\) 与 \(T(S)\) 等距（第一基本形式相同），所以 \(S_ d\) 与 \([ T(S)]_ d = T(S_ d)\) 也必定是等距的。 结论1 ： 平行曲面 \(S_ d\) 的内蕴几何（由其第一基本形式决定的所有量，如高斯曲率 \(K_ d\)、测地线、内蕴距离等）是等距变换下的不变量。 更准确地说，\(S_ d\) 和变换后的 \(T(S_ d)\) 具有相同的内蕴几何。 外蕴几何的混合不变量 ： 我们考虑原曲面 \(S\) 与其平行曲面 \(S_ d\) 之间的“相对几何”。 平行距离 \(d\) ：这是构造中的核心常数，显然是固定且与变换无关的。 对应点间的法向距离 ：在变换下，点 \(p\) 与 \(p_ d\) 之间的距离 \(d\) 被保持。变换后，\(T(p)\) 与 \(T(p_ d)\) 之间的距离同样为 \(d\)。 对应法线方向 ：变换前后，点对 \((p, p_ d)\) 的连线方向与两曲面在对应点的法线方向保持一致（都等于 \(N(p)\) 或其在 \(T\) 下的像）。这个“平行性”关系被等距变换保持。 结论2 ： 平行曲面族 \(\{S_ d\}\) 作为一个整体，其“平行结构”——即由固定的法向距离 \(d\) 关联的曲面族——本身是等距变换下的不变量。 等距变换将一族平行曲面变为另一族平行曲面。 衍生不变量 ： 结合前两点，我们可以构造一些具体的、在变换下保持不变的 标量函数 。 考虑 \(S_ d\) 的 平均曲率 \(H_ d\) 和 高斯曲率 \(K_ d\) 。它们是 \(S\) 的主曲率 \(k_ 1, k_ 2\) 和距离 \(d\) 的函数，如第二步中的公式所示。 虽然 \(S\) 的 \(k_ 1, k_ 2\) 在等距变换下可能会改变（因为主方向在空间中的方位变了），但 它们的值本身是不变量 。主曲率是曲面的内蕴属性（与第二基本形式相关，但第二基本形式的系数在等距变换下可能改变符号，但其特征值 \(k_ 1, k_ 2\) 的值是保持的，反射可能会改变符号，但通常我们讨论的等距包含保持定向的，此时符号也保持不变）。 因此，将相同的 \(k_ 1, k_ 2\) 值和相同的 \(d\) 代入 \(K_ d\) 和 \(H_ d\) 的公式，得到的结果必然相同。 结论3 ： 由原曲面的主曲率 \(k_ 1, k_ 2\) 和平行距离 \(d\) 通过固定公式计算出的平行曲面高斯曲率 \(K_ d\) 和平均曲率 \(H_ d\)，是等距变换下的不变量。 即，如果两张曲面是等距的，那么它们各自的平行曲面（在相同 \(d\) 下）在对应点具有相同的 \(K_ d\) 和 \(H_ d\) 值。 总结 核心不变量 ： 平行曲面族的结构 。等距变换不改变曲面间“以固定法向距离平行”这一关系。 具体表现 ： 内蕴不变量 ：平行曲面 \(S_ d\) 本身的内蕴几何（如它的第一基本形式、内蕴高斯曲率）是等距不变量。 相对几何不变量 ：原曲面 \(S\) 与平行曲面 \(S_ d\) 之间的法向距离 \(d\) 和法向对应关系是保持的。 曲率函数不变量 ：平行曲面的高斯曲率 \(K_ d\) 和平均曲率 \(H_ d\) （作为从原曲面继承并经由固定公式计算的量）是等距不变量。这意味着，如果我们只知道一张曲面的这两个曲率函数（关于 \(d\) 的参数形式），我们就能确定其在等距变换下的所有平行曲面的相应曲率。