拉普拉斯变换 好的，我们接下来学习 拉普拉斯变换 。它是分析学中一个极为强大的工具，尤其在求解微分方程和分析线性系统（如电路、振动系统）的动态行为方面具有核心地位。我们可以将其理解为傅里叶变换的一种推广。 第一步：从傅里叶变换到拉普拉斯变换的动机 你已经学过傅里叶变换，它允许我们将一个函数从时间域（或空间域）转换到频率域。然而，傅里叶变换有一个关键的限制：它要求函数是 绝对可积 的，即积分 ∫|f(t)| dt（从 -∞ 到 +∞）必须收敛。 这个条件将许多重要的函数排除在外，比如最简单的指数增长函数 f(t) = eᵃᵗ (a > 0)，或者常数函数 f(t) = 1。这些函数在工程和物理中非常常见。那么，我们能否对这类函数也进行某种“频率域”的分析呢？ 拉普拉斯变换的巧妙思想是： 用一个衰减因子来“驯服”增长过快的函数 。 具体做法是：我们考虑函数 f(t) 乘以一个指数衰减项 e⁻ᵒᵗ，其中 σ 是一个实数。如果 σ 足够大，那么对于许多增长函数 f(t)，乘积 f(t)e⁻ᵒᵗ 在 t→∞ 时就会衰减到零，从而使得这个新函数满足绝对可积的条件。 现在，我们对这个经过“驯服”的函数 f(t)e⁻ᵒᵗ 进行傅里叶变换。回忆傅里叶变换的公式： F(ω) = ∫ f(t) e⁻ⁱᵂᵗ dt（积分限从 -∞ 到 +∞） 将 f(t) 替换为 f(t)e⁻ᵒᵗ，我们得到： ∫ [ f(t)e⁻ᵒᵗ ] e⁻ⁱᵂᵗ dt = ∫ f(t) e⁻⁽ᵒ⁺ⁱᵂ⁾ᵗ dt 我们令 s = σ + iω（这是一个复数），那么上面的积分就变成了： F(s) = ∫ f(t) e⁻ᵉᵗ dt（积分限从 0 到 +∞） 这就是 拉普拉斯变换 的定义。通常我们只关心 t ≥ 0 的情况（因果信号），所以积分下限从 0 开始。 第二步：拉普拉斯变换的正式定义与收敛域 定义 ： 设函数 f(t) 在 t ≥ 0 上有定义。那么 f(t) 的（单边）拉普拉斯变换 F(s) 定义为： F(s) = L{f(t)} = ∫₀^∞ f(t) e⁻ᵉᵗ dt 其中 s = σ + iω 是一个复变量。 这个积分可能不是对所有复数 s 都收敛的。使得该积分收敛的复数 s 的集合，称为该拉普拉斯变换的 收敛域 。 收敛域的特性 ： 形状 ：收敛域通常是复平面上的一个 右半平面 ，即所有满足 Re(s) > σ₀ 的 s 的集合。这个 σ₀ 被称为 收敛横坐标 。 唯一性 ：一个拉普拉斯变换 F(s) 和它的收敛域共同唯一地决定了原函数 f(t)。忽略收敛域而只谈表达式 F(s) 可能会导致错误。 例子 ：对于 f(t) = eᵃᵗ，其拉普拉斯变换为 F(s) = 1/(s - a)，收敛域为 Re(s) > a。如果 a 是正数，这说明我们需要一个足够强的衰减因子（σ > a）才能“压制”函数的指数增长。 第三步：基本性质与常用变换对 拉普拉斯变换的强大之处在于它拥有许多优良的性质，这些性质使得运算（特别是解微分方程）变得非常方便。 线性性质 ： L{a f(t) + b g(t)} = a L{f(t)} + b L{g(t)} 时域微分性质（核心） ： L{f'(t)} = s F(s) - f(0⁻) L{f''(t)} = s² F(s) - s f(0⁻) - f'(0⁻) 这个性质是拉普拉斯变换能简化微分方程的关键！它将时域中的微分运算转化为复频域中的乘法运算。 时域积分性质 ： L{∫₀ᵗ f(τ) dτ} = F(s) / s s-域平移性质 ： L{eᵃᵗ f(t)} = F(s - a) 这相当于将频率域平移了 a。 初值定理与终值定理 ： 它们允许我们直接从 F(s) 求出 f(t) 在 t=0⁺ 和 t→∞ 时的极限值，而无需进行反变换。 常用变换对（需要熟记） ： 单位阶跃函数 u(t): L{u(t)} = 1/s, Re(s) > 0 指数函数 eᵃᵗ: L{eᵃᵗ} = 1/(s - a), Re(s) > a t的幂函数 tⁿ: L{tⁿ} = n ! / sⁿ⁺¹, Re(s) > 0 正弦函数 sin(ωt): L{sin(ωt)} = ω / (s² + ω²) 余弦函数 cos(ωt): L{cos(ωt)} = s / (s² + ω²) 第四步：拉普拉斯反变换 当我们通过拉普拉斯变换在复频域（s-域）中解决问题后，需要将结果 F(s) 变回时域函数 f(t)。这个过程称为 拉普拉斯反变换 ，记作 L⁻¹{F(s)} = f(t)。 最常用的方法是 部分分式展开法 。其核心思想是，将复杂的 s-域有理函数 F(s) 分解为多个简单分式的和，而这些简单分式的反变换是已知的（可以从变换对表中查到）。 一般步骤 ： 将 F(s) 写为两个多项式之比：F(s) = P(s) / Q(s)。 对分母 Q(s) 进行因式分解。 根据分母根的不同情况（单实根、重根、共轭复根），将 F(s) 展开为部分分式。 利用线性性质和已知的变换对，逐项求出反变换。 例如，求 F(s) = 1 / [ (s+1)(s+2) ] 的反变换。 展开： 1 / [ (s+1)(s+2) ] = A/(s+1) + B/(s+2) 解得 A=1, B=-1。 所以 F(s) = 1/(s+1) - 1/(s+2) 查表知 L⁻¹{1/(s+a)} = e⁻ᵃᵗ，因此 f(t) = e⁻ᵗ - e⁻²ᵗ。 第五步：应用——求解线性常微分方程 让我们通过一个具体例子来展示拉普拉斯变换的强大威力。求解初值问题： y'' + 3y' + 2y = 0, 初始条件 y(0) = 1, y'(0) = 0. 求解过程 ： 对方程两边取拉普拉斯变换 ： L{y''} + 3L{y'} + 2L{y} = L{0} 应用微分性质 ： [ s² Y(s) - s y(0) - y'(0)] + 3[ s Y(s) - y(0) ] + 2Y(s) = 0 代入初始条件 ： (s² Y(s) - s * 1 - 0) + 3(s Y(s) - 1) + 2Y(s) = 0 => s² Y(s) - s + 3s Y(s) - 3 + 2Y(s) = 0 整理得到 Y(s) 的代数方程 ： (s² + 3s + 2) Y(s) = s + 3 => Y(s) = (s + 3) / (s² + 3s + 2) 因式分解分母并部分分式展开 ： 分母 s² + 3s + 2 = (s+1)(s+2) Y(s) = (s+3) / [ (s+1)(s+2) ] = A/(s+1) + B/(s+2) 解得 A = 2, B = -1。 所以 Y(s) = 2/(s+1) - 1/(s+2) 进行拉普拉斯反变换 ： y(t) = L⁻¹{Y(s)} = L⁻¹{2/(s+1)} - L⁻¹{1/(s+2)} = 2e⁻ᵗ - e⁻²ᵗ 就这样，我们轻松地求得了微分方程的解。这种方法将求解微分方程的“微积分”问题转化为了求解“代数方程”和进行“部分分式分解”的问题，过程非常系统化，尤其适用于带有不连续输入（如脉冲、阶跃信号）的复杂系统。