双曲抛物面的曲率中心与焦散面

字数 4228 2025-12-21 13:01:59

双曲抛物面的曲率中心与焦散面

好的，我们开始学习一个新的词条。这个词条将结合你对双曲抛物面、曲率中心、焦散面等概念已有的了解，深入探讨它们之间的联系。

第一步：核心概念回顾与建立关联

双曲抛物面 (Hyperbolic Paraboloid)：这是一个经典的鞍形曲面。其标准方程是 \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\) 或 \(z = kxy\)（通过坐标旋转可得）。它是一个双重直纹面，即由两族直线构成。在非脐点处，其高斯曲率为负。
曲率中心 (Center of Curvature)：对于曲面上某点 \(p\) 沿一个给定方向（通常由切向量 \(\mathbf{v}\) 指定），存在一个“曲率中心”。它是这个方向对应的法曲率圆的圆心。具体来说：

过点 \(p\)，在由切方向 \(\mathbf{v}\) 和曲面法向量 \(\mathbf{n}\) 张成的平面（法截面）上，可以截出一条平面曲线。
这条平面曲线在点 \(p\) 有一个密切圆（曲率圆）。
这个圆的圆心，称为曲面在点 \(p\) 沿方向 \(\mathbf{v}\) 的曲率中心。其位置向量为 \(\mathbf{c}(p， \mathbf{v}) = p + \frac{1}{\kappa_n} \mathbf{n}\)，其中 \(\kappa_n\) 是沿 \(\mathbf{v}\) 方向的法曲率。

焦散面 (Caustic)：这是一个“由包络产生的”曲面。想象一束光线（或法线）在空间中传播，当它们被一个曲面反射或折射后，其反射线或折射线（或其延长线）通常会相交、汇聚。这些光线的包络面就称为焦散面。在几何中，焦散面常与法线族的包络或曲率中心的轨迹密切相关。

现在，我们将这三个概念串联起来：研究“双曲抛物面上所有点沿某个特定方向（或其主方向）的曲率中心的集合”，这个集合形成的曲面，很可能就构成了一个焦散面。

第二步：双曲抛物面上曲率中心的计算

我们采用标准形式的双曲抛物面：\(S: z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\)。

参数化：一个简单的参数化是 \(\mathbf{r}(u, v) = (u, v, \frac{u^2}{a^2} - \frac{v^2}{b^2})\)。
计算第一、第二基本形式（为节省篇幅，直接给出关键结果）：

切向量：\(\mathbf{r}_u = (1, 0, \frac{2u}{a^2})\)， \(\mathbf{r}_v = (0, 1, -\frac{2v}{b^2})\)。
法向量：\(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|}\)。经计算，单位化的法向量为 \(\mathbf{n} = \frac{(-2u/a^2, 2v/b^2, 1)}{\sqrt{1 + 4u^2/a^4 + 4v^2/b^4}}\)。
第一基本形式系数：\(E = 1 + 4u^2/a^4\)， \(F = -4uv/(a^2b^2)\)， \(G = 1 + 4v^2/b^4\)。
第二基本形式系数：\(L = \frac{2/a^2}{\sqrt{1 + 4u^2/a^4 + 4v^2/b^4}}\)， \(M = 0\)， \(N = \frac{-2/b^2}{\sqrt{1 + 4u^2/a^4 + 4v^2/b^4}}\)。
注意：\(M=0\) 意味着参数曲线网 \((u=\text{常数}, v=\text{常数})\) 恰好是曲率线网。因此，\(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\) 方向就是主方向。

主曲率：因为 \(M=0\)，主曲率就是沿 \(\mathbf{r}_u\) 和 \(\mathbf{r}_v\) 方向的法曲率。

\(u\)-线方向（\(v=\text{常数}\)）的主曲率：\(\kappa_1 = L/E = \frac{2/a^2}{(1+4u^2/a^4)\sqrt{1+4u^2/a^4+4v^2/b^4}}\)。
\(v\)-线方向（\(u=\text{常数}\)）的主曲率：\(\kappa_2 = N/G = \frac{-2/b^2}{(1+4v^2/b^4)\sqrt{1+4u^2/a^4+4v^2/b^4}}\)。
由于 \(a, b > 0\)，显然 \(\kappa_1 > 0\)， \(\kappa_2 < 0\)，符合鞍面的特征。

曲率中心：我们计算沿两个主方向的曲率中心。

沿 \(u\)-线方向的主曲率中心 \(C_1\)：
\(\mathbf{c}_1(u, v) = \mathbf{r}(u, v) + \frac{1}{\kappa_1} \mathbf{n}\)。
代入 \(\mathbf{n}\) 和 \(\kappa_1\) 的表达式：
\(\mathbf{c}_1 = (u, v, \frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}) + \frac{(1+4u^2/a^4)\sqrt{1+4u^2/a^4+4v^2/b^4}}{2/a^2} \cdot \frac{(-2u/a^2, 2v/b^2, 1)}{\sqrt{1+4u^2/a^4+4v^2/b^4}}\)
\(= (u, v, \frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}) + (1+4u^2/a^4) \cdot (-u, \frac{v a^2}{b^2}, \frac{a^2}{2})\)。
化简坐标：
\(x_1 = u - u(1+4u^2/a^4) = -4u^3/a^4\)
\(y_1 = v + (1+4u^2/a^4)(v a^2/b^2) = v[1 + (a^2/b^2)(1+4u^2/a^4)]\)
\(z_1 = (\frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}) + \frac{a^2}{2}(1+4u^2/a^4) = \frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2} + \frac{a^2}{2} + 2u^2 = \frac{a^2}{2} + \frac{u^2}{a^2}(a^4+2) - \frac{v^2}{b^2}\)。
沿 \(v\)-线方向的主曲率中心 \(C_2\)：
\(\mathbf{c}_2(u, v) = \mathbf{r}(u, v) + \frac{1}{\kappa_2} \mathbf{n}\)。
类似计算可得（过程略）：
\(x_2 = u[1 + (b^2/a^2)(1+4v^2/b^4)]\)
\(y_2 = -4v^3/b^4\)
\(z_2 = -\frac{b^2}{2} + \frac{u^2}{a^2} - \frac{v^2}{b^2}(b^4+2)\)。

结论：双曲抛物面上每个点 \((u, v)\) 对应两个主曲率中心 \(C_1(u, v)\) 和 \(C_2(u, v)\)，它们各自构成一个曲面，称为曲率中心曲面。

第三步：从曲率中心曲面到焦散面

几何解释：曲率中心 \(C_1\) 的轨迹可以看作是，从双曲抛物面上所有点，沿一个主方向（凸的方向）的“法截线”的曲率圆圆心所构成的曲面。在光学或射线几何中，如果一束平行光垂直入射到曲面上，其反射线（或法线）的包络就是焦散面。在这里，沿一个主方向族的所有法线，与曲率中心有紧密关系。
焦散面的生成：更准确地说，双曲抛物面的法线族的包络面，就是其两个曲率中心曲面 \(S^*_1\)（由 \(C_1\) 构成）和 \(S^*_2\)（由 \(C_2\) 构成）。这是因为：

曲面上一点 \(p\) 的法线，可以看作是连接 \(p\) 和其两个曲率中心 \(C_1, C_2\) 的直线。\(C_1\) 和 \(C_2\) 都位于该法线上。
当点 \(p\) 在曲面上连续移动时，这族法线会发生连续变化。这族直线的包络面，在几何上正好由这些直线上的“特征点”（即法线与相邻法线相交的点）构成。而这些特征点，正是曲率中心 \(C_1\) 和 \(C_2\)。因此，两个曲率中心曲面 \(S^*_1\) 和 \(S^*_2\) 共同构成了双曲抛物面法线族的焦散面。

焦散面的特性：

它是一个双重曲面，由两个叶瓣（\(S^*_1\) 和 \(S^*_2\)）组成。
在脐点处，两个主曲率中心重合，两个叶瓣会相交或具有奇点。但对于双曲抛物面，由于高斯曲率处处为负（\(K = \kappa_1 \kappa_2 < 0\)），它没有脐点（除平面点外，但这里也不是），所以两个叶瓣是分离的。
焦散面通常比原曲面更复杂，含有奇点（如尖点、自交线）。从我们计算的 \(C_1, C_2\) 坐标表达式可以看出，它们关于参数 \(u, v\) 是三次的，这意味着焦散面是三次代数曲面。

总结一下这个新词条的核心思想：对于一个特定的曲面（这里以双曲抛物面为例），我们通过计算其主方向上的曲率中心，得到了两个新的曲面。这两个新曲面并不是孤立的，它们具有深刻的几何意义——它们共同构成了原曲面法线族的焦散面。这个过程清晰地展示了曲面的局部弯曲信息（曲率中心）如何通过整体的法线族关联，并产生一个具有奇异性、在波动光学和射线几何中极为重要的全局对象（焦散面）。

双曲抛物面的曲率中心与焦散面好的，我们开始学习一个新的词条。这个词条将结合你对双曲抛物面、曲率中心、焦散面等概念已有的了解，深入探讨它们之间的联系。第一步：核心概念回顾与建立关联双曲抛物面 (Hyperbolic Paraboloid) ：这是一个经典的鞍形曲面。其标准方程是 \( z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \) 或 \( z = kxy \)（通过坐标旋转可得）。它是一个双重直纹面，即由两族直线构成。在非脐点处，其高斯曲率为负。曲率中心 (Center of Curvature) ：对于曲面上某点 \( p \) 沿一个给定方向（通常由切向量 \( \mathbf{v} \) 指定），存在一个“曲率中心”。它是这个方向对应的法曲率圆的圆心。具体来说：过点 \( p \)，在由切方向 \( \mathbf{v} \) 和曲面法向量 \( \mathbf{n} \) 张成的平面（法截面）上，可以截出一条平面曲线。这条平面曲线在点 \( p \) 有一个密切圆（曲率圆）。这个圆的圆心，称为曲面在点 \( p \) 沿方向 \( \mathbf{v} \) 的曲率中心。其位置向量为 \( \mathbf{c}(p， \mathbf{v}) = p + \frac{1}{\kappa_ n} \mathbf{n} \)，其中 \( \kappa_ n \) 是沿 \( \mathbf{v} \) 方向的法曲率。焦散面 (Caustic) ：这是一个“由包络产生的”曲面。想象一束光线（或法线）在空间中传播，当它们被一个曲面反射或折射后，其反射线或折射线（或其延长线）通常会相交、汇聚。这些光线的包络面就称为焦散面。在几何中，焦散面常与法线族的包络或曲率中心的轨迹密切相关。现在，我们将这三个概念串联起来：研究“双曲抛物面上所有点沿某个特定方向（或其主方向）的曲率中心的集合”，这个集合形成的曲面，很可能就构成了一个焦散面。第二步：双曲抛物面上曲率中心的计算我们采用标准形式的双曲抛物面：\( S: z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \)。参数化：一个简单的参数化是 \( \mathbf{r}(u, v) = (u, v, \frac{u^2}{a^2} - \frac{v^2}{b^2}) \)。计算第一、第二基本形式（为节省篇幅，直接给出关键结果）：切向量：\( \mathbf{r}_ u = (1, 0, \frac{2u}{a^2}) \)， \( \mathbf{r}_ v = (0, 1, -\frac{2v}{b^2}) \)。法向量：\( \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v}{\|\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r}_ v\|} \)。经计算，单位化的法向量为 \( \mathbf{n} = \frac{(-2u/a^2, 2v/b^2, 1)}{\sqrt{1 + 4u^2/a^4 + 4v^2/b^4}} \)。第一基本形式系数：\( E = 1 + 4u^2/a^4 \)， \( F = -4uv/(a^2b^2) \)， \( G = 1 + 4v^2/b^4 \)。第二基本形式系数：\( L = \frac{2/a^2}{\sqrt{1 + 4u^2/a^4 + 4v^2/b^4}} \)， \( M = 0 \)， \( N = \frac{-2/b^2}{\sqrt{1 + 4u^2/a^4 + 4v^2/b^4}} \)。注意：\( M=0 \) 意味着参数曲线网 \( (u=\text{常数}, v=\text{常数}) \) 恰好是曲率线网。因此，\( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \) 方向就是主方向。主曲率：因为 \( M=0 \)，主曲率就是沿 \( \mathbf{r}_ u \) 和 \( \mathbf{r}_ v \) 方向的法曲率。 \( u \)-线方向（\( v=\text{常数} \)）的主曲率：\( \kappa_ 1 = L/E = \frac{2/a^2}{(1+4u^2/a^4)\sqrt{1+4u^2/a^4+4v^2/b^4}} \)。 \( v \)-线方向（\( u=\text{常数} \)）的主曲率：\( \kappa_ 2 = N/G = \frac{-2/b^2}{(1+4v^2/b^4)\sqrt{1+4u^2/a^4+4v^2/b^4}} \)。由于 \( a, b > 0 \)，显然 \( \kappa_ 1 > 0 \)， \( \kappa_ 2 < 0 \)，符合鞍面的特征。曲率中心：我们计算沿两个主方向的曲率中心。沿 \( u \)-线方向的主曲率中心 \( C_ 1 \)： \( \mathbf{c}_ 1(u, v) = \mathbf{r}(u, v) + \frac{1}{\kappa_ 1} \mathbf{n} \)。代入 \( \mathbf{n} \) 和 \( \kappa_ 1 \) 的表达式： \( \mathbf{c}_ 1 = (u, v, \frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}) + \frac{(1+4u^2/a^4)\sqrt{1+4u^2/a^4+4v^2/b^4}}{2/a^2} \cdot \frac{(-2u/a^2, 2v/b^2, 1)}{\sqrt{1+4u^2/a^4+4v^2/b^4}} \) \( = (u, v, \frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}) + (1+4u^2/a^4) \cdot (-u, \frac{v a^2}{b^2}, \frac{a^2}{2}) \)。化简坐标： \( x_ 1 = u - u(1+4u^2/a^4) = -4u^3/a^4 \) \( y_ 1 = v + (1+4u^2/a^4)(v a^2/b^2) = v[ 1 + (a^2/b^2)(1+4u^2/a^4) ] \) \( z_ 1 = (\frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}) + \frac{a^2}{2}(1+4u^2/a^4) = \frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2} + \frac{a^2}{2} + 2u^2 = \frac{a^2}{2} + \frac{u^2}{a^2}(a^4+2) - \frac{v^2}{b^2} \)。沿 \( v \)-线方向的主曲率中心 \( C_ 2 \)： \( \mathbf{c}_ 2(u, v) = \mathbf{r}(u, v) + \frac{1}{\kappa_ 2} \mathbf{n} \)。类似计算可得（过程略）： \( x_ 2 = u[ 1 + (b^2/a^2)(1+4v^2/b^4) ] \) \( y_ 2 = -4v^3/b^4 \) \( z_ 2 = -\frac{b^2}{2} + \frac{u^2}{a^2} - \frac{v^2}{b^2}(b^4+2) \)。结论：双曲抛物面上每个点 \( (u, v) \) 对应两个主曲率中心 \( C_ 1(u, v) \) 和 \( C_ 2(u, v) \)，它们各自构成一个曲面，称为曲率中心曲面。第三步：从曲率中心曲面到焦散面几何解释：曲率中心 \( C_ 1 \) 的轨迹可以看作是，从双曲抛物面上所有点，沿一个主方向（凸的方向）的“法截线”的曲率圆圆心所构成的曲面。在光学或射线几何中，如果一束平行光垂直入射到曲面上，其反射线（或法线）的包络就是焦散面。在这里，沿一个主方向族的所有法线，与曲率中心有紧密关系。焦散面的生成：更准确地说，双曲抛物面的法线族的包络面，就是其两个曲率中心曲面 \( S^ _ 1 \)（由 \( C_ 1 \) 构成）和 \( S^ _ 2 \)（由 \( C_ 2 \) 构成）。这是因为：曲面上一点 \( p \) 的法线，可以看作是连接 \( p \) 和其两个曲率中心 \( C_ 1, C_ 2 \) 的直线。\( C_ 1 \) 和 \( C_ 2 \) 都位于该法线上。当点 \( p \) 在曲面上连续移动时，这族法线会发生连续变化。这族直线的包络面，在几何上正好由这些直线上的“特征点”（即法线与相邻法线相交的点）构成。而这些特征点，正是曲率中心 \( C_ 1 \) 和 \( C_ 2 \)。因此，两个曲率中心曲面 \( S^ _ 1 \) 和 \( S^ _ 2 \) 共同构成了双曲抛物面法线族的焦散面。焦散面的特性：它是一个双重曲面，由两个叶瓣（\( S^ _ 1 \) 和 \( S^ _ 2 \)）组成。在脐点处，两个主曲率中心重合，两个叶瓣会相交或具有奇点。但对于双曲抛物面，由于高斯曲率处处为负（\( K = \kappa_ 1 \kappa_ 2 < 0 \)），它没有脐点（除平面点外，但这里也不是），所以两个叶瓣是分离的。焦散面通常比原曲面更复杂，含有奇点（如尖点、自交线）。从我们计算的 \( C_ 1, C_ 2 \) 坐标表达式可以看出，它们关于参数 \( u, v \) 是三次的，这意味着焦散面是三次代数曲面。总结一下这个新词条的核心思想：对于一个特定的曲面（这里以双曲抛物面为例），我们通过计算其主方向上的曲率中心，得到了两个新的曲面。这两个新曲面并不是孤立的，它们具有深刻的几何意义——它们共同构成了原曲面法线族的焦散面。这个过程清晰地展示了曲面的局部弯曲信息（曲率中心）如何通过整体的法线族关联，并产生一个具有奇异性、在波动光学和射线几何中极为重要的全局对象（焦散面）。