随机变量的变换的Cornish-Fisher展开
字数 4192 2025-12-21 09:59:33

好的，我将为你讲解一个未在列表中出现的词条。

随机变量的变换的Cornish-Fisher展开

接下来，我将为你循序渐进地讲解这个知识点。我会从一个核心问题出发，逐步构建起整个理论框架。

第一步：核心问题——为什么需要Cornish-Fisher展开？

假设你熟悉中心极限定理：大量独立同分布随机变量之和（或均值），在标准化后，其分布会渐近于标准正态分布。即：

\[\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \overset{d}{\rightarrow} N(0, 1) \]

我们经常用这个结果来构造“近似”的分位数。例如，对于标准正态分布 \(Z \sim N(0,1)\)，我们知道其95%的分位数（上α分位点，α=0.05）大约是 \(z_{0.95} \approx 1.645\)。基于CLT，我们可能会近似地认为，标准化后的统计量其95%分位数也是1.645。

但问题来了：这个近似有多好？如果原随机变量的分布不是正态的（例如偏斜、厚尾），即使样本量n较大，用正态分位数来近似真实分位数也可能带来显著误差。这在金融风险管理（计算风险价值VaR）、工程可靠性分析中是不可接受的。

因此，我们需要一种方法，在中心极限定理这个“一阶正态近似”的基础上，进行高阶修正，以得到更精确的分位数估计。这就是Cornish-Fisher展开的使命。

第二步：知识基石——Edgeworth展开与分位数函数

要理解Cornish-Fisher展开，必须先了解它的“兄弟”：Edgeworth展开。

  1. 累积量： 定义随机变量\(X\)的累积生成函数为 \(K(t) = \log E[e^{tX}]\)。其泰勒展开系数 \(\kappa_r\) 称为第\(r\)阶累积量。
  • \(\kappa_1 = \mu\) (均值)
  • \(\kappa_2 = \sigma^2\) (方差)
  • \(\kappa_3\) 与偏度有关（衡量分布不对称性）
  • \(\kappa_4\) 与峰度有关（衡量分布尾部厚度和峰尖程度）
  1. Edgeworth展开： 对于标准化后的样本均值 \(S_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}\)，其分布函数 \(F_{S_n}(x)\) 可以展开为以标准正态分布函数 \(\Phi(x)\) 为基础的级数：

\[ F_{S_n}(x) = \Phi(x) + \frac{\phi(x)}{\sqrt{n}} \left[ \frac{\kappa_3}{6\sigma^3} (1 - x^2) \right] + \frac{\phi(x)}{n} \left[ \frac{\kappa_4}{24\sigma^4} (x^3 - 3x) + \frac{\kappa_3^2}{72\sigma^6} (x^5 - 10x^3 + 15x) \right] + ... \]

  • \(\phi(x)\)是标准正态密度函数。
  • 这个展开式包含了基于偏度 (\(\kappa_3\)) 和峰度 (\(\kappa_4\)) 的修正项。
  • 它是一个关于分布函数 \(F(x)\) 的渐近展开。

新的问题： 我们通常需要的是分位数 \(x_\alpha\)，使得 \(F_{S_n}(x_\alpha) = \alpha\)，而不是分布函数本身。如何从Edgeworth展开“反解”出分位数？这就是Cornish-Fisher展开的工作。

第三步：核心思想——分位数函数的逆向展开

Cornish-Fisher展开的基本思想，是寻找分位数 \(x_\alpha\) 的一个展开式，其形式为：

\[x_\alpha = z_\alpha + \frac{1}{\sqrt{n}} a_1(z_\alpha) + \frac{1}{n} a_2(z_\alpha) + \frac{1}{n^{3/2}} a_3(z_\alpha) + ... \]

其中：

  • \(z_\alpha\) 是标准正态分布的 \(\alpha\) 分位数（已知的“一阶近似”）。
  • \(a_1, a_2, a_3, ...\) 是 \(z_\alpha\) 的多项式函数，其系数由原分布的累积量（特别是偏度和峰度）决定。

推导思路（简述）：
我们有两个关系：

  1. Edgeworth展开： \(F_{S_n}(x_\alpha) = \Phi(x_\alpha) + \text{小量修正} = \alpha\)。
  2. 正态分位数定义： \(\Phi(z_\alpha) = \alpha\)。

将 \(x_\alpha = z_\alpha + \delta\) 代入Edgeworth展开，并利用 \(\Phi(z_\alpha + \delta) \approx \Phi(z_\alpha) + \phi(z_\alpha) \delta\) 等近似，通过比较同阶项（如 \(1/\sqrt{n}, 1/n, ...\)），可以逐阶解出修正项 \(\delta\)，从而得到 \(a_1, a_2, ...\) 的具体形式。

第四步：具体形式——Cornish-Fisher展开公式

设标准化变量 \(S\)（不一定是样本均值，只要是渐近正态的统计量即可）的累积量为 \(\kappa_r\)。记其偏度系数 \(\gamma_1 = \kappa_3 / \sigma^3\)，峰度（超额）系数 \(\gamma_2 = \kappa_4 / \sigma^4\)。则其 \(\alpha\) 分位数 \(q_\alpha\) 的Cornish-Fisher展开到 \(O(1/n)\) 阶为：

\[q_\alpha = z_\alpha + \frac{1}{6\sqrt{n}} (z_\alpha^2 - 1) \gamma_1 + \frac{1}{24n} (z_\alpha^3 - 3z_\alpha) \gamma_2 - \frac{1}{36n} (2z_\alpha^3 - 5z_\alpha) \gamma_1^2 + ... \]

让我们仔细解读这个美妙的公式：

  1. 主项： \(z_\alpha\)。这就是中心极限定理给的简单正态近似。
  2. 一阶修正项（阶为 \(1/\sqrt{n}\)）： \(\frac{1}{6\sqrt{n}} (z_\alpha^2 - 1) \gamma_1\)。
  • 它的核心是偏度 \(\gamma_1\)。
  • 函数 \((z_\alpha^2 - 1)\) 在 \(z_\alpha = \pm 1\) 时为0，在两侧符号相反。这意味着：
  • 如果分布是右偏的 (\(\gamma_1 > 0\))，那么对于右侧尾部的分位数 (\(\alpha > 0.5, z_\alpha > 0\))，修正项为正，真实分位数 \(q_\alpha\) 比正态分位数 \(z_\alpha\) 更大。这是符合直觉的：右偏分布的长尾在右边，要达到同样的累积概率，需要向右走得更远。
  • 对于左侧尾部 (\(\alpha < 0.5, z_\alpha < 0\))，修正项为负，\(q_\alpha\) 比 \(z_\alpha\) 更小（即更靠左），同样是因为质量被拖到了右侧，左侧尾部更薄。
  1. 二阶修正项（阶为 \(1/n\)）： 包含两部分。
  • \(\frac{1}{24n} (z_\alpha^3 - 3z_\alpha) \gamma_2\)： 由峰度 \(\gamma_2\) 驱动。峰度高（厚尾）时，分位数需要向外调整。
  • \(-\frac{1}{36n} (2z_\alpha^3 - 5z_\alpha) \gamma_1^2\)： 这是偏度的平方项产生的效应，即使分布对称(\(\gamma_1=0\))，但如果存在非线性变换，二阶项仍可能通过其他方式存在。

第五步：应用、优势与局限性

应用场景：

  1. 金融风险管理： 计算资产组合的风险价值。金融收益率数据常呈现非正态性（偏斜、厚尾），直接用正态分位数会低估风险。使用Cornish-Fisher展开，结合样本估计的偏度和峰度，可以得到更准确的VaR估计。
  2. 统计推断： 构造更精确的置信区间或假设检验的临界值。当抽样分布未知且非正态时，可以用Cornish-Fisher展开来校准临界值。
  3. 工程与可靠性： 评估系统在极端情况下的性能分位数。

优势：

  • 精度高： 在中等样本量下，比单纯的正态近似精度有显著提升。
  • 基于矩： 只需要计算样本的均值、方差、偏度、峰度等低阶矩，计算相对简单。
  • 通用框架： 适用于任何渐近正态的统计量。

局限性：

  1. 非一致性修正： Cornish-Fisher展开是一个渐近展开，而非收敛级数。加入过多高阶项（如超过 \(1/n^{3/2}\)）不一定能提高精度，有时甚至会使结果变差。它通常只在前几项有效。
  2. 对极端尾部的敏感性： 当 \(\alpha\) 非常接近0或1（极端分位数）时，展开式的准确性会下降，因为高阶矩的估计本身变得非常不稳定。
  3. 有效性依赖原始展开： 它源于Edgeworth展开，因此要求统计量具有良好的渐近性质，并且累积量存在。对于非常重尾的分布（如方差无穷），该方法不适用。

总结

随机变量的变换的Cornish-Fisher展开，是一种利用随机变量（或统计量）的累积量（主要是偏度和峰度），对其分位数进行高阶渐进修正的强大工具。它从Edgeworth展开出发，通过逆向求解，得到了以标准正态分位数为基础、加上由偏度和峰度决定的修正项的展开式。它在金融、统计推断等领域为解决“非正态性下的分位数估计”问题提供了经典而实用的方案，但其应用也需注意其渐近性质和对于极端情况的局限性。

好的，我将为你讲解一个未在列表中出现的词条。 随机变量的变换的Cornish-Fisher展开 接下来，我将为你循序渐进地讲解这个知识点。我会从一个核心问题出发，逐步构建起整个理论框架。 第一步：核心问题——为什么需要Cornish-Fisher展开？ 假设你熟悉 中心极限定理 ：大量独立同分布随机变量之和（或均值），在标准化后，其分布会渐近于标准正态分布。即： \[ \frac{\bar{X} n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \overset{d}{\rightarrow} N(0, 1) \] 我们经常用这个结果来构造“近似”的 分位数 。例如，对于标准正态分布 \(Z \sim N(0,1)\)，我们知道其95%的分位数（上α分位点，α=0.05）大约是 \(z {0.95} \approx 1.645\)。基于CLT，我们可能会近似地认为，标准化后的统计量其95%分位数也是1.645。 但问题来了 ：这个近似有多好？如果原随机变量的分布 不是正态的 （例如偏斜、厚尾），即使样本量n较大，用正态分位数来近似真实分位数也可能带来显著误差。这在金融风险管理（计算风险价值VaR）、工程可靠性分析中是不可接受的。 因此，我们需要一种方法，在中心极限定理这个“一阶正态近似”的基础上，进行 高阶修正 ，以得到更精确的分位数估计。这就是Cornish-Fisher展开的使命。 第二步：知识基石——Edgeworth展开与分位数函数 要理解Cornish-Fisher展开，必须先了解它的“兄弟”： Edgeworth展开 。 累积量 ： 定义随机变量\(X\)的 累积生成函数 为 \(K(t) = \log E[ e^{tX}]\)。其泰勒展开系数 \(\kappa_ r\) 称为第\(r\)阶累积量。 \(\kappa_ 1 = \mu\) (均值) \(\kappa_ 2 = \sigma^2\) (方差) \(\kappa_ 3\) 与 偏度 有关（衡量分布不对称性） \(\kappa_ 4\) 与 峰度 有关（衡量分布尾部厚度和峰尖程度） Edgeworth展开 ： 对于标准化后的样本均值 \(S_ n = \frac{\bar{X} n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}\)，其分布函数 \(F {S_ n}(x)\) 可以展开为以标准正态分布函数 \(\Phi(x)\) 为基础的级数： \[ F_ {S_ n}(x) = \Phi(x) + \frac{\phi(x)}{\sqrt{n}} \left[ \frac{\kappa_ 3}{6\sigma^3} (1 - x^2) \right] + \frac{\phi(x)}{n} \left[ \frac{\kappa_ 4}{24\sigma^4} (x^3 - 3x) + \frac{\kappa_ 3^2}{72\sigma^6} (x^5 - 10x^3 + 15x) \right ] + ... \] \(\phi(x)\)是标准正态密度函数。 这个展开式包含了基于 偏度 (\(\kappa_ 3\)) 和 峰度 (\(\kappa_ 4\)) 的修正项。 它是一个关于分布函数 \(F(x)\) 的渐近展开。 新的问题 ： 我们通常需要的是 分位数 \(x_ \alpha\)，使得 \(F_ {S_ n}(x_ \alpha) = \alpha\)，而不是分布函数本身。如何从Edgeworth展开“反解”出分位数？这就是Cornish-Fisher展开的工作。 第三步：核心思想——分位数函数的逆向展开 Cornish-Fisher展开的基本思想，是寻找 分位数 \(x_ \alpha\) 的一个展开式，其形式为： \[ x_ \alpha = z_ \alpha + \frac{1}{\sqrt{n}} a_ 1(z_ \alpha) + \frac{1}{n} a_ 2(z_ \alpha) + \frac{1}{n^{3/2}} a_ 3(z_ \alpha) + ... \] 其中： \(z_ \alpha\) 是标准正态分布的 \(\alpha\) 分位数（已知的“一阶近似”）。 \(a_ 1, a_ 2, a_ 3, ...\) 是 \(z_ \alpha\) 的多项式函数，其系数由原分布的累积量（特别是偏度和峰度）决定。 推导思路（简述） ： 我们有两个关系： Edgeworth展开： \(F_ {S_ n}(x_ \alpha) = \Phi(x_ \alpha) + \text{小量修正} = \alpha\)。 正态分位数定义： \(\Phi(z_ \alpha) = \alpha\)。 将 \(x_ \alpha = z_ \alpha + \delta\) 代入Edgeworth展开，并利用 \(\Phi(z_ \alpha + \delta) \approx \Phi(z_ \alpha) + \phi(z_ \alpha) \delta\) 等近似，通过比较同阶项（如 \(1/\sqrt{n}, 1/n, ...\)），可以逐阶解出修正项 \(\delta\)，从而得到 \(a_ 1, a_ 2, ...\) 的具体形式。 第四步：具体形式——Cornish-Fisher展开公式 设标准化变量 \(S\)（不一定是样本均值，只要是渐近正态的统计量即可）的累积量为 \(\kappa_ r\)。记其偏度系数 \(\gamma_ 1 = \kappa_ 3 / \sigma^3\)，峰度（超额）系数 \(\gamma_ 2 = \kappa_ 4 / \sigma^4\)。则其 \(\alpha\) 分位数 \(q_ \alpha\) 的Cornish-Fisher展开到 \(O(1/n)\) 阶为： \[ q_ \alpha = z_ \alpha + \frac{1}{6\sqrt{n}} (z_ \alpha^2 - 1) \gamma_ 1 + \frac{1}{24n} (z_ \alpha^3 - 3z_ \alpha) \gamma_ 2 - \frac{1}{36n} (2z_ \alpha^3 - 5z_ \alpha) \gamma_ 1^2 + ... \] 让我们仔细解读这个美妙的公式： 主项 ： \(z_ \alpha\)。这就是中心极限定理给的简单正态近似。 一阶修正项（阶为 \(1/\sqrt{n}\)） ： \(\frac{1}{6\sqrt{n}} (z_ \alpha^2 - 1) \gamma_ 1\)。 它的核心是 偏度 \(\gamma_ 1\) 。 函数 \((z_ \alpha^2 - 1)\) 在 \(z_ \alpha = \pm 1\) 时为0，在两侧符号相反。这意味着： 如果分布是 右偏 的 (\(\gamma_ 1 > 0\))，那么对于右侧尾部的分位数 (\(\alpha > 0.5, z_ \alpha > 0\))，修正项为正，真实分位数 \(q_ \alpha\) 比正态分位数 \(z_ \alpha\) 更大 。这是符合直觉的：右偏分布的长尾在右边，要达到同样的累积概率，需要向右走得更远。 对于左侧尾部 (\(\alpha < 0.5, z_ \alpha < 0\))，修正项为负，\(q_ \alpha\) 比 \(z_ \alpha\) 更小 （即更靠左），同样是因为质量被拖到了右侧，左侧尾部更薄。 二阶修正项（阶为 \(1/n\)） ： 包含两部分。 \(\frac{1}{24n} (z_ \alpha^3 - 3z_ \alpha) \gamma_ 2\)： 由 峰度 \(\gamma_ 2\) 驱动。峰度高（厚尾）时，分位数需要向外调整。 \(-\frac{1}{36n} (2z_ \alpha^3 - 5z_ \alpha) \gamma_ 1^2\)： 这是 偏度的平方项 产生的效应，即使分布对称(\(\gamma_ 1=0\))，但如果存在非线性变换，二阶项仍可能通过其他方式存在。 第五步：应用、优势与局限性 应用场景： 金融风险管理 ： 计算资产组合的 风险价值 。金融收益率数据常呈现非正态性（偏斜、厚尾），直接用正态分位数会低估风险。使用Cornish-Fisher展开，结合样本估计的偏度和峰度，可以得到更准确的VaR估计。 统计推断 ： 构造更精确的置信区间或假设检验的临界值。当抽样分布未知且非正态时，可以用Cornish-Fisher展开来校准临界值。 工程与可靠性 ： 评估系统在极端情况下的性能分位数。 优势： 精度高 ： 在中等样本量下，比单纯的正态近似精度有显著提升。 基于矩 ： 只需要计算样本的均值、方差、偏度、峰度等低阶矩，计算相对简单。 通用框架 ： 适用于任何渐近正态的统计量。 局限性： 非一致性修正 ： Cornish-Fisher展开是一个 渐近展开 ，而非收敛级数。加入过多高阶项（如超过 \(1/n^{3/2}\)）不一定能提高精度，有时甚至会使结果变差。它通常只在前几项有效。 对极端尾部的敏感性 ： 当 \(\alpha\) 非常接近0或1（极端分位数）时，展开式的准确性会下降，因为高阶矩的估计本身变得非常不稳定。 有效性依赖原始展开 ： 它源于Edgeworth展开，因此要求统计量具有良好的渐近性质，并且累积量存在。对于非常 重尾 的分布（如方差无穷），该方法不适用。 总结 随机变量的变换的Cornish-Fisher展开 ，是一种利用随机变量（或统计量）的累积量（主要是偏度和峰度），对其分位数进行 高阶渐进修正 的强大工具。它从Edgeworth展开出发，通过逆向求解，得到了以标准正态分位数为基础、加上由偏度和峰度决定的修正项的展开式。它在金融、统计推断等领域为解决“非正态性下的分位数估计”问题提供了经典而实用的方案，但其应用也需注意其渐近性质和对于极端情况的局限性。