高次幂剩余符号与幂剩余特征
1. 从二次剩余到高次幂剩余的推广
在二次剩余理论中，我们考虑方程 \(x^2 \equiv a \pmod{p}\) 的可解性，其中 \(p\) 是奇素数。如果解存在，则称 \(a\) 是模 \(p\) 的二次剩余，否则是二次非剩余。勒让德符号 \(\left( \frac{a}{p} \right)\) 用于刻画这一性质。
自然的问题是：对于更高次的方程
\[x^n \equiv a \pmod{m} \]
是否有类似的符号理论？答案是肯定的，这引出了高次幂剩余符号的概念。
2. 基本定义与存在条件
设 \(n \geq 2\) 是整数，\(m\) 是正整数，且 \(\gcd(a, m) = 1\)。若同余方程
\[x^n \equiv a \pmod{m} \]
有解，则称 \(a\) 是模 \(m\) 的 \(n\) 次幂剩余；否则称为 \(n\) 次幂非剩余。
当 \(m = p\) 为奇素数时，问题可以借助原根简化。设 \(g\) 是模 \(p\) 的一个原根，则任何与 \(p\) 互素的 \(a\) 可写成
\[a \equiv g^k \pmod{p} \]
那么方程 \(x^n \equiv a \pmod{p}\) 有解当且仅当 \(n \mid k\)。因此，\(a\) 是 \(n\) 次幂剩余当且仅当
\[a^{(p-1)/\gcd(n, p-1)} \equiv 1 \pmod{p} \]
这给出了一个判定准则（推广了欧拉准则）。
3. 幂剩余符号的定义（模奇素数情形）
设 \(p\) 是奇素数，\(n \mid p-1\)（这个条件可放宽，但符号性质更好）。对任意整数 \(a\) 满足 \(p \nmid a\)，定义 \(n\) 次幂剩余符号
\[\left( \frac{a}{p} \right)_n \]
为 单位根：
- 取模 \(p\) 的一个原根 \(g\)，设 \(a \equiv g^k \pmod{p}\)
- 定义
\[ \left( \frac{a}{p} \right)_n := \zeta_n^k \]
其中 \(\zeta_n = e^{2\pi i / n}\) 是 \(n\) 次单位根。
注意：符号值依赖于 \(g\) 的选取，但通常固定一个原根后符号确定。若 \(n=2\)，这就是勒让德符号（取值 ±1）。
性质：
- \(\left( \frac{a}{p} \right)_n = 1\) 当且仅当 \(a\) 是模 \(p\) 的 \(n\) 次幂剩余。
- 乘法性：
\[ \left( \frac{ab}{p} \right)_n = \left( \frac{a}{p} \right)_n \left( \frac{b}{p} \right)_n \]
- 周期模 \(p\)：对固定的 \(a\)，符号是模 \(p\) 的周期函数（在 \(a\) 变化时）。
4. 幂剩余特征
在数论中，狄利克雷特征是模 \(m\) 的群 \((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\) 到复单位圆的同态。类似地，幂剩余符号可以视为某种特征。
设 \(n \mid p-1\)，映射
\[\chi_n: (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times \to \mathbb{C}^\times, \quad \chi_n(a) = \left( \frac{a}{p} \right)_n \]
是一个乘法特征，且阶为 \(n\)（即 \(\chi_n^n = \chi_0\) 为主特征）。
更一般地，对合数模 \(m\)，若 \(\gcd(n, \varphi(m))\) 确定，可以定义幂剩余特征为某个模 \(m\) 狄利克雷特征的幂。
5. 互反律的推广：爱森斯坦互反律
二次互反律联系了不同素数的勒让德符号。对于高次幂剩余符号，有 爱森斯坦互反律（Eisenstein’s Reciprocity Law），它是高次互反律在 \(n\) 为奇素数幂时的推广。
简单情形（\(n\) 为奇素数）：设 \(n = \ell\) 为奇素数，\(a \in \mathbb{Z}[\zeta_\ell]\) 与 \(\ell\) 互素，且 \(a\) 是整数（有理整数），则对另一个与 \(a\) 和 \(\ell\) 互素的奇素数 \(p\)，有
\[\left( \frac{a}{p} \right)_\ell = \left( \frac{p}{a} \right)_\ell \]
这里符号需解释为分圆域中的幂剩余符号。这一结果可视为二次互反律在分圆域中的类比，属于类域论的内容。
6. 与分圆域和类域论的联系
一般的高次互反律在分圆域 \(\mathbb{Q}(\zeta_n)\) 中有最简洁的形式。设 \(\mathfrak{p}\) 是 \(\mathbb{Q}(\zeta_n)\) 中的素理想，不包含 \(n\)，则幂剩余符号
\[\left( \frac{\alpha}{\mathfrak{p}} \right)_n \]
定义为满足
\[\alpha^{(N\mathfrak{p}-1)/n} \equiv \left( \frac{\alpha}{\mathfrak{p}} \right)_n \pmod{\mathfrak{p}} \]
的单位根，其中 \(N\mathfrak{p}\) 是理想的范。
互反律：对互素的非单位元素 \(\alpha, \beta \in \mathbb{Q}(\zeta_n)\)，有
\[\left( \frac{\alpha}{\beta} \right)_n \left( \frac{\beta}{\alpha} \right)_n^{-1} = \text{某明确定义的因子} \]
具体形式涉及希尔伯特符号和分圆单位，最终由类域论中的阿廷互反律统一描述：幂剩余符号对应于分圆域的阿廷映射的显式表示。
7. 应用：丢番图方程与费马大定理
幂剩余符号可用于研究某些丢番图方程。例如，在库默尔研究费马大定理 \(x^\ell + y^\ell = z^\ell\)（\(\ell\) 为奇正则素数）时，他将方程在分圆整数环 \(\mathbb{Z}[\zeta_\ell]\) 中分解，并利用幂剩余符号的性质推出矛盾，除非某个幂剩余符号满足特定关系，从而证明无平凡解。
此外，判断一个数是否为 \(n\) 次幂剩余，可以帮助确定某些椭圆曲线或有理点是否存在，与同余数问题的高次推广有关。
8. 进一步方向：希尔伯特符号与局部域
在现代数论中，幂剩余符号被推广为局部域上的希尔伯特符号和局部互反律的一部分。设 \(K\) 是局部域（如 \( p\)-进数域 \(\mathbb{Q}_p\)），对 \(a, b \in K^\times\)，希尔伯特符号 \((a,b)_n\) 取值在 \(\mu_n\)（\(n\) 次单位根群）中，满足双乘性和非退化性，且与幂剩余符号密切相关。局部互反律给出局部类域论的核心同构，而幂剩余符号正是该同构在特殊元素上的显式。
通过以上步骤，我们从二次剩余出发，逐步引入高次幂剩余符号的定义、性质、互反律，并看到其在类域论与丢番图方程中的角色。这一理论是代数数论中连接经典同余理论与现代类域论的重要桥梁。