费马平方和定理（Fermat's Theorem on Sums of Two Squares）
字数 3273 2025-12-21 05:42:51

费马平方和定理（Fermat's Theorem on Sums of Two Squares）

费马平方和定理是数论中一个关于素数表示形式的经典结果，它精确地描述了哪些素数可以写成两个整数的平方和。为了让你完全理解这个定理，我将从最基础的概念讲起，逐步深入到定理的表述、证明思路以及相关推广。

第一步：问题的提出与基本概念

首先，我们明确讨论的对象：给定一个素数 \(p\)（即大于1且只能被1和自身整除的正整数），是否存在整数 \(x, y\) 使得：

\[p = x^2 + y^2 \]

例如：

  • \(5 = 1^2 + 2^2\)
  • \(13 = 2^2 + 3^2\)
  • 但 \(3\) 不能写成两个整数的平方和。

我们需要判断什么样的素数 \(p\) 有这种表示。

第二步：从模4的余数开始分析

尝试对小素数进行模4分类观察：

  • 素数 \(p = 2\)：可以写成 \(2 = 1^2 + 1^2\)。
  • 素数 \(p \equiv 1 \pmod{4}\)（即 \(p = 4k+1\) 型）：如 \(5, 13, 17, 29\) 等，似乎都可以写成平方和。
  • 素数 \(p \equiv 3 \pmod{4}\)（即 \(p = 4k+3\) 型）：如 \(3, 7, 11, 19\) 等，似乎都不能写成平方和。

这是否是一个普遍的规律？我们需要进一步分析原因。

第三步：利用模4同余的必要条件

一个关键观察：任何整数的平方模4只能余0或1。

  • 若 \(n\) 是偶数，则 \(n^2 \equiv 0 \pmod{4}\)。
  • 若 \(n\) 是奇数，则 \(n^2 \equiv 1 \pmod{4}\)。

因此，两个平方和 \(x^2 + y^2\) 模4的可能余数只能是：

\[0+0 \equiv 0,\quad 0+1 \equiv 1,\quad 1+0 \equiv 1,\quad 1+1 \equiv 2 \pmod{4}. \]

特别地，不可能余3。所以：

如果一个数模4余3，它绝对不可能写成两个整数的平方和。

由此立即得到：

  • 所有 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 的素数（除了 \(p=3\) 等）都不能写成平方和。
  • \(p=2\) 是特例（余2，但可以写成平方和）。
  • \(p \equiv 1 \pmod{4}\) 的素数是否有平方和表示？这需要进一步证明。

第四步：费马平方和定理的完整表述

定理（费马，1640年发现，欧拉给出完整证明）：

一个奇素数 \(p\) 可以写成两个整数的平方和，当且仅当 \(p \equiv 1 \pmod{4}\)。

或者说：

  1. \(p = 2\) 可以写成 \(1^2 + 1^2\)。
  2. 奇素数 \(p\) 可写成 \(x^2 + y^2\) 的充要条件是 \(p \equiv 1 \pmod{4}\)。
  3. 并且这种表示在交换 \(x, y\) 和符号意义下是唯一的（即若 \(p = x^2 + y^2\)，则 \(x, y\) 唯一确定，不考虑顺序和正负号）。

第五步：定理证明的核心思想（欧拉的证明思路）

证明的关键步骤如下：

1. 必要性：已在第三步由模4分析完成：若奇素数 \(p = x^2 + y^2\)，则 \(p \equiv 1 \pmod{4}\)。

2. 充分性：证明如果 \(p \equiv 1 \pmod{4}\)，则存在 \(x, y\) 使 \(p = x^2 + y^2\)。
主要思路：

  • 利用 费马小定理 和 威尔逊定理 的推论：对于素数 \(p \equiv 1 \pmod{4}\)，存在整数 \(a\) 使得 \(a^2 \equiv -1 \pmod{p}\)。
    这是因为 \((p-1)! \equiv -1 \pmod{p}\)（威尔逊定理），且当 \(p=4k+1\) 时，可以构造出 \(a = (2k)!\) 满足 \(a^2 \equiv -1 \pmod{p}\)。
  • 于是 \(p \mid (a^2 + 1)\)，即 \(a^2 + 1 = mp\) 对某个整数 \(m\) 成立。
  • 考虑所有形如 \(x^2 + y^2\) 且能被 \(p\) 整除的最小正整数。利用“无穷递降法”或“高斯整数环 \(\mathbb{Z}[i]\) 的唯一分解性质”可以证明，最小的这种正整数就是 \(p\) 本身。
    具体地，在 \(\mathbb{Z}[i]\) 中，\(p \mid (a+i)(a-i)\)，但 \(p\) 不整除任一因子（因为 \(p\) 不整除虚部1），因此 \(p\) 不是 \(\mathbb{Z}[i]\) 中的素数（即不不可约）。从而 \(p\) 在 \(\mathbb{Z}[i]\) 中可分解为 \(p = (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2\)。

第六步：一个具体例子加深理解

以 \(p = 13\)（\(13 \equiv 1 \pmod{4}\)）为例：

  • 找 \(a\) 使 \(a^2 \equiv -1 \pmod{13}\)：尝试得 \(5^2 = 25 \equiv -1 \pmod{13}\)。
  • 在 \(\mathbb{Z}[i]\) 中，13 整除 \(5^2 + 1 = 26\)。
  • 分解 \(13 = (3+2i)(3-2i)\)，即 \(13 = 3^2 + 2^2\)。

第七步：唯一性说明

对于给定满足条件的素数 \(p\)，表示 \(p = x^2 + y^2\) 在忽略符号和顺序下是唯一的。例如：

  • \(5 = (\pm1)^2 + (\pm2)^2\) 都视为同一组解 \((1,2)\)。
  • 这可以从 \(\mathbb{Z}[i]\) 中 \(p\) 的素因子分解唯一性得到。

第八步：定理的推广与应用

  1. 合数的情况：一个正整数 \(n\) 能写成两个整数平方和的充要条件是，在其素因子分解中，所有形如 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 的素数出现的次数均为偶数次。
    例如：\(65 = 5 \times 13\)，而 \(5, 13\) 都是 \(4k+1\) 型素数，所以可写为 \(65 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2\)（此时表示不唯一）。

  2. 与高斯整数的联系：定理本质上是高斯整数环 \(\mathbb{Z}[i]\) 中素元分类的直接推论。在 \(\mathbb{Z}[i]\) 中：

    • \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 的素数仍然是素元（不可约）。
    • \(p \equiv 1 \pmod{4}\) 的素数可分解为两个共轭高斯整数的乘积：\(p = (x+yi)(x-yi)\)。
    • \(p=2\) 与单位元 \(i\) 相关：\(2 = (1+i)(1-i) = i(1-i)^2\)。

  3. 在表示数问题中的作用：定理给出了素数表为平方和的精确条件，是更一般的“表数问题”的起点，后者与模形式理论紧密相连（例如，平方和函数 \(r_2(n)\) 的公式可通过雅可比 theta 函数得到）。

总结

费马平方和定理以简洁优美的形式揭示了素数在平方和表示上的深刻规律，其证明融合了同余、代数整数环（高斯整数）的唯一分解等思想，是初等数论通向代数数论的一个经典桥梁。通过这个定理，我们不仅知道哪些素数能写成平方和，而且理解了背后“模4余1”这一条件与数系扩张中的分解性质本质相关。

费马平方和定理（Fermat's Theorem on Sums of Two Squares） 费马平方和定理是数论中一个关于素数表示形式的经典结果，它精确地描述了哪些素数可以写成两个整数的平方和。为了让你完全理解这个定理，我将从最基础的概念讲起，逐步深入到定理的表述、证明思路以及相关推广。 第一步：问题的提出与基本概念 首先，我们明确讨论的对象：给定一个 素数 \( p \)（即大于1且只能被1和自身整除的正整数），是否存在 整数 \( x, y \) 使得： \[ p = x^2 + y^2 \] 例如： \( 5 = 1^2 + 2^2 \) \( 13 = 2^2 + 3^2 \) 但 \( 3 \) 不能写成两个整数的平方和。 我们需要判断什么样的素数 \( p \) 有这种表示。 第二步：从模4的余数开始分析 尝试对小素数进行模4分类观察： 素数 \( p = 2 \)：可以写成 \( 2 = 1^2 + 1^2 \)。 素数 \( p \equiv 1 \pmod{4} \)（即 \( p = 4k+1 \) 型）：如 \( 5, 13, 17, 29 \) 等，似乎都可以写成平方和。 素数 \( p \equiv 3 \pmod{4} \)（即 \( p = 4k+3 \) 型）：如 \( 3, 7, 11, 19 \) 等，似乎都不能写成平方和。 这是否是一个普遍的规律？我们需要进一步分析原因。 第三步：利用模4同余的必要条件 一个关键观察：任何整数的平方模4只能余0或1。 若 \( n \) 是偶数，则 \( n^2 \equiv 0 \pmod{4} \)。 若 \( n \) 是奇数，则 \( n^2 \equiv 1 \pmod{4} \)。 因此，两个平方和 \( x^2 + y^2 \) 模4的可能余数只能是： \[ 0+0 \equiv 0,\quad 0+1 \equiv 1,\quad 1+0 \equiv 1,\quad 1+1 \equiv 2 \pmod{4}. \] 特别地， 不可能 余3。所以： 如果一个数模4余3，它绝对不可能写成两个整数的平方和。 由此立即得到： 所有 \( p \equiv 3 \pmod{4} \) 的素数（除了 \( p=3 \) 等）都不能写成平方和。 \( p=2 \) 是特例（余2，但可以写成平方和）。 \( p \equiv 1 \pmod{4} \) 的素数是否有平方和表示？这需要进一步证明。 第四步：费马平方和定理的完整表述 定理（费马，1640年发现，欧拉给出完整证明）： 一个奇素数 \( p \) 可以写成两个整数的平方和，当且仅当 \( p \equiv 1 \pmod{4} \)。 或者说： \( p = 2 \) 可以写成 \( 1^2 + 1^2 \)。 奇素数 \( p \) 可写成 \( x^2 + y^2 \) 的充要条件是 \( p \equiv 1 \pmod{4} \)。 并且这种表示在交换 \( x, y \) 和符号意义下是唯一的（即若 \( p = x^2 + y^2 \)，则 \( x, y \) 唯一确定，不考虑顺序和正负号）。 第五步：定理证明的核心思想（欧拉的证明思路） 证明的关键步骤如下： 1. 必要性 ：已在第三步由模4分析完成：若奇素数 \( p = x^2 + y^2 \)，则 \( p \equiv 1 \pmod{4} \)。 2. 充分性 ：证明如果 \( p \equiv 1 \pmod{4} \)，则存在 \( x, y \) 使 \( p = x^2 + y^2 \)。 主要思路： 利用 费马小定理 和 威尔逊定理 的推论：对于素数 \( p \equiv 1 \pmod{4} \)，存在整数 \( a \) 使得 \( a^2 \equiv -1 \pmod{p} \)。 这是因为 \( (p-1)! \equiv -1 \pmod{p} \)（威尔逊定理），且当 \( p=4k+1 \) 时，可以构造出 \( a = (2k) ! \) 满足 \( a^2 \equiv -1 \pmod{p} \)。 于是 \( p \mid (a^2 + 1) \)，即 \( a^2 + 1 = mp \) 对某个整数 \( m \) 成立。 考虑所有形如 \( x^2 + y^2 \) 且能被 \( p \) 整除的最小正整数。利用“无穷递降法”或“ 高斯整数环 \(\mathbb{Z}[ i ]\) 的唯一分解性质”可以证明，最小的这种正整数就是 \( p \) 本身。 具体地，在 \(\mathbb{Z}[ i]\) 中，\( p \mid (a+i)(a-i) \)，但 \( p \) 不整除任一因子（因为 \( p \) 不整除虚部1），因此 \( p \) 不是 \(\mathbb{Z}[ i]\) 中的素数（即不不可约）。从而 \( p \) 在 \(\mathbb{Z}[ i ]\) 中可分解为 \( p = (x+yi)(x-yi) = x^2 + y^2 \)。 第六步：一个具体例子加深理解 以 \( p = 13 \)（\( 13 \equiv 1 \pmod{4} \)）为例： 找 \( a \) 使 \( a^2 \equiv -1 \pmod{13} \)：尝试得 \( 5^2 = 25 \equiv -1 \pmod{13} \)。 在 \(\mathbb{Z}[ i ]\) 中，13 整除 \( 5^2 + 1 = 26 \)。 分解 \( 13 = (3+2i)(3-2i) \)，即 \( 13 = 3^2 + 2^2 \)。 第七步：唯一性说明 对于给定满足条件的素数 \( p \)，表示 \( p = x^2 + y^2 \) 在忽略符号和顺序下是唯一的。例如： \( 5 = (\pm1)^2 + (\pm2)^2 \) 都视为同一组解 \( (1,2) \)。 这可以从 \(\mathbb{Z}[ i ]\) 中 \( p \) 的素因子分解唯一性得到。 第八步：定理的推广与应用 合数的情况 ：一个正整数 \( n \) 能写成两个整数平方和的充要条件是，在其素因子分解中，所有形如 \( p \equiv 3 \pmod{4} \) 的素数出现的次数均为偶数次。 例如：\( 65 = 5 \times 13 \)，而 \( 5, 13 \) 都是 \( 4k+1 \) 型素数，所以可写为 \( 65 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2 \)（此时表示不唯一）。 与高斯整数的联系 ：定理本质上是高斯整数环 \(\mathbb{Z}[ i]\) 中素元分类的直接推论。在 \(\mathbb{Z}[ i ]\) 中： \( p \equiv 3 \pmod{4} \) 的素数仍然是素元（不可约）。 \( p \equiv 1 \pmod{4} \) 的素数可分解为两个共轭高斯整数的乘积：\( p = (x+yi)(x-yi) \)。 \( p=2 \) 与单位元 \( i \) 相关：\( 2 = (1+i)(1-i) = i(1-i)^2 \)。 在表示数问题中的作用 ：定理给出了素数表为平方和的精确条件，是更一般的“表数问题”的起点，后者与模形式理论紧密相连（例如，平方和函数 \( r_ 2(n) \) 的公式可通过雅可比 theta 函数得到）。 总结 费马平方和定理以简洁优美的形式揭示了素数在平方和表示上的深刻规律，其证明融合了同余、代数整数环（高斯整数）的唯一分解等思想，是初等数论通向代数数论的一个经典桥梁。通过这个定理，我们不仅知道哪些素数能写成平方和，而且理解了背后“模4余1”这一条件与数系扩张中的分解性质本质相关。