马尔可夫决策过程中的值函数逼近与神经网络方法

字数 2600 2025-12-21 04:32:34

马尔可夫决策过程中的值函数逼近与神经网络方法

好的，我们开始讲解运筹学中“马尔可夫决策过程”的一个重要扩展方向。考虑到你已了解马尔可夫决策过程（MDP）和值迭代/策略迭代算法，以及近似动态规划和强化学习，我们将聚焦于结合现代计算工具的核心方法。

第一步：回顾经典MDP与“维数灾难”问题
马尔可夫决策过程是序贯决策问题的数学框架，包含状态空间 \(S\)、行动空间 \(A\)、转移概率 \(P(s'|s,a)\) 和立即奖励 \(R(s,a)\)。其目标是找到策略 \(\pi\)，最大化期望累计折扣奖励（值函数 \(V^\pi(s)\)）。

经典解法：值迭代和策略迭代通过“表格”形式，为每个状态 \(s\)（或状态-行动对）精确计算值 \(V(s)\) 或 \(Q(s,a)\)。
核心瓶颈：当状态空间（或状态-行动空间）非常庞大或连续时（例如，一个由多个连续变量描述的系统），存储所有状态的值并迭代更新在计算和存储上都是不可能的。这就是所谓的“维数灾难”。

第二步：值函数逼近的基本思想
为了解决维数灾难，我们放弃为每个状态存储一个独立值的“表格”法，转而采用一个参数化函数 \(\hat{V}(s; \mathbf{w})\) 或 \(\hat{Q}(s,a; \mathbf{w})\) 来近似真实的值函数。其中 \(\mathbf{w}\) 是参数向量。

目标：通过学习调整参数 \(\mathbf{w}\)，使得近似函数 \(\hat{V}\) 在所有状态上尽可能接近真实的最优值函数 \(V^*\)。
类比：这就像用一条曲线（函数）去拟合一堆散点（各个状态的真实值），而不需要记住每个点的精确位置。

第三步：线性值函数逼近
这是最简单和最易分析的值函数逼近方法。

架构：假设我们设计了一组“特征函数” \(\phi_1(s), \phi_2(s), ..., \phi_n(s)\)，它们将状态 \(s\) 映射为特征向量 \(\phi(s)\)。线性逼近器定义为：

\[ \hat{V}(s; \mathbf{w}) = \mathbf{w}^T \phi(s) = \sum_{i=1}^{n} w_i \phi_i(s) \]

学习过程：通过与环境的交互（或利用模拟数据），我们获得样本 \((s, v)\)，其中 \(v\) 是目标值（例如，通过时序差分目标 \(r + \gamma \hat{V}(s';\mathbf{w})\) 给出）。然后使用随机梯度下降等算法，最小化近似值 \(\hat{V}(s;\mathbf{w})\) 与目标值 \(v\) 之间的均方误差，从而更新参数 \(\mathbf{w}\)。
优点与局限：理论分析相对成熟，收敛性在一定条件下有保证。但其表达能力受限于手工设计的特征。如果问题复杂，特征很难设计完备。

第四步：神经网络作为非线性值函数逼近器
神经网络，特别是深度神经网络，为值函数逼近提供了强大的非线性函数近似器。

架构：输入层是状态 \(s\)（或其特征），输出层可以是标量 \(\hat{V}(s; \mathbf{w})\)，也可以是向量 \(\hat{Q}(s, \cdot; \mathbf{w})\)（每个行动对应一个输出值）。中间包含多个带有非线性激活函数（如ReLU）的隐藏层。
核心优势：
1. 表达能力极强：理论上可以以任意精度逼近任何连续函数，无需复杂的手工特征工程。神经网络能从原始或高维状态输入（如图像）中自动学习有效的特征表示。
2. 分布式表示：状态的值信息被编码在网络所有权重中，相似状态会自然产生相似的值输出，具有良好的泛化能力。
学习挑战：将神经网络与强化学习结合，需要解决稳定性问题。传统的Q-Learning等算法与神经网络直接结合（即深度Q网络/DQN诞生前）极易发散，原因包括：数据样本间的强相关性、目标值随网络更新而快速变化等。

第五步：深度强化学习的关键技术与算法框架
为了解决上述挑战，研究者发展了一系列关键技术，形成了深度强化学习。

经验回放：智能体将与环境交互的经验 \((s, a, r, s')\) 存储在一个固定大小的缓冲区中。训练时，从缓冲区中随机采样一批经验（称为“小批量”）。这打破了数据间的时序相关性，使数据分布更平稳，且提高了数据利用率。
目标网络：使用一个独立的、更新较慢的网络（目标网络）来计算Q-Learning中的目标值 \(r + \gamma \max_{a'} \hat{Q}(s'; \mathbf{w}^-)\)，其中 \(\mathbf{w}^-\) 是目标网络参数。主网络参数 \(\mathbf{w}\) 持续更新，而目标网络参数每隔一定步数才从主网络复制过来。这大大减少了目标值的波动，稳定了训练过程。
代表性算法——深度Q网络（DQN）：以上述两项技术为核心，DQN在2015年首次实现了直接用深度神经网络玩转多种Atari游戏，其性能达到甚至超过了人类水平。它证明了神经网络值函数逼近在处理高维感知输入上的巨大成功。
扩展与变体：
策略梯度方法（如Actor-Critic）：不直接逼近值函数，而是同时逼近策略函数 \(\pi(a|s; \theta)\)（Actor）和值函数（Critic）。Critic评估Actor的表现并指导其更新，这尤其适用于连续行动空间问题。
分布式强化学习：不再逼近期望回报，而是逼近回报的完整概率分布 \(\hat{Z}(s,a)\)，能更好地刻画决策中的不确定性，提升学习效果。
- 值分解网络：在多智能体场景中，学习每个智能体的个体值函数，并通过一个混合网络将其合理聚合为全局团队值函数，以协调团队行动。

总结：值函数逼近结合神经网络，特别是通过深度强化学习框架，将MDP的理论从解决中小规模的离散问题，革命性地扩展到了能够处理高维、连续、甚至基于原始感知输入的复杂决策问题。它构成了现代人工智能（如AlphaGo、机器人控制、自动驾驶决策等）在序贯决策领域的核心方法论之一。其核心思想是用参数化函数拟合值函数，并通过随机优化和系统性的工程技巧（经验回放、目标网络）来稳定和加速这一拟合过程。

马尔可夫决策过程中的值函数逼近与神经网络方法好的，我们开始讲解运筹学中“马尔可夫决策过程”的一个重要扩展方向。考虑到你已了解马尔可夫决策过程（MDP）和值迭代/策略迭代算法，以及近似动态规划和强化学习，我们将聚焦于结合现代计算工具的核心方法。第一步：回顾经典MDP与“维数灾难”问题马尔可夫决策过程是序贯决策问题的数学框架，包含状态空间 \(S\)、行动空间 \(A\)、转移概率 \(P(s'|s,a)\) 和立即奖励 \(R(s,a)\)。其目标是找到策略 \(\pi\)，最大化期望累计折扣奖励（值函数 \(V^\pi(s)\)）。经典解法：值迭代和策略迭代通过“表格”形式，为每个状态 \(s\)（或状态-行动对）精确计算值 \(V(s)\) 或 \(Q(s,a)\)。核心瓶颈：当状态空间（或状态-行动空间）非常庞大或连续时（例如，一个由多个连续变量描述的系统），存储所有状态的值并迭代更新在计算和存储上都是不可能的。这就是所谓的“维数灾难”。第二步：值函数逼近的基本思想为了解决维数灾难，我们放弃为每个状态存储一个独立值的“表格”法，转而采用一个参数化函数 \(\hat{V}(s; \mathbf{w})\) 或 \(\hat{Q}(s,a; \mathbf{w})\) 来近似真实的值函数。其中 \(\mathbf{w}\) 是参数向量。目标：通过学习调整参数 \(\mathbf{w}\)，使得近似函数 \(\hat{V}\) 在所有状态上尽可能接近真实的最优值函数 \(V^* \)。类比：这就像用一条曲线（函数）去拟合一堆散点（各个状态的真实值），而不需要记住每个点的精确位置。第三步：线性值函数逼近这是最简单和最易分析的值函数逼近方法。架构：假设我们设计了一组“特征函数” \(\phi_ 1(s), \phi_ 2(s), ..., \phi_ n(s)\)，它们将状态 \(s\) 映射为特征向量 \(\phi(s)\)。线性逼近器定义为： \[ \hat{V}(s; \mathbf{w}) = \mathbf{w}^T \phi(s) = \sum_ {i=1}^{n} w_ i \phi_ i(s) \] 学习过程：通过与环境的交互（或利用模拟数据），我们获得样本 \((s, v)\)，其中 \(v\) 是目标值（例如，通过时序差分目标 \(r + \gamma \hat{V}(s';\mathbf{w})\) 给出）。然后使用随机梯度下降等算法，最小化近似值 \(\hat{V}(s;\mathbf{w})\) 与目标值 \(v\) 之间的均方误差，从而更新参数 \(\mathbf{w}\)。优点与局限：理论分析相对成熟，收敛性在一定条件下有保证。但其表达能力受限于手工设计的特征。如果问题复杂，特征很难设计完备。第四步：神经网络作为非线性值函数逼近器神经网络，特别是深度神经网络，为值函数逼近提供了强大的非线性函数近似器。架构：输入层是状态 \(s\)（或其特征），输出层可以是标量 \(\hat{V}(s; \mathbf{w})\)，也可以是向量 \(\hat{Q}(s, \cdot; \mathbf{w})\)（每个行动对应一个输出值）。中间包含多个带有非线性激活函数（如ReLU）的隐藏层。核心优势：表达能力极强：理论上可以以任意精度逼近任何连续函数，无需复杂的手工特征工程。神经网络能从原始或高维状态输入（如图像）中自动学习有效的特征表示。分布式表示：状态的值信息被编码在网络所有权重中，相似状态会自然产生相似的值输出，具有良好的泛化能力。学习挑战：将神经网络与强化学习结合，需要解决稳定性问题。传统的Q-Learning等算法与神经网络直接结合（即深度Q网络/DQN诞生前）极易发散，原因包括：数据样本间的强相关性、目标值随网络更新而快速变化等。第五步：深度强化学习的关键技术与算法框架为了解决上述挑战，研究者发展了一系列关键技术，形成了深度强化学习。经验回放：智能体将与环境交互的经验 \((s, a, r, s')\) 存储在一个固定大小的缓冲区中。训练时，从缓冲区中随机采样一批经验（称为“小批量”）。这打破了数据间的时序相关性，使数据分布更平稳，且提高了数据利用率。目标网络：使用一个独立的、更新较慢的网络（目标网络）来计算Q-Learning中的目标值 \(r + \gamma \max_ {a'} \hat{Q}(s'; \mathbf{w}^-)\)，其中 \(\mathbf{w}^-\) 是目标网络参数。主网络参数 \(\mathbf{w}\) 持续更新，而目标网络参数每隔一定步数才从主网络复制过来。这大大减少了目标值的波动，稳定了训练过程。代表性算法——深度Q网络（DQN）：以上述两项技术为核心，DQN在2015年首次实现了直接用深度神经网络玩转多种Atari游戏，其性能达到甚至超过了人类水平。它证明了神经网络值函数逼近在处理高维感知输入上的巨大成功。扩展与变体：策略梯度方法（如Actor-Critic）：不直接逼近值函数，而是同时逼近策略函数 \(\pi(a|s; \theta)\) （Actor）和值函数（Critic）。Critic评估Actor的表现并指导其更新，这尤其适用于连续行动空间问题。分布式强化学习：不再逼近期望回报，而是逼近回报的完整概率分布 \(\hat{Z}(s,a)\)，能更好地刻画决策中的不确定性，提升学习效果。值分解网络：在多智能体场景中，学习每个智能体的个体值函数，并通过一个混合网络将其合理聚合为全局团队值函数，以协调团队行动。总结：值函数逼近结合神经网络，特别是通过深度强化学习框架，将MDP的理论从解决中小规模的离散问题，革命性地扩展到了能够处理高维、连续、甚至基于原始感知输入的复杂决策问题。它构成了现代人工智能（如AlphaGo、机器人控制、自动驾驶决策等）在序贯决策领域的核心方法论之一。其核心思想是用参数化函数拟合值函数，并通过随机优化和系统性的工程技巧（经验回放、目标网络）来稳定和加速这一拟合过程。