数域的单位根群
字数 2164 2025-12-21 03:31:26

数域的单位根群

我们先从一个最基础的概念讲起。

第一步：什么是数域？
数域是复数域 C 的一个子域，它包含有理数域 Q，并且作为 Q 上的向量空间是有限维的。这个维数称为该数域的次数。

  • 例子1：有理数域 Q 本身是一个数域，次数为 1。
  • 例子2：高斯有理数域 Q(i) = {a + bi | a, b ∈ Q}，这是一个二次域（次数为2）。
  • 例子3：分圆域 Q(ζₙ)，其中 ζₙ = e^(2πi/n) 是一个 n 次本原单位根。这个域的次数是 φ(n)（欧拉函数）。

第二步：什么是代数整数？
在一个数域 K 中，如果一个复数 α 是某个首一（最高次项系数为1）整系数多项式的根，则称 α 为代数整数。一个数域 K 中所有代数整数构成一个环，记作 O_K，称为 K 的整数环。

  • 例子1：在 Q 中，代数整数就是通常的整数 Z。
  • 例子2：在 Q(i) 中，代数整数环是 Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z}，即高斯整数环。
  • 例子3：在 Q(ζₙ) 中，代数整数环是 Z[ζₙ]。

第三步：什么是单位？
在整数环 O_K 中，一个元素 ε 被称为一个单位，如果存在另一个元素 η ∈ O_K，使得 εη = 1。换句话说，单位就是 O_K 中的可逆元。所有单位组成的集合 O_K^× 在乘法下构成一个群，称为 K 的单位群。

  • 例子1：在 Z 中，单位只有 1 和 -1。单位群是 {±1}，这是一个 2 阶循环群。
  • 例子2：在 Z[i] 中，单位是那些模长为1的高斯整数：1， -1， i， -i。单位群是4阶循环群。
  • 例子3：在一般的数域中（如实二次域），单位群的结构由狄利克雷单位定理描述，它可能包含无限多个单位（例如 √2+1 在 Q(√2) 中是一个无限阶的单位）。

第四步：什么是单位根？
单位根是一个代数整数 ε，它满足 ε^m = 1 对于某个正整数 m 成立。满足 ε^m = 1 的最小的正整数 m 称为 ε 的阶。所有单位根都是 1 的幂。显然，任何单位根都是单位群 O_K^× 中的一个元素（因为它的逆元是它的共轭或幂）。

  • 例子：在 Q(i) 中，i 是一个 4 次单位根，因为 i^4=1。在 Z 中，-1 是一个 2 次单位根。
  • 关键性质：一个 n 次单位根如果其阶恰好是 n，则称为n次本原单位根。例如，i 和 -i 是 4 次本原单位根，而 -1 不是（它是 2 次本原的）。

第五步：数域的单位根群
对于一个给定的数域 K，我们考虑它的整数环 O_K 中所有单位根组成的集合。这个集合是单位群 O_K^× 的一个子群，记作 μ(K)，称为 K 的单位根群。

  • 结构定理（有限循环群）：单位根群 μ(K) 是一个有限循环群。这是数论中的一个基本结论。也就是说，存在一个正整数 w_K，使得 μ(K) 恰好由所有 w_K 次单位根组成：μ(K) = {ζ ∈ O_K | ζ^(w_K) = 1} ≅ Z/w_KZ。这里的 w_K 称为数域 K 的单位根指数。
  • 为什么是有限的？ 因为单位根的模长都是1。而整数环 O_K 在复数域中是离散的（任何有界区域只包含有限个代数整数）。模长为1的代数整数在单位圆上，是有界的，因此只可能是有限个。又因为有限群的子群是循环群，所以它是循环群。

第六步：单位根群的确定与分圆域
单位根群的大小 w_K 与数域 K 的结构紧密相关。

  • 克罗内克-韦伯定理的一个推论：如果数域 K 是阿贝尔扩张（其伽罗瓦群是阿贝尔群），那么 K 的单位根群 μ(K) 恰好包含所有 w_K 次单位根，其中 w_K 是使得分圆域 Q(ζ_{w_K}) 包含于 K 的最大整数。换句话说，w_K 是满足 Q(ζ_{w_K}) ⊂ K 的最大正整数。
  • 分圆域的特殊性：对于分圆域 K = Q(ζₙ) 本身，其单位根群 μ(K) 恰好由所有 n 次单位根组成（如果 n 是偶数，实际上包含了 2n 次单位根中的一部分，但生成元仍是 n 次本原根），所以 w_K = n（或 2n，取决于 n 的奇偶性，精确地说，单位根群是 ⟨-ζₙ⟩ 的循环群）。
  • 一般数域：对于非阿贝尔扩张或者不包含足够多单位根的数域，w_K 通常很小。由狄利克雷单位定理可知，对于除了 Q 和虚二次域以外的数域，单位群 O_K^× 同构于 μ(K) 和一个自由阿贝尔群的直积。这个自由部分的秩是 r₁ + r₂ - 1（其中 r₁ 是实嵌入的个数，r₂ 是复嵌入的对数）。单位根群 μ(K) 就是这个直积中的有限部分（挠子群）。

总结：
数域 K 的单位根群 μ(K) 是 K 的整数环中所有有限阶单位（即满足 ε^m = 1 的元素）构成的乘法群。它是一个有限的循环群，其阶 w_K 称为该数域的单位根指数。这个群是理解数域单位群结构的有限部分，在分圆域理论、类域论以及岩泽理论中扮演着基础角色，因为它联系着数域的算术与单位根的代数性质。

数域的单位根群 我们先从一个最基础的概念讲起。 第一步：什么是数域？ 数域是复数域 C 的一个子域，它包含有理数域 Q ，并且作为 Q 上的向量空间是有限维的。这个维数称为该数域的 次数 。 例子1 ：有理数域 Q 本身是一个数域，次数为 1。 例子2 ：高斯有理数域 Q(i) = {a + bi | a, b ∈ Q }，这是一个二次域（次数为2）。 例子3 ：分圆域 Q(ζₙ) ，其中 ζₙ = e^(2πi/n) 是一个 n 次本原单位根。这个域的次数是 φ(n)（欧拉函数）。 第二步：什么是代数整数？ 在一个数域 K 中，如果一个复数 α 是某个首一（最高次项系数为1）整系数多项式的根，则称 α 为 代数整数 。一个数域 K 中所有代数整数构成一个环，记作 O_ K，称为 K 的 整数环 。 例子1 ：在 Q 中，代数整数就是通常的整数 Z 。 例子2 ：在 Q(i) 中，代数整数环是 Z[ i] = {a + bi | a, b ∈ Z }，即高斯整数环。 例子3 ：在 Q(ζₙ) 中，代数整数环是 Z[ ζₙ] 。 第三步：什么是单位？ 在整数环 O_ K 中，一个元素 ε 被称为一个 单位 ，如果存在另一个元素 η ∈ O_ K，使得 εη = 1。换句话说，单位就是 O_ K 中的可逆元。所有单位组成的集合 O_ K^× 在乘法下构成一个群，称为 K 的 单位群 。 例子1 ：在 Z 中，单位只有 1 和 -1。单位群是 {±1}，这是一个 2 阶循环群。 例子2 ：在 Z[ i] 中，单位是那些模长为1的高斯整数：1， -1， i， -i。单位群是4阶循环群。 例子3 ：在一般的数域中（如实二次域），单位群的结构由 狄利克雷单位定理 描述，它可能包含无限多个单位（例如 √2+1 在 Q(√2) 中是一个无限阶的单位）。 第四步：什么是单位根？ 单位根是一个代数整数 ε，它满足 ε^m = 1 对于某个正整数 m 成立。满足 ε^m = 1 的最小的正整数 m 称为 ε 的 阶 。所有单位根都是 1 的幂。显然，任何单位根都是单位群 O_ K^× 中的一个元素（因为它的逆元是它的共轭或幂）。 例子 ：在 Q(i) 中，i 是一个 4 次单位根，因为 i^4=1。在 Z 中，-1 是一个 2 次单位根。 关键性质 ：一个 n 次单位根如果其阶恰好是 n，则称为 n次本原单位根 。例如，i 和 -i 是 4 次本原单位根，而 -1 不是（它是 2 次本原的）。 第五步：数域的单位根群 对于一个给定的数域 K，我们考虑它的整数环 O_ K 中所有单位根组成的集合。这个集合是单位群 O_ K^× 的一个子群，记作 μ(K)，称为 K 的 单位根群 。 结构定理（有限循环群） ：单位根群 μ(K) 是一个 有限循环群 。这是数论中的一个基本结论。也就是说，存在一个正整数 w_ K，使得 μ(K) 恰好由所有 w_ K 次单位根组成：μ(K) = {ζ ∈ O_ K | ζ^(w_ K) = 1} ≅ Z /w_ K Z 。这里的 w_ K 称为数域 K 的 单位根指数 。 为什么是有限的？ 因为单位根的模长都是1。而整数环 O_ K 在复数域中是离散的（任何有界区域只包含有限个代数整数）。模长为1的代数整数在单位圆上，是有界的，因此只可能是有限个。又因为有限群的子群是循环群，所以它是循环群。 第六步：单位根群的确定与分圆域 单位根群的大小 w_ K 与数域 K 的结构紧密相关。 克罗内克-韦伯定理的一个推论 ：如果数域 K 是 阿贝尔扩张 （其伽罗瓦群是阿贝尔群），那么 K 的单位根群 μ(K) 恰好包含所有 w_ K 次单位根，其中 w_ K 是使得分圆域 Q(ζ_ {w_ K}) 包含于 K 的最大整数。换句话说，w_ K 是满足 Q(ζ_ {w_ K}) ⊂ K 的最大正整数。 分圆域的特殊性 ：对于分圆域 K = Q(ζₙ) 本身，其单位根群 μ(K) 恰好由所有 n 次单位根组成（如果 n 是偶数，实际上包含了 2n 次单位根中的一部分，但生成元仍是 n 次本原根），所以 w_ K = n（或 2n，取决于 n 的奇偶性，精确地说，单位根群是 ⟨-ζₙ⟩ 的循环群）。 一般数域 ：对于非阿贝尔扩张或者不包含足够多单位根的数域，w_ K 通常很小。由狄利克雷单位定理可知，对于除了 Q 和虚二次域以外的数域，单位群 O_ K^× 同构于 μ(K) 和一个自由阿贝尔群的直积。这个自由部分的秩是 r₁ + r₂ - 1（其中 r₁ 是实嵌入的个数，r₂ 是复嵌入的对数）。单位根群 μ(K) 就是这个直积中的有限部分（挠子群）。 总结 ： 数域 K 的 单位根群 μ(K) 是 K 的整数环中所有有限阶单位（即满足 ε^m = 1 的元素）构成的乘法群。它是一个有限的循环群，其阶 w_ K 称为该数域的单位根指数。这个群是理解数域单位群结构的有限部分，在分圆域理论、类域论以及岩泽理论中扮演着基础角色，因为它联系着数域的算术与单位根的代数性质。