解析函数的零点
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基本概念
首先，我们需要明确什么是解析函数的零点。对于一个在点 \(z_0\) 及其某个邻域内解析的函数 \(f(z)\)，如果 \(f(z_0) = 0\)，那么我们称 \(z_0\) 是函数 \(f(z)\) 的一个零点。这与实变函数中零点的定义是类似的。 -
零点的阶（或重数）
并非所有零点都是“平等”的。一个零点的“强度”或“重数”至关重要。如果解析函数 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 点满足：
\[ f(z_0) = f'(z_0) = f''(z_0) = \cdots = f^{(m-1)}(z_0) = 0, \quad 但 \quad f^{(m)}(z_0) \neq 0 \]
那么我们就称 \(z_0\) 是 \(f(z)\) 的一个 m阶零点（或称重零点）。当 \(m=1\) 时，我们称之为单零点。
- 零点阶的局部刻画
一个非常重要的结论是：点 \(z_0\) 是 \(f(z)\) 的 \(m\) 阶零点，当且仅当在 \(z_0\) 的某个邻域内，函数 \(f(z)\) 可以表示为以下形式：
\[ f(z) = (z - z_0)^m g(z) \]
其中 \(g(z)\) 在该邻域内解析，并且 \(g(z_0) \neq 0\)。这个表达式清晰地展示了零点 \(z_0\) 的“阶”是如何通过因子 \((z - z_0)^m\) 体现出来的。函数 \(g(z)\) 在 \(z_0\) 处不为零，保证了零点的阶数恰好是 \(m\)。
- 零点与泰勒级数的关系
由于解析函数在其解析点附近可以展开为泰勒级数，零点的阶数也可以通过泰勒级数来判定。设 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 点解析，其泰勒展开为：
\[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \]
如果 \(z_0\) 是 \(f(z)\) 的 \(m\) 阶零点，那么根据泰勒系数的公式 \(a_n = f^{(n)}(z_0)/n!\) 和零点的定义，我们有：
\[ a_0 = a_1 = \cdots = a_{m-1} = 0, \quad 但 \quad a_m \neq 0 \]
因此，泰勒级数从 \((z - z_0)^m\) 项开始不为零：
\[ f(z) = (z - z_0)^m (a_m + a_{m+1}(z - z_0) + a_{m+2}(z - z_0)^2 + \cdots) = (z - z_0)^m g(z) \]
这与第3点中的局部刻画是完全一致的。
- 零点的孤立性
解析函数零点的一个极其重要的性质是孤立性。这意味着，如果 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析且不恒为零，那么 \(f(z)\) 在 \(D\) 内的每一个零点都是孤立的。
- 孤立零点的定义：零点 \(z_0\) 称为孤立的，如果存在它的一个邻域，使得在这个邻域内除 \(z_0\) 本身外，不再有 \(f(z)\) 的其他零点。
- 意义：这个性质保证了非恒为零的解析函数不能有像实函数那样（例如 \(f(x) = x^2 \sin(1/x)\) 在 \(x=0\) 处）的聚点型的零点。它是解析函数刚性的一种体现。
- 唯一性定理
零点的孤立性直接导向了一个强大的工具——唯一性定理（或称恒等定理）。该定理指出：设函数 \(f(z)\) 和 \(g(z)\) 在区域 \(D\) 内解析，如果存在一个在 \(D\) 内具有极限点的点列 \(\{z_n\}\)（即该点列收敛于 \(D\) 内的某个点），并且在该点列上 \(f(z_n) = g(z_n)\)，那么在整个区域 \(D\) 内必有 \(f(z) \equiv g(z)\)。
- 推论：如果一个解析函数在区域 \(D\) 内的一小段曲线甚至一个无穷点集（拥有极限点）上为零，那么它在整个区域上必然恒为零。这再次说明了解析函数的“全局确定性”，即局部信息可以决定整体性质。