本原多项式 我们先从多项式系数的整体性质谈起。一个非零多项式，其系数可以提取一个最大公因数（公因子）。例如，多项式 \( 2x^2 + 4x + 6 \) 的系数 2, 4, 6 的最大公因数是 2，我们可以将其写作 \( 2(x^2 + 2x + 3) \)。而多项式 \( x^2 + 2x + 3 \) 的系数 1, 2, 3 的最大公因数就是 1。 如果一个非零整系数多项式的所有系数的最大公因数（简称 容度 ）为 1，那么我们称这个多项式是一个 本原多项式 。 例如： \( P(x) = 3x^2 + 6x + 9 \) 不是本原多项式，因为其系数的最大公因数是 3。 \( Q(x) = 3x^2 + 2x + 1 \) 是本原多项式，因为系数 3, 2, 1 的最大公因数是 1。 这个概念的关键之处在于，它允许我们将对多项式的研究（在有理数域上）转化为对整数环上本原多项式的研究，这要归功于高斯引理。 高斯引理 指出：两个本原多项式的乘积仍然是一个本原多项式。 让我们来理解一下这个引理为何重要。假设我们有两个本原多项式 \( f(x) \) 和 \( g(x) \)，它们的乘积是 \( h(x) = f(x)g(x) \)。如果 \( h(x) \) 不是本原的，那就意味着存在某个质数 \( p \) 能整除 \( h(x) \) 的所有系数。现在，考虑模 \( p \) 的同态，它将整数系数多项式映射到有限域 \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) 上的多项式。由于 \( f \) 和 \( g \) 是本原的，在模 \( p \) 下，\( \bar{f}(x) \) 和 \( \bar{g}(x) \) 都不会是零多项式（因为质数 \( p \) 不能同时整除它们所有的系数）。但是，它们的乘积 \( \bar{h}(x) = \bar{f}(x)\bar{g}(x) \) 在模 \( p \) 下却成了零多项式。然而，在域（这里指有限域 \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \)）上的多项式环是整环，这意味着没有零因子。所以，如果两个非零多项式的乘积为零，这是不可能的。这个矛盾证明了 \( h(x) \) 必须是本原的。 高斯引理的一个直接而强大的推论是：如果一个整系数本原多项式在有理数域上是可约的（即可以分解为两个次数更低的有理系数多项式的乘积），那么它必然可以分解为两个次数更低的整系数多项式的乘积。 这个性质为我们判断有理数域上的多项式不可约性提供了强有力的工具。例如， 艾森斯坦判别法 通常就是应用于本原多项式来判断其不可约性。如果一个本原多项式满足艾森斯坦判别法的条件（存在一个质数 \( p \)，能整除除首项外的所有系数，能整除常数项但平方不整除常数项），那么它不仅在有理数域上不可约，甚至在任何更低维的代数扩张上也不可约，我们称这种性质为在整数环上不可约。 本原多项式在代数数论中也扮演着核心角色。一个代数整数是某个首一的整系数多项式的根。而研究代数整数域（即一个数域的整数环）时，我们常常需要考察其极小多项式。这些极小多项式就是本原多项式。