特征多项式 特征多项式是线性代数中与方阵紧密相关的一个重要概念。它建立了一个连接矩阵、其特征值和特征向量的桥梁。为了更好地理解它，我们从最基础的概念开始。 回顾：线性变换与特征值 首先，回忆一下，一个线性变换 T 作用于一个向量空间 V。如果一个非零向量 v 在经过变换 T 后，只是被简单地缩放（拉伸或压缩），而没有改变方向（或恰好反向），即满足 T(v) = λv，那么标量 λ 就被称为这个线性变换 T 的一个 特征值 ，而向量 v 则被称为对应于特征值 λ 的 特征向量 。 从等式到方程 现在，我们将这个定义从抽象的线性变换具体到矩阵上。考虑一个 n×n 的方阵 A。寻找其特征值和特征向量，就是寻找满足方程 Av = λv 的标量 λ 和非零向量 v。 我们可以将这个方程重写：Av = λIv，其中 I 是 n 阶单位矩阵。然后，将所有项移到一边：Av - λIv = 0。利用矩阵乘法的分配律，我们得到：(A - λI)v = 0。 核心：齐次线性方程组的非零解 方程 (A - λI)v = 0 是一个齐次线性方程组。我们关心的是这个方程组何时存在 非零解 向量 v。根据线性代数的基本定理，一个齐次线性方程组有非零解的 充要条件 是其系数矩阵的行列式为零。 因此，为了找到特征值 λ，我们必须要求：det(A - λI) = 0。 特征多项式的定义 这个关键的表达式 det(A - λI) 就是我们要讲的 特征多项式 。 具体来说，我们构造一个新矩阵 (A - λI)，它是由矩阵 A 的每个主对角线上的元素都减去 λ 得到的。 然后，计算这个新矩阵的行列式。由于矩阵中包含变量 λ，这个行列式的结果将是一个关于变量 λ 的 多项式 。 因此，对于一个 n×n 矩阵 A，其特征多项式 p(λ) 定义为：p(λ) = det(A - λI)。 特征多项式的性质与求解步骤 次数 ：特征多项式 p(λ) 是一个关于 λ 的 n 次多项式。这是因为行列式的定义中包含 n ! 项，每项是 n 个元素的乘积，而这 n 个元素恰好来自矩阵的不同行和不同列。当我们从主对角线上选取元素时，会得到 (a₁₁ - λ)(a₂₂ - λ)...(aₙₙ - λ) 这一项，它展开后的最高次项是 (-λ)ⁿ，所以多项式是 n 次的。 首一多项式 ：通常，我们会将特征多项式写成首一多项式（即最高次项系数为 1 的形式）。这可以通过将整个行列式结果乘以 (-1)ⁿ 来实现，即 p(λ) = det(λI - A)。这两种定义（det(A - λI) 或 det(λI - A)）只相差一个符号 (-1)ⁿ，但它们的根（即特征值）是完全相同的。在理论推导中常用前者，在手工计算时后者有时更方便。 求特征值的步骤 ： 构造矩阵 (A - λI) 或 (λI - A)。 计算该矩阵的行列式，得到特征多项式 p(λ)。 解特征方程 p(λ) = 0。这个 n 次代数方程的 n 个根（包括实根和复根，重根按重数计算）就是矩阵 A 的全部特征值。 例子 考虑一个 2×2 矩阵 A = [ 4, 1; 2, 3 ]。 步骤1 ：构造矩阵 A - λI = [ 4-λ, 1; 2, 3-λ ]。 步骤2 ：计算特征多项式 p(λ) = det([ 4-λ, 1; 2, 3-λ ]) = (4-λ)(3-λ) - (1)(2) = λ² - 7λ + 10。 步骤3 ：解特征方程 λ² - 7λ + 10 = 0。因式分解得 (λ-2)(λ-5)=0。所以特征值为 λ₁=2 和 λ₂=5。 特征多项式的意义与应用 特征值的载体 ：特征多项式的根就是矩阵的特征值。这是它最直接和最重要的作用。 矩阵的相似不变量 ：如果两个矩阵 A 和 B 是相似的（即存在可逆矩阵 P 使得 B = P⁻¹AP），那么它们有相同的特征多项式。因此，特征多项式是矩阵的一个相似不变量。 凯莱-哈密顿定理 ：一个非常重要的定理指出，每个矩阵都满足它自己的特征方程。也就是说，如果将特征多项式 p(λ) = λⁿ + cₙ₋₁λⁿ⁻¹ + ... + c₁λ + c₀ 中的变量 λ 替换为矩阵 A 本身，会得到零矩阵：p(A) = Aⁿ + cₙ₋₁Aⁿ⁻¹ + ... + c₁A + c₀I = 0。这个定理在线性代数和矩阵理论中有深远的影响。 对角化的判断 ：特征多项式可以帮助判断一个矩阵是否可对角化。虽然特征多项式本身不能完全决定对角化性质（还需要考虑特征子空间的维数），但它是分析过程中的第一步。例如，如果特征多项式有 n 个互不相同的根，那么矩阵一定可对角化。 总结来说，特征多项式通过一个简洁的行列式公式，将寻找矩阵特征值的问题转化为求解多项式方程的问题。它不仅是计算特征值的工具，其本身作为矩阵的一个核心不变量，在理解矩阵的深层结构和性质方面发挥着基础性作用。