泊松求和公式 (Poisson Summation Formula)
字数 3809 2025-12-20 18:54:31

泊松求和公式 (Poisson Summation Formula)

我来为你系统讲解泊松求和公式。这是一个连接连续傅里叶分析与离散傅里叶分析的核心公式，在数论、调和分析和信号处理中有广泛应用。我将从最基础的概念开始，逐步深入。

第一步：回顾傅里叶变换的定义

泊松求和公式的推导依赖于傅里叶变换。我们先明确以下定义（在 \(\mathbb{R}\) 上）：

  1. 可积函数空间
    \(L^1(\mathbb{R})\) 表示所有绝对可积的函数 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}\)，即满足：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)| \, dx < \infty. \]

  1. 傅里叶变换
    对 \(f \in L^1(\mathbb{R})\)，其傅里叶变换 \(\hat{f}\) 定义为：

\[ \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx, \quad \xi \in \mathbb{R}. \]

注意这里指数中采用 \(2\pi\) 因子，使得傅里叶逆公式形式对称（某些教材用其他约定，但这里为标准形式）。

  1. 傅里叶逆变换
    在一定条件下（例如 \(\hat{f} \in L^1(\mathbb{R})\) 且 \(f\) 连续），有：

\[ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \xi} \, d\xi. \]

第二步：泊松求和公式的直观动机

我们希望将函数 \(f\) 的“周期化和”（即 \(\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(x+n)\)）与其傅里叶变换 \(\hat{f}\) 的“离散采样”联系起来。
考虑一个周期为 1 的函数：

\[F(x) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} f(x+n). \]

如果该级数收敛，\(F\) 是周期 1 函数，因此可展开为傅里叶级数：

\[F(x) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k e^{2\pi i k x}, \]

其中傅里叶系数为：

\[c_k = \int_0^1 F(x) e^{-2\pi i k x} \, dx. \]

将 \(F\) 的表达式代入：

\[c_k = \int_0^1 \sum_{n\in\mathbb{Z}} f(x+n) e^{-2\pi i k x} \, dx. \]

假设可交换求和与积分（例如 \(f\) 衰减足够快）：

\[c_k = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \int_0^1 f(x+n) e^{-2\pi i k x} \, dx. \]

对每个 \(n\)，令 \(y = x+n\)，则 \(dy = dx\)，且 \(e^{-2\pi i k x} = e^{-2\pi i k (y-n)} = e^{-2\pi i k y}\)（因为 \(e^{2\pi i k n} = 1\)），于是：

\[c_k = \sum_{n\in\mathbb{Z}} \int_n^{n+1} f(y) e^{-2\pi i k y} \, dy = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-2\pi i k y} \, dy = \hat{f}(k). \]

因此：

\[F(x) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \hat{f}(k) e^{2\pi i k x}. \]

第三步：泊松求和公式的标准形式

在上式中取 \(x = 0\)，得到最基本的形式：

\[\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(n) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \hat{f}(k). \]

更一般地，对任意 \(x \in \mathbb{R}\) 有：

\[\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(x+n) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \hat{f}(k) e^{2\pi i k x}. \]

这称为 泊松求和公式（Poisson Summation Formula, PSF）。

第四步：公式成立的条件

严格成立需要一定条件，常见充分条件有：

  1. 经典条件：
    \(f\) 连续且 \(|f(x)| \le C(1+|x|)^{-1-\epsilon}\)，\(|\hat{f}(\xi)| \le C(1+|\xi|)^{-1-\epsilon}\) 对某个 \(\epsilon > 0\) 成立。此时两边绝对收敛且等式成立。

  2. 施瓦茨空间条件：
    若 \(f\) 属于 施瓦茨空间 \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\)（即光滑且与各阶导数速降），则 PSF 绝对成立。这是因为施瓦茨函数的傅里叶变换仍是施瓦茨函数，保证级数绝对收敛。

  3. 更弱条件（利用广义函数论）：
    对缓增广义函数（tempered distribution），PSF 可作为恒等式解释。

第五步：关键例子加深理解

例1：高斯函数

令 \(f(x) = e^{-\pi x^2}\)，其傅里叶变换为 \(\hat{f}(\xi) = e^{-\pi \xi^2}\)（这是傅里叶变换的一个重要性质，可通过配平方证明）。
应用 PSF 得：

\[\sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-\pi n^2} = \sum_{k\in\mathbb{Z}} e^{-\pi k^2}. \]

这给出了一个显然的恒等式，但若将 \(f_t(x) = e^{-\pi t x^2}\) 用于 \(t > 0\)，可得到 雅可比 theta 函数 的函数方程：

\[\sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-\pi t n^2} = t^{-1/2} \sum_{k\in\mathbb{Z}} e^{-\pi k^2 / t}. \]

例2：矩形函数

令 \(f(x) = \operatorname{rect}(x) = \begin{cases} 1 & |x| \le 1/2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\)，其傅里叶变换为 \(\hat{f}(\xi) = \operatorname{sinc}(\pi \xi) = \frac{\sin(\pi \xi)}{\pi \xi}\)（约定 \(\hat{f}(0)=1\)）。
PSF 给出：

\[\sum_{n\in\mathbb{Z}} \operatorname{rect}(x+n) = \sum_{k\in\mathbb{Z}} \operatorname{sinc}(\pi k) e^{2\pi i k x}. \]

左边是周期 1 的常数函数 1（因为平移矩形覆盖整个实数轴不重叠），右边当 \(k \ne 0\) 时 \(\operatorname{sinc}(\pi k)=0\)，\(k=0\) 时项为 1，因此相等。

第六步：公式的意义与应用方向

  1. 数论中的应用

    • 证明 函数方程：如黎曼 ζ 函数、模形式等。
    • 计算 格点和（lattice point counting）：通过 PSF 将欧几里得空间的格点和转化为对偶格点的和。

  2. 调和分析中的应用

    • 证明 抽样定理（Shannon sampling theorem）：若信号带宽有限，则可通过离散样本完全重建。
    • 研究 傅里叶级数 与 傅里叶变换 的关系。

  3. 物理中的应用

    • 晶体学：倒易空间与实空间之间的对偶关系。
    • 量子力学：周期性势场中的能带结构。

第七步：扩展形式

泊松求和公式可推广到高维欧几里得空间 \(\mathbb{R}^d\) 上的格（lattice）\(\Lambda\)。
设 \(\Lambda\) 是一个格，其对偶格为 \(\Lambda^* = \{ y \in \mathbb{R}^d : y \cdot x \in \mathbb{Z}, \forall x \in \Lambda \}\)。
则有：

\[\sum_{x \in \Lambda} f(x) = \frac{1}{\operatorname{vol}(\mathbb{R}^d/\Lambda)} \sum_{\xi \in \Lambda^*} \hat{f}(\xi), \]

其中 \(\operatorname{vol}(\mathbb{R}^d/\Lambda)\) 是格的基本区域体积。

总结

泊松求和公式本质是 傅里叶对偶性在离散与连续之间的桥梁，它将函数的周期化和与其傅里叶变换在整数点取值联系起来。理解它需要掌握傅里叶变换的基本性质，并注意公式成立的条件。从高斯函数的例子出发，可看到它在特殊函数论中的深刻应用。

泊松求和公式 (Poisson Summation Formula) 我来为你系统讲解泊松求和公式。这是一个连接连续傅里叶分析与离散傅里叶分析的核心公式，在数论、调和分析和信号处理中有广泛应用。我将从最基础的概念开始，逐步深入。 第一步：回顾傅里叶变换的定义 泊松求和公式的推导依赖于傅里叶变换。我们先明确以下定义（在 \(\mathbb{R}\) 上）： 可积函数空间 \( L^1(\mathbb{R}) \) 表示所有绝对可积的函数 \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \)，即满足： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} |f(x)| \, dx < \infty. \] 傅里叶变换 对 \( f \in L^1(\mathbb{R}) \)，其傅里叶变换 \(\hat{f}\) 定义为： \[ \hat{f}(\xi) = \int_ {-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx, \quad \xi \in \mathbb{R}. \] 注意这里指数中采用 \( 2\pi \) 因子，使得傅里叶逆公式形式对称（某些教材用其他约定，但这里为标准形式）。 傅里叶逆变换 在一定条件下（例如 \(\hat{f} \in L^1(\mathbb{R})\) 且 \( f \) 连续），有： \[ f(x) = \int_ {-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \xi} \, d\xi. \] 第二步：泊松求和公式的直观动机 我们希望将函数 \( f \) 的“周期化和”（即 \( \sum_ {n\in\mathbb{Z}} f(x+n) \)）与其傅里叶变换 \( \hat{f} \) 的“离散采样”联系起来。 考虑一个周期为 1 的函数： \[ F(x) = \sum_ {n\in\mathbb{Z}} f(x+n). \] 如果该级数收敛，\( F \) 是周期 1 函数，因此可展开为傅里叶级数： \[ F(x) = \sum_ {k\in\mathbb{Z}} c_ k e^{2\pi i k x}, \] 其中傅里叶系数为： \[ c_ k = \int_ 0^1 F(x) e^{-2\pi i k x} \, dx. \] 将 \( F \) 的表达式代入： \[ c_ k = \int_ 0^1 \sum_ {n\in\mathbb{Z}} f(x+n) e^{-2\pi i k x} \, dx. \] 假设可交换求和与积分（例如 \( f \) 衰减足够快）： \[ c_ k = \sum_ {n\in\mathbb{Z}} \int_ 0^1 f(x+n) e^{-2\pi i k x} \, dx. \] 对每个 \( n \)，令 \( y = x+n \)，则 \( dy = dx \)，且 \( e^{-2\pi i k x} = e^{-2\pi i k (y-n)} = e^{-2\pi i k y} \)（因为 \( e^{2\pi i k n} = 1 \)），于是： \[ c_ k = \sum_ {n\in\mathbb{Z}} \int_ n^{n+1} f(y) e^{-2\pi i k y} \, dy = \int_ {-\infty}^{\infty} f(y) e^{-2\pi i k y} \, dy = \hat{f}(k). \] 因此： \[ F(x) = \sum_ {k\in\mathbb{Z}} \hat{f}(k) e^{2\pi i k x}. \] 第三步：泊松求和公式的标准形式 在上式中取 \( x = 0 \)，得到最基本的形式： \[ \sum_ {n\in\mathbb{Z}} f(n) = \sum_ {k\in\mathbb{Z}} \hat{f}(k). \] 更一般地，对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 有： \[ \sum_ {n\in\mathbb{Z}} f(x+n) = \sum_ {k\in\mathbb{Z}} \hat{f}(k) e^{2\pi i k x}. \] 这称为 泊松求和公式 （Poisson Summation Formula, PSF）。 第四步：公式成立的条件 严格成立需要一定条件，常见充分条件有： 经典条件 ： \( f \) 连续且 \( |f(x)| \le C(1+|x|)^{-1-\epsilon} \)，\( |\hat{f}(\xi)| \le C(1+|\xi|)^{-1-\epsilon} \) 对某个 \(\epsilon > 0\) 成立。此时两边绝对收敛且等式成立。 施瓦茨空间条件 ： 若 \( f \) 属于 施瓦茨空间 \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\)（即光滑且与各阶导数速降），则 PSF 绝对成立。这是因为施瓦茨函数的傅里叶变换仍是施瓦茨函数，保证级数绝对收敛。 更弱条件 （利用广义函数论）： 对缓增广义函数（tempered distribution），PSF 可作为恒等式解释。 第五步：关键例子加深理解 例1：高斯函数 令 \( f(x) = e^{-\pi x^2} \)，其傅里叶变换为 \(\hat{f}(\xi) = e^{-\pi \xi^2}\)（这是傅里叶变换的一个重要性质，可通过配平方证明）。 应用 PSF 得： \[ \sum_ {n\in\mathbb{Z}} e^{-\pi n^2} = \sum_ {k\in\mathbb{Z}} e^{-\pi k^2}. \] 这给出了一个显然的恒等式，但若将 \( f_ t(x) = e^{-\pi t x^2} \) 用于 \( t > 0 \)，可得到 雅可比 theta 函数 的函数方程： \[ \sum_ {n\in\mathbb{Z}} e^{-\pi t n^2} = t^{-1/2} \sum_ {k\in\mathbb{Z}} e^{-\pi k^2 / t}. \] 例2：矩形函数 令 \( f(x) = \operatorname{rect}(x) = \begin{cases} 1 & |x| \le 1/2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \)，其傅里叶变换为 \(\hat{f}(\xi) = \operatorname{sinc}(\pi \xi) = \frac{\sin(\pi \xi)}{\pi \xi}\)（约定 \(\hat{f}(0)=1\)）。 PSF 给出： \[ \sum_ {n\in\mathbb{Z}} \operatorname{rect}(x+n) = \sum_ {k\in\mathbb{Z}} \operatorname{sinc}(\pi k) e^{2\pi i k x}. \] 左边是周期 1 的常数函数 1（因为平移矩形覆盖整个实数轴不重叠），右边当 \( k \ne 0 \) 时 \(\operatorname{sinc}(\pi k)=0\)，\( k=0 \) 时项为 1，因此相等。 第六步：公式的意义与应用方向 数论中的应用 证明 函数方程 ：如黎曼 ζ 函数、模形式等。 计算 格点和 （lattice point counting）：通过 PSF 将欧几里得空间的格点和转化为对偶格点的和。 调和分析中的应用 证明 抽样定理 （Shannon sampling theorem）：若信号带宽有限，则可通过离散样本完全重建。 研究 傅里叶级数 与 傅里叶变换 的关系。 物理中的应用 晶体学：倒易空间与实空间之间的对偶关系。 量子力学：周期性势场中的能带结构。 第七步：扩展形式 泊松求和公式可推广到高维欧几里得空间 \(\mathbb{R}^d\) 上的格（lattice）\( \Lambda \)。 设 \( \Lambda \) 是一个格，其对偶格为 \( \Lambda^* = \{ y \in \mathbb{R}^d : y \cdot x \in \mathbb{Z}, \forall x \in \Lambda \} \)。 则有： \[ \sum_ {x \in \Lambda} f(x) = \frac{1}{\operatorname{vol}(\mathbb{R}^d/\Lambda)} \sum_ {\xi \in \Lambda^* } \hat{f}(\xi), \] 其中 \(\operatorname{vol}(\mathbb{R}^d/\Lambda)\) 是格的基本区域体积。 总结 泊松求和公式本质是 傅里叶对偶性在离散与连续之间的桥梁 ，它将函数的周期化和与其傅里叶变换在整数点取值联系起来。理解它需要掌握傅里叶变换的基本性质，并注意公式成立的条件。从高斯函数的例子出发，可看到它在特殊函数论中的深刻应用。