平行线在微分几何中的推广：测地平行坐标系的构造与几何性质
我将从测地线的概念出发，逐步引入测地平行坐标系的定义、性质和应用，帮助你理解如何在弯曲曲面上推广欧氏几何中的“平行线”概念。
步骤1：回顾测地线的基本概念
在曲面上，测地线是“直线”的推广，定义为局部上最短的曲线（或自平移的曲线）。其数学特征是：测地曲率 \(\kappa_g = 0\)。例如，球面上的大圆是测地线。测地线在曲面上扮演着类似“直线”的角色，是构造其他几何对象的基准。
步骤2：什么是“测地平行曲线”？
在欧氏平面上，平行线是处处等距的直线。在曲面上，我们可以类似地定义一族曲线，它们与一条给定测地线保持固定距离。具体构造如下：
- 设 \(\gamma(s)\) 是曲面上一条参数为弧长 \(s\) 的测地线。
- 过 \(\gamma(s)\) 上每一点，沿垂直于 \(\gamma\) 的方向（即沿 \(\gamma\) 的法向量）出发，走一个固定距离 \(t\)，得到新点 \(P(s,t)\)。
- 当 \(t\) 固定时，\(P(s,t)\) 随 \(s\) 变化形成一条曲线，称为测地平行曲线（geodesic parallel curve）。
- 当 \(s\) 固定时，\(P(s,t)\) 随 \(t\) 变化形成的曲线是测地法线（geodesic normal）。
这样得到的坐标 \((s,t)\) 称为测地平行坐标系（geodesic parallel coordinates）。
步骤3：测地平行坐标系的度量形式
在曲面局部上，测地平行坐标系的第一基本形式（度量）可写成：
\[ds^2 = dt^2 + G(s,t) \, ds^2 \]
其中：
- \(dt^2\) 表示沿测地法线方向（\(t\) 方向）的弧长微元就是 \(dt\)（因为沿法线走是等距的）。
- \(G(s,t)\) 是一个正函数，描述沿测地平行曲线（\(s\) 方向）的尺度因子。
关键性质：当 \(t=0\) 时，\(G(s,0) = 1\)，因为此时曲线就是测地线 \(\gamma\)，其弧长参数就是 \(s\)。
步骤4：高斯曲率在测地平行坐标系中的表达式
利用高斯绝妙定理，高斯曲率 \(K\) 可通过度量系数计算。对于度量 \(ds^2 = dt^2 + G(s,t) ds^2\)，高斯曲率为：
\[K = -\frac{1}{\sqrt{G}} \frac{\partial^2 \sqrt{G}}{\partial t^2} \]
这个公式表明：高斯曲率完全由函数 \(G(s,t)\) 决定，且与 \(s\) 无关（实际上，在一般情况下 \(G\) 可能依赖于 \(s\)，但曲率表达式是局部的）。
特别地，如果曲面是常曲率的（如球面 \(K>0\)、平面 \(K=0\)、双曲平面 \(K<0\)），则 \(G(s,t)\) 有显式形式：
- \(K=0\)（平面）：\(G(s,t) = 1\)（欧氏平行坐标系）。
- \(K>0\)（球面）：\(G(s,t) = \cos^2(\sqrt{K} t)\) 或类似三角函数形式。
- \(K<0\)（双曲平面）：\(G(s,t) = \cosh^2(\sqrt{-K} t)\)。
步骤5：测地平行坐标系的应用
- 计算曲面积：在测地平行坐标系中，面积元为 \(dA = \sqrt{G} \, ds dt\)。如果 \(G\) 与 \(s\) 无关，则面积计算简化。
- 比较几何定理：例如，在常曲率曲面上，两条测地平行曲线之间的距离不一定等于 \(t\) 的差（因为空间弯曲），但可以通过 \(G(s,t)\) 计算实际距离。
- 推广的“平行公设”：在非欧几何中，过直线外一点可能有无数条、一条或没有平行线（取决于曲率）。测地平行坐标系帮助我们精确描述“等距线”的行为。
步骤6：例子：球面上的测地平行坐标系
以球面（半径 \(R\)）为例：
- 取赤道作为初始测地线 \(\gamma\)。
- 沿经线（大圆弧）向北走，经线是测地法线，纬度 \(\theta\) 对应 \(t = R \cdot \theta\)。
- 此时，度量可写为 \(ds^2 = dt^2 + R^2 \cos^2(t/R) \, ds^2\)，其中 \(s\) 是经度。
- 这里 \(G(s,t) = R^2 \cos^2(t/R)\)，代入曲率公式得 \(K = 1/R^2\)。
总结
测地平行坐标系是微分几何中推广“平行线”的有效工具，它将曲面上的距离、曲率和坐标统一起来。通过这个框架，我们可以研究弯曲空间中的等距线、面积计算以及非欧几何的局部性质。