商环

商环是环论中一个核心概念，它允许我们通过“模掉”一个理想来构造一个新的环。这个过程与在整数中模掉一个整数以得到模n整数环的思想是类似的。

1. 背景：理想与陪集

   • 首先，回忆理想的概念。一个环 R 的子集 I 被称为理想，如果它满足：(1) 对加法构成子群；(2) 对任意 r ∈ R 和任意 a ∈ I，都有 r·a ∈ I 且 a·r ∈ I。理想是环中“可以被任何环元素吸收”的特殊子集。
   • 由于理想 I 对加法构成子群，我们可以考虑它在环 R 中的陪集。对于任意一个环元素 r ∈ R，r 所在的陪集定义为集合 r + I = { r + a | a ∈ I }。这个陪集包含了所有与 r 相差一个 I 中元素的元素。
   • 所有这些陪集的集合，记作 R/I，并读作“R 模 I”。

2. 商环的构造

   • 现在，我们在集合 R/I 上定义加法和乘法运算，使其成为一个环。
   • 加法：定义两个陪集 (r + I) 和 (s + I) 的和为 (r + s) + I。
   • 乘法：定义两个陪集 (r + I) 和 (s + I) 的积为 (r·s) + I。
   • 关键点：我们必须验证这些运算是“良定义”的，即运算的结果不依赖于陪集代表元 r 和 s 的选取。换句话说，如果 r + I = r' + I 且 s + I = s' + I，我们必须证明 (r+s) + I = (r'+s') + I 且 (r·s) + I = (r'·s') + I。这个证明依赖于 I 是理想（而不仅仅是子环）这一关键性质。正是理想的“吸收性”保证了乘法运算的良定性。

3. 商环的性质与例子

   • 一旦运算被良定义，我们可以验证 (R/I, +, ·) 满足环的所有公理：
     • 加法构成一个阿贝尔群，其零元是陪集 0 + I（即理想 I 本身）。
     • 乘法满足结合律和分配律。
   • 例子1：考虑整数环 Z 和其理想 nZ（由整数 n 生成的所有倍数构成的集合）。商环 Z/nZ 就是我们熟悉的模 n 整数环。它的元素是陪集 0+nZ, 1+nZ, ..., (n-1)+nZ。
   • 例子2：考虑实数系数多项式环 R[x] 和由多项式 x²+1 生成的主理想 (x²+1)。这个理想包含了所有能被 x²+1 整除的多项式。在商环 R[x]/(x²+1) 中，由于 x² + 1 ≡ 0，我们有 x² ≡ -1。这个商环在结构上同构于复数域 C，其中陪集 x + (x²+1) 扮演了虚数单位 i 的角色。

4. 同态基本定理

   • 商环与环同态有着最深刻的联系。环同态基本定理指出：如果 f: R -> S 是一个满的环同态，那么它的核 Ker(f)（所有被映射到 S 的零元的 R 中元素的集合）是 R 的一个理想，并且商环 R/Ker(f) 与 S 同构。
   • 这个定理是极其强大的。它意味着任何环的同态像（在同构意义下）本质上都是某个商环。它为我们提供了一种系统性的方法，通过研究环的理想和商环来理解所有可能的环同态。在上面的例子2中，计算同态 f: R[x] -> C (定义为 f(p(x)) = p(i)) 的核，并应用同态基本定理，就能严谨地证明 R[x]/(x²+1) ≅ C。