数学课程设计中的数学对象本体性理解教学
字数 2072 2025-12-20 16:38:22

数学课程设计中的数学对象本体性理解教学

数学对象本体性理解，指学习者对数学对象（如数、运算、函数、图形）的“是什么”和“何以是”形成深层、稳定且融贯的认识。它超越了记忆定义和操作程序，触及数学对象的本质属性、存在方式及其在数学体系中的结构性地位。接下来，我将为你循序渐进地展开这一词条的详细知识。

第一步：厘清“数学对象本体性理解”的核心内涵
首先，你需要明确“本体性”在此处的含义。它源于哲学，指对事物存在本质的探究。在数学学习中，这意味着引导学生思考：

  1. 存在性：这个数学对象是“如何而来”或“何以存在”的？是直接规定的（如自然数1），还是为了解决问题构造出来的（如负数、无理数）？
  2. 本质属性：这个对象的定义中，哪些性质是它最核心、不可分割的？例如，函数的本质是“对应关系”而非仅仅是表达式或图像。
  3. 同一性：判断两个数学表达式或表征是否指向“同一个”对象的依据是什么？例如，分数1/2、小数0.5、百分数50%为何是同一个数？
  4. 结构性：该对象在更广阔的数学结构中扮演什么角色？例如，加法运算在自然数集中是封闭的，但在自然数集中进行减法运算为何会导致数的扩充？

第二步：分析学生常见的非本体性理解表现（教学起点）
要设计教学，需先识别学生理解上的障碍。常见表现包括：

  • 概念扁平化：将概念等同于一个符号或名称。例如，认为“方程”就是含有未知数的等式，而不理解其作为描述数量关系的数学模型这一本质。
  • 程序优先：过度关注操作步骤而忽略对象意义。例如，熟练进行分式运算，却不清楚分式作为“数”的扩充以及作为“表示两个整式之商”的代数式这双重身份。
  • 表征混淆：将对象的某一种表征（如几何图形、代数式）当作对象本身。例如，认为“三角形”就是画在纸上的那个图形，而非抽象出的由三条线段首尾相连构成的封闭平面图形这一概念。
  • 关系割裂：看不到不同数学对象之间的内在联系。例如，将算术与代数视为完全不同的领域，看不到代数是对算术运算及其关系的符号化与一般化。

第三步：设计促进本体性理解的教学原则与策略
课程设计应围绕以下核心原则展开：

  1. 发生学原理：追溯关键数学对象的历史发生过程或逻辑建构过程。例如，通过“度量不可公度线段”的问题引出无理数，让学生体会其产生的必然性。
  2. 多表征关联与转换：系统设计实物、图形、符号、语言、情境等多种表征，并引导学生在不同表征间进行有意义的转换和互译。例如，函数概念教学需串联列表、解析式、图像、文字描述，并探讨其一致性。
  3. 变式与辨析：设计概念变式（如呈现函数的不同例子：解析式、图像、表格、描述）以突出本质属性；设计非概念变式（反例）以明确概念边界。例如，让学生判断各种关系是否为函数，并说明理由。
  4. 公理化与结构化：在适当阶段（如中学高年级），引导学生将零散知识组织成以基本概念和公理为起点的逻辑体系。例如，从自然数系的皮亚诺公理出发，理解数系的逐步扩充是如何通过定义运算和构造新集合实现的。
  5. 哲学性提问与讨论：提出引发深层思考的问题，如：“0是偶数吗？为什么？”“1为什么不是质数？”“图形旋转后还是同一个图形吗？”“无穷集合怎么比较大小？”通过讨论，澄清对象的本质。

第四步：规划具体教学阶段与活动示例（以“方程”为例）

  • 阶段一：感知与初建（小学高年级）
    • 活动：通过天平平衡、等量代换等具体情境，体验“相等关系”的核心地位。初步建立“未知数可以参与运算并表示特定数量”的观念。
    • 目标：理解方程是表达“未知量与已知量之间确定性相等关系”的模型。
  • 阶段二：深化与形式化（初中）
    • 活动：系统学习一元一次方程。重点教学从“算术思维”（求未知数）到“代数思维”（对等式进行操作以揭示未知数）的转变。通过解法的多样化（如等式性质、移项）讨论“方程的同解变形”这一保持方程“本体”（解集）不变的操作原理。
    • 目标：理解方程的解是使等式成立的未知数的值，解方程的本质是寻找所有解，变形过程需保持解的集合不变。
  • 阶段三：系统化与本体反思（高中）
    • 活动：学习方程组、不等式、函数方程。对比方程与函数、不等式的联系与区别。探讨方程的解的存在性（有解无解）、唯一性、与函数零点、图像交点的关系。
    • 目标：将方程置于更广阔的“关系与模型”视域下，理解其作为“条件等式”的本体地位，是刻划变量间静态约束关系的数学工具。

第五步：课程评价的侧重点
评价应指向学生是否形成深层理解，而非仅记忆与计算：

  • 解释：能否用自己的话阐述一个数学对象的本质及其来由？
  • 表征转换：能否在不同表征间自如转换并说明其一致性？
  • 论证：能否为一个数学对象为何具有某种性质提供基于定义的推理？
  • 关联：能否在新情境中识别已知数学对象，或建立不同对象间的联系？
  • 反思：能否对数学对象的存在方式、定义合理性提出有意义的疑问或见解？

总之，数学课程设计中的数学对象本体性理解教学，旨在引导学生超越表面，深入数学概念的“内核”，建立起对数学世界基本构成单元的坚实而深刻的认识，这是发展高层次数学思维和进行有意义数学探究的基石。

数学课程设计中的数学对象本体性理解教学 数学对象本体性理解，指学习者对数学对象（如数、运算、函数、图形）的“是什么”和“何以是”形成深层、稳定且融贯的认识。它超越了记忆定义和操作程序，触及数学对象的本质属性、存在方式及其在数学体系中的结构性地位。接下来，我将为你循序渐进地展开这一词条的详细知识。 第一步：厘清“数学对象本体性理解”的核心内涵 首先，你需要明确“本体性”在此处的含义。它源于哲学，指对事物存在本质的探究。在数学学习中，这意味着引导学生思考： 存在性 ：这个数学对象是“如何而来”或“何以存在”的？是直接规定的（如自然数1），还是为了解决问题构造出来的（如负数、无理数）？ 本质属性 ：这个对象的定义中，哪些性质是它最核心、不可分割的？例如，函数的本质是“对应关系”而非仅仅是表达式或图像。 同一性 ：判断两个数学表达式或表征是否指向“同一个”对象的依据是什么？例如，分数1/2、小数0.5、百分数50%为何是同一个数？ 结构性 ：该对象在更广阔的数学结构中扮演什么角色？例如，加法运算在自然数集中是封闭的，但在自然数集中进行减法运算为何会导致数的扩充？ 第二步：分析学生常见的非本体性理解表现（教学起点） 要设计教学，需先识别学生理解上的障碍。常见表现包括： 概念扁平化 ：将概念等同于一个符号或名称。例如，认为“方程”就是含有未知数的等式，而不理解其作为描述数量关系的数学模型这一本质。 程序优先 ：过度关注操作步骤而忽略对象意义。例如，熟练进行分式运算，却不清楚分式作为“数”的扩充以及作为“表示两个整式之商”的代数式这双重身份。 表征混淆 ：将对象的某一种表征（如几何图形、代数式）当作对象本身。例如，认为“三角形”就是画在纸上的那个图形，而非抽象出的由三条线段首尾相连构成的封闭平面图形这一概念。 关系割裂 ：看不到不同数学对象之间的内在联系。例如，将算术与代数视为完全不同的领域，看不到代数是对算术运算及其关系的符号化与一般化。 第三步：设计促进本体性理解的教学原则与策略 课程设计应围绕以下核心原则展开： 发生学原理 ：追溯关键数学对象的历史发生过程或逻辑建构过程。例如，通过“度量不可公度线段”的问题引出无理数，让学生体会其产生的必然性。 多表征关联与转换 ：系统设计实物、图形、符号、语言、情境等多种表征，并引导学生在不同表征间进行有意义的转换和互译。例如，函数概念教学需串联列表、解析式、图像、文字描述，并探讨其一致性。 变式与辨析 ：设计 概念变式 （如呈现函数的不同例子：解析式、图像、表格、描述）以突出本质属性；设计 非概念变式 （反例）以明确概念边界。例如，让学生判断各种关系是否为函数，并说明理由。 公理化与结构化 ：在适当阶段（如中学高年级），引导学生将零散知识组织成以基本概念和公理为起点的逻辑体系。例如，从自然数系的皮亚诺公理出发，理解数系的逐步扩充是如何通过定义运算和构造新集合实现的。 哲学性提问与讨论 ：提出引发深层思考的问题，如：“0是偶数吗？为什么？”“1为什么不是质数？”“图形旋转后还是同一个图形吗？”“无穷集合怎么比较大小？”通过讨论，澄清对象的本质。 第四步：规划具体教学阶段与活动示例（以“方程”为例） 阶段一：感知与初建（小学高年级） 活动 ：通过天平平衡、等量代换等具体情境，体验“相等关系”的核心地位。初步建立“未知数可以参与运算并表示特定数量”的观念。 目标 ：理解方程是表达“未知量与已知量之间确定性相等关系”的模型。 阶段二：深化与形式化（初中） 活动 ：系统学习一元一次方程。重点教学从“算术思维”（求未知数）到“代数思维”（对等式进行操作以揭示未知数）的转变。通过解法的多样化（如等式性质、移项）讨论“方程的同解变形”这一保持方程“本体”（解集）不变的操作原理。 目标 ：理解方程的解是使等式成立的未知数的值，解方程的本质是寻找所有解，变形过程需保持解的集合不变。 阶段三：系统化与本体反思（高中） 活动 ：学习方程组、不等式、函数方程。对比方程与函数、不等式的联系与区别。探讨方程的解的存在性（有解无解）、唯一性、与函数零点、图像交点的关系。 目标 ：将方程置于更广阔的“关系与模型”视域下，理解其作为“条件等式”的本体地位，是刻划变量间静态约束关系的数学工具。 第五步：课程评价的侧重点 评价应指向学生是否形成深层理解，而非仅记忆与计算： 解释 ：能否用自己的话阐述一个数学对象的本质及其来由？ 表征转换 ：能否在不同表征间自如转换并说明其一致性？ 论证 ：能否为一个数学对象为何具有某种性质提供基于定义的推理？ 关联 ：能否在新情境中识别已知数学对象，或建立不同对象间的联系？ 反思 ：能否对数学对象的存在方式、定义合理性提出有意义的疑问或见解？ 总之， 数学课程设计中的数学对象本体性理解教学 ，旨在引导学生超越表面，深入数学概念的“内核”，建立起对数学世界基本构成单元的坚实而深刻的认识，这是发展高层次数学思维和进行有意义数学探究的基石。