模的余根基（Cosocle）
字数 3458 2025-12-20 15:54:21

模的余根基（Cosocle）

好的，我们接下来讲解模的“余根基”。我会从最基础的概念开始，逐步深入，确保每一步都清晰易懂。

第一步：从根基的回顾和对偶思想开始

我们已经知道，对于一个模（比如环R上的左模M），其根基是指它的所有极大子模的交集，记作 \(\text{Rad}(M)\)。根基可以被看作是模中“不必要”的部分，商掉根基后得到的模是“更简洁”的。

在数学中，一个重要的思维方式是“对偶性”。与“子模的交”对偶的概念是“子模的和”。与“极大子模”对偶的概念是“单子模”（即没有非平凡真子模的模，也叫不可约模）。那么，很自然地，我们可以考虑一个模M的所有单子模的和。这个构造就是“余根基”。

第二步：余根基的精确定义

设 \(M\) 是一个环 \(R\) 上的左模。

  1. 单子模：首先，我们要明确什么是单子模。模 \(S\) 是单模，如果 \(S \neq 0\)，并且 \(S\) 只有两个子模：零子模和它自身。换句话说，单模是不可分解的、最基本的非零模。

  2. 余根基的定义：模 \(M\) 的余根基，记作 \(\text{Cosoc}(M)\) 或 \(\text{Soc}(M)\)（注意：在文献中，它更多被称为基座，英文是Socle，但为了强调与根基Radical的对偶性，我们这里先使用“余根基”这个名称，但之后会统一到通用术语“基座”），是所有包含在 \(M\) 中的单子模的和。

  • 用符号表示：\(\text{Soc}(M) = \sum \{ S \subseteq M \mid S \text{ 是单子模} \}\)
  • 如果没有单子模包含在 \(M\) 中，我们规定 \(\text{Soc}(M) = 0\)。

第三步：余根基（基座）的核心性质

理解了定义后，我们来看看它的一些基本且重要的性质。

  1. 半单性：基座 \(\text{Soc}(M)\) 本身是一个半单模。这意味着它可以写成一些单子模的直和。也就是说，存在一个单子模的集合 \(\{S_i\}\)（可能是有限的，也可能是无限的），使得 \(\text{Soc}(M) = \bigoplus_i S_i\)。这与根基通常不是半单的不同。

  2. 包含关系：基座是 \(M\) 中所有半单子模的和，并且它包含 \(M\) 的每一个半单子模。因此，基座是 \(M\) 中最大的半单子模。

  3. 对偶于根基：

  • \(\text{Rad}(M)\) 是“从顶部”刻画模，因为它被定义为所有极大子模的交。商模 \(M / \text{Rad}(M)\) 通常更简单（例如，对于有限生成模，它是一个半单模）。
  • \(\text{Soc}(M)\) 是“从底部”刻画模，因为它被定义为所有单子模的和。它是模中最“基本”、最“核心”的不可再分解部分的直和。
  1. 与零化子的关系：基座可以通过零化子理想来描述。设 \(R\) 是一个环，\(M\) 是一个左 \(R\)-模。那么 \(\text{Soc}(M)\) 等于所有满足 \(\text{Ann}_R(x)\) 是 \(R\) 的左极大理想 的元素 \(x \in M\) 生成的子模。这里 \(\text{Ann}_R(x) = \{ r \in R \mid rx = 0 \}\) 是 \(x\) 的零化子。这个性质是判断一个元素是否在基座中的有用工具。

第四步：计算与例子

让我们通过具体例子来巩固理解。

例1：域上的向量空间。
设 \(R = F\) 是一个域，\(M = V\) 是一个 \(F\)-向量空间。由于域上的单模就是1维向量空间 \(F\)，而向量空间 \(V\) 的任何一个1维子空间都是单子模。所有这些1维子空间的和就是整个空间 \(V\)。因此，\(\text{Soc}(V) = V\)。这也印证了向量空间是半单模。

例2：整数模 \(\mathbb{Z}\)-模，即阿贝尔群。

  • 考虑模 \(M = \mathbb{Z}\)（整数加法群）。\(\mathbb{Z}\) 有单子模吗？没有，因为 \(\mathbb{Z}\) 的任何非零子模（如 \(2\mathbb{Z}\)）本身都有真子模。所以 \(\text{Soc}(\mathbb{Z}) = 0\)。
  • 考虑模 \(M = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)，其中 \(p\) 是素数。这是一个单 \(\mathbb{Z}\)-模，因为它没有非平凡子群。所以 \(\text{Soc}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)。
  • 考虑模 \(M = \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\)。它有一个单子模 \(p\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\)，它与 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 同构。没有其他单子模。所以 \(\text{Soc}(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}) = p\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\)。

例3：矩阵环上的模。
设 \(R\) 是除环 \(D\) 上所有 \(n \times n\) 矩阵的环，\(M = D^n\) 是列向量组成的左 \(R\)-模（矩阵左乘列向量）。可以证明，\(M\) 是一个单模。那么它的基座就是它自身：\(\text{Soc}(M) = M\)。

第五步：更深层的理论与应用

掌握了基座的基本概念和计算后，我们可以了解它在更广阔理论中的作用。

  1. 本原幂等元与基座：对于一个代数（或环），本原幂等元与单模、基座有紧密联系。一个幂等元 \(e\) 称为本原的，如果它不能写成两个正交非零幂等元的和。此时，左模 \(Re\) 是不可分解投射模。所有这些左模 \(Re\) （对于本原幂等元 \(e\)）的和，构成了正则左模 \(_R R\) 的基座。这在研究环的结构和表示时至关重要。

  2. 内射包与基座的关系：对于一个模 \(M\)，其内射包 \(E(M)\) 是最小的内射模，包含 \(M\) 作为本质子模。有趣的是，模 \(M\) 的基座 \(\text{Soc}(M)\) 同构于其内射包 \(E(M)\) 的基座。这体现了基座是模的“内射核心”的一部分。

  3. Artin模的基座：对于一个Artin模（满足降链条件的模），它的基座扮演了更重要的角色。对于Artin模 \(M\)，其基座 \(\text{Soc}(M)\) 是本质的。这意味着，对 \(M\) 的任何一个非零子模 \(N\)，都有 \(N \cap \text{Soc}(M) \neq 0\)。这是Artin模区别于Noether模的一个关键性质。

  4. 在表示论中的应用：在有限维代数（特别是群代数）的表示论中，基座是分析模结构的基本工具。例如，一个不可分解模的基座和顶（top，定义为 \(M / \text{Rad}(M)\)）都是半单的。通过研究这两个半单模的结构以及它们如何被“连接”起来，可以获得关于模结构的丰富信息。Auslander-Reiten理论中也常常涉及对基座的分析。

  5. 对偶函子下的行为：如果我们有一个“好”的对偶函子 \(D\)（例如，在有限维代数上，对偶向量空间），那么基座和根基通常满足某种对偶关系，例如 \(D(\text{Soc}(M)) \cong (D(M) / \text{Rad}(D(M)))\)，反之亦然。这精确地体现了“余根基”与“根基”作为对偶概念的本质。

总结一下：模的余根基（更常见的术语是“基座” \(\text{Soc}(M)\)）是模中所有单子模的和，它是模中最大的半单子模。它与根基（Radical）形成对偶，为我们从“底部”分析模的结构提供了一个强有力的工具。它在内射包理论、Artin模理论、环的结构理论和表示论中都有核心应用。理解基座，是深入理解模的精细结构不可或缺的一步。

模的余根基（Cosocle） 好的，我们接下来讲解模的“余根基”。我会从最基础的概念开始，逐步深入，确保每一步都清晰易懂。 第一步：从根基的回顾和对偶思想开始 我们已经知道，对于一个模（比如环R上的左模M），其 根基 是指它的所有极大子模的交集，记作 \( \text{Rad}(M) \)。根基可以被看作是模中“不必要”的部分，商掉根基后得到的模是“更简洁”的。 在数学中，一个重要的思维方式是“对偶性”。与“子模的交”对偶的概念是“子模的和”。与“极大子模”对偶的概念是“单子模”（即没有非平凡真子模的模，也叫不可约模）。那么，很自然地，我们可以考虑一个模M的所有单子模的和。这个构造就是“余根基”。 第二步：余根基的精确定义 设 \( M \) 是一个环 \( R \) 上的左模。 单子模 ：首先，我们要明确什么是单子模。模 \( S \) 是 单模 ，如果 \( S \neq 0 \)，并且 \( S \) 只有两个子模：零子模和它自身。换句话说，单模是不可分解的、最基本的非零模。 余根基的定义 ：模 \( M \) 的 余根基 ，记作 \( \text{Cosoc}(M) \) 或 \( \text{Soc}(M) \)（注意：在文献中，它更多被称为 基座 ，英文是Socle，但为了强调与根基Radical的对偶性，我们这里先使用“余根基”这个名称，但之后会统一到通用术语“基座”），是所有包含在 \( M \) 中的单子模的和。 用符号表示：\( \text{Soc}(M) = \sum \{ S \subseteq M \mid S \text{ 是单子模} \} \) 如果没有单子模包含在 \( M \) 中，我们规定 \( \text{Soc}(M) = 0 \)。 第三步：余根基（基座）的核心性质 理解了定义后，我们来看看它的一些基本且重要的性质。 半单性 ：基座 \( \text{Soc}(M) \) 本身是一个 半单模 。这意味着它可以写成一些单子模的 直和 。也就是说，存在一个单子模的集合 \( \{S_ i\} \)（可能是有限的，也可能是无限的），使得 \( \text{Soc}(M) = \bigoplus_ i S_ i \)。这与根基通常不是半单的不同。 包含关系 ：基座是 \( M \) 中 所有 半单子模的和，并且它包含 \( M \) 的 每一个 半单子模。因此，基座是 \( M \) 中 最大的 半单子模。 对偶于根基 ： \( \text{Rad}(M) \) 是“从顶部”刻画模，因为它被定义为所有极大子模的交。商模 \( M / \text{Rad}(M) \) 通常更简单（例如，对于有限生成模，它是一个半单模）。 \( \text{Soc}(M) \) 是“从底部”刻画模，因为它被定义为所有单子模的和。它是模中最“基本”、最“核心”的不可再分解部分的直和。 与零化子的关系 ：基座可以通过零化子理想来描述。设 \( R \) 是一个环，\( M \) 是一个左 \( R \)-模。那么 \( \text{Soc}(M) \) 等于所有满足 \( \text{Ann}_ R(x) \) 是 \( R \) 的左极大理想 的元素 \( x \in M \) 生成的子模。这里 \( \text{Ann}_ R(x) = \{ r \in R \mid rx = 0 \} \) 是 \( x \) 的零化子。这个性质是判断一个元素是否在基座中的有用工具。 第四步：计算与例子 让我们通过具体例子来巩固理解。 例1：域上的向量空间 。 设 \( R = F \) 是一个域，\( M = V \) 是一个 \( F \)-向量空间。由于域上的单模就是1维向量空间 \( F \)，而向量空间 \( V \) 的任何一个1维子空间都是单子模。所有这些1维子空间的和就是整个空间 \( V \)。因此， \( \text{Soc}(V) = V \) 。这也印证了向量空间是半单模。 例2：整数模 \( \mathbb{Z} \)-模，即阿贝尔群 。 考虑模 \( M = \mathbb{Z} \)（整数加法群）。\( \mathbb{Z} \) 有单子模吗？没有，因为 \( \mathbb{Z} \) 的任何非零子模（如 \( 2\mathbb{Z} \)）本身都有真子模。所以 \( \text{Soc}(\mathbb{Z}) = 0 \)。 考虑模 \( M = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \)，其中 \( p \) 是素数。这是一个单 \( \mathbb{Z} \)-模，因为它没有非平凡子群。所以 \( \text{Soc}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \)。 考虑模 \( M = \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \)。它有一个单子模 \( p\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \)，它与 \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) 同构。没有其他单子模。所以 \( \text{Soc}(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}) = p\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \)。 例3：矩阵环上的模 。 设 \( R \) 是除环 \( D \) 上所有 \( n \times n \) 矩阵的环，\( M = D^n \) 是列向量组成的左 \( R \)-模（矩阵左乘列向量）。可以证明，\( M \) 是一个单模。那么它的基座就是它自身：\( \text{Soc}(M) = M \)。 第五步：更深层的理论与应用 掌握了基座的基本概念和计算后，我们可以了解它在更广阔理论中的作用。 本原幂等元与基座 ：对于一个代数（或环），本原幂等元与单模、基座有紧密联系。一个幂等元 \( e \) 称为本原的，如果它不能写成两个正交非零幂等元的和。此时，左模 \( Re \) 是 不可分解投射模 。所有这些左模 \( Re \) （对于本原幂等元 \( e \)）的和，构成了正则左模 \( _ R R \) 的基座。这在研究环的结构和表示时至关重要。 内射包与基座的关系 ：对于一个模 \( M \)，其 内射包 \( E(M) \) 是最小的内射模，包含 \( M \) 作为本质子模。有趣的是，模 \( M \) 的基座 \( \text{Soc}(M) \) 同构于其内射包 \( E(M) \) 的基座。这体现了基座是模的“内射核心”的一部分。 Artin模的基座 ：对于一个 Artin模 （满足降链条件的模），它的基座扮演了更重要的角色。对于Artin模 \( M \)，其基座 \( \text{Soc}(M) \) 是 本质的 。这意味着，对 \( M \) 的任何一个非零子模 \( N \)，都有 \( N \cap \text{Soc}(M) \neq 0 \)。这是Artin模区别于Noether模的一个关键性质。 在表示论中的应用 ：在有限维代数（特别是群代数）的表示论中，基座是分析模结构的基本工具。例如，一个不可分解模的基座和顶（top，定义为 \( M / \text{Rad}(M) \)）都是半单的。通过研究这两个半单模的结构以及它们如何被“连接”起来，可以获得关于模结构的丰富信息。Auslander-Reiten理论中也常常涉及对基座的分析。 对偶函子下的行为 ：如果我们有一个“好”的对偶函子 \( D \)（例如，在有限维代数上，对偶向量空间），那么基座和根基通常满足某种对偶关系，例如 \( D(\text{Soc}(M)) \cong (D(M) / \text{Rad}(D(M))) \)，反之亦然。这精确地体现了“余根基”与“根基”作为对偶概念的本质。 总结一下 ：模的余根基（更常见的术语是“基座” \( \text{Soc}(M) \)）是模中所有单子模的和，它是模中最大的半单子模。它与根基（Radical）形成对偶，为我们从“底部”分析模的结构提供了一个强有力的工具。它在内射包理论、Artin模理论、环的结构理论和表示论中都有核心应用。理解基座，是深入理解模的精细结构不可或缺的一步。