模的张量积的导出函子：Tor
字数 4951 2025-12-20 14:14:30

模的张量积的导出函子：Tor

好的，我们这次来探讨模论中的一个核心且基本的同调概念。我会从你已经熟悉的“模的张量积”和“模的正合序列”出发，循序渐进地为你构建其导出函子的完整图像。

第一步：从张量积的已知特性出发

首先，我们回顾你已经知道的“模的张量积”。给定一个环 \(R\)，对于一个右 \(R\)-模 \(M\) 和一个左 \(R\)-模 \(N\)，我们可以构造它们的张量积 \(M \otimes_R N\)，这是一个阿贝尔群。

  • 关键性质：张量积函子 \(M \otimes_R - \)（将左 \(R\)-模 \(N\) 映到 \(M \otimes_R N\)）是一个右正合函子。这意味着，如果一个左 \(R\)-模的正合序列：

\[0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 \]

被张量积作用（即与 \(M\) 作张量积），我们得到的是一个右正合的序列：

\[M \otimes_R A \xrightarrow{1_M \otimes f} M \otimes_R B \xrightarrow{1_M \otimes g} M \otimes_R C \to 0 \]

注意：最左边的映射 \(1_M \otimes f\) 不一定是单射，所以得到的序列在 \(M \otimes_R A\) 处不一定正合。我们说函子 \(M \otimes_R -\) 是“右正合”但不是“左正合”的。类似地，函子 \(- \otimes_R N\) 也是右正合的。

第二步：正合性的缺失与“障碍”的度量

“左正合性”的缺失意味着，即使原始序列中 \(f: A \to B\) 是单射，在张量之后 \(1_M \otimes f\) 的核（即使得元素被映为零元的那些元素）可能非零。这个“核”衡量了从原始正合序列到张量后序列的“误差”或“障碍”。

  • 核心问题：我们如何系统地研究和度量这个“障碍”？具体来说，对于给定的模 \(M\) 和 \(N\)，以及一个单同态 \(A \hookrightarrow B\)，我们如何描述 \(M \otimes_R A \to M \otimes_R B\) 的核？
  • 同调代数的思路：这种“障碍”通常由函子的“导出函子”来捕捉。对于右正合函子（如张量积），其左导出函子的作用就是“从左修补”这个缺失的正合性，并量化函子“不保持单射”的程度。

第三步：引入投射分解——构造导出函子的工具

为了构造左导出函子，我们需要一个工具来“逼近”我们所研究的模，这个工具就是“投射分解”（你已知“模的投射分解”的概念）。

  • 投射分解定义回顾：对于一个左 \(R\)-模 \(N\)，它的一个投射分解是一列投射模 \(P_i\) 和同态 \(d_i\) 构成的正合序列：

\[ \cdots \xrightarrow{d_3} P_2 \xrightarrow{d_2} P_1 \xrightarrow{d_1} P_0 \xrightarrow{\epsilon} N \to 0 \]

其中每个 \(P_i\) 是投射模，\(\epsilon\) 是满射，并且在每一处 \(\text{Ker} \, d_i = \text{Im} \, d_{i+1}\)，特别地有 \(\text{Ker} \, \epsilon = \text{Im} \, d_1\)。

  • 核心思想：我们用这个由“好”模（投射模）构成的长序列来“分解”或“替换”模 \(N\)，以便在应用函子后更容易分析。

第四步：构造 Tor 函子

现在，我们将张量积函子 \(M \otimes_R -\) 作用于模 \(N\) 的一个投射分解上，但去掉 \(N\) 本身（即只对 \(P_\bullet: \cdots \to P_2 \to P_1 \to P_0\) 这一部分进行张量积）。

  1. 应用张量积：对左 \(R\)-模的复形 \(P_\bullet\) 应用 \(M \otimes_R - \)，我们得到一个阿贝尔群的复形：

\[ M \otimes_R P_\bullet: \cdots \to M \otimes_R P_2 \xrightarrow{1 \otimes d_2} M \otimes_R P_1 \xrightarrow{1 \otimes d_1} M \otimes_R P_0 \to 0 \to \cdots \]

  1. 取同调：对这个新复形取同调群。即，考虑这个复形在每一阶的“循环（闭链）”模去“边缘（恰当链）”。
  • 在第 \(n\) 阶（\(n \ge 0\)），我们定义：

\[ \text{Tor}_n^R(M, N) := H_n(M \otimes_R P_\bullet) = \frac{\text{Ker}(1_M \otimes d_n)}{\text{Im}(1_M \otimes d_{n+1})} \]

这里我们约定 \(d_0: P_0 \to 0\)，所以 \(\text{Ker}(1_M \otimes d_0) = M \otimes_R P_0\)。

  • 特别地，\(\text{Tor}_0^R(M, N) = \frac{M \otimes_R P_0}{\text{Im}(1_M \otimes d_1)}\)。由于 \(P_\bullet\) 是 \(N\) 的投射分解，可以证明这个商同构于 \(M \otimes_R N\)。这符合“零阶导出函子就是原函子本身”的期望。

第五步：Tor 函子的性质与直观理解

  1. 良定性：尽管定义依赖于投射分解 \(P_\bullet\) 的选择，但可以证明（通过比较同伦等价的分解）所得到的同调模 \(\text{Tor}_n^R(M, N)\) 在同构意义下是唯一确定的，与分解的选取无关。因此，\(\text{Tor}_n^R\) 是定义好的函子。
  2. 平衡性：我们也可以用 \(N\) 的投射分解来计算 \(\text{Tor}\)，也可以用 \(M\) 的平坦分解（你已知“模的平坦模”和“模的平坦性”）来计算，而且结果是一样的。事实上，更常见的是用其中一个变元的平坦分解来计算。这体现了它的对称性：\(\text{Tor}_n^R(M, N) \cong \text{Tor}_n^R(N, M)\)（在适当的意义下）。
  3. 同调维数：如果 \(N\) 是平坦模（你已知“模的平坦模”），那么存在一个平坦分解 \(0 \to F_1 \to F_0 \to N \to 0\)。应用 \(M \otimes_R -\) 后得到一个正合复形，所以当 \(n \ge 1\) 时，\(\text{Tor}_n^R(M, N) = 0\)。反之，如果对所有 \(M\) 都有 \(\text{Tor}_1^R(M, N)=0\)，则 \(N\) 是平坦的。因此，\(\text{Tor}_1\) 衡量了 \(N\) 偏离平坦性的程度。
  4. 长正合序列：因为 \(\text{Tor}\) 是导出函子，它最重要的性质是能将短正合序列“拉长”。对于左 \(R\)-模的短正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\)，存在一个自然的长正合序列：

\[ \cdots \to \text{Tor}_2^R(M, C) \to \text{Tor}_1^R(M, A) \to \text{Tor}_1^R(M, B) \to \text{Tor}_1^R(M, C) \to M \otimes_R A \to M \otimes_R B \to M \otimes_R C \to 0 \]

这个序列精确地连接了张量积后的“断裂”部分（由 \(\text{Tor}_1\) 描述）以及更高阶的障碍（由 \(\text{Tor}_{n\ge 2}\) 描述）。

第六步：一个具体的计算例子

考虑环 \(R = \mathbb{Z}\)。设 \(M = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)， \(N = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。

  1. 为 \(N\) 找一个投射分解：在 \(\mathbb{Z}\)-模（即阿贝尔群）范畴中，自由模是投射的。一个简单的分解是：

\[ 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z} \xrightarrow{\epsilon} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0 \]

其中 \(\epsilon\) 是模 2 的投影，\(\times 2\) 是乘以 2 的映射。这是一个自由（从而投射）分解。
2. 去掉 \(N\)，与 \(M\) 作张量积：

\[ 0 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \xrightarrow{1 \otimes (\times 2)} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \to 0 \]

计算：\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。映射 \(1 \otimes (\times 2)\) 在张量后变为“乘以 2”在 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 上的作用，即在 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 上乘以 2 等于乘以 0（因为 2 ≡ 0 mod 2）。所以这实际上是一个零映射。
3. 取同调：

  • \(\text{Tor}_1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \frac{\text{Ker}(零映射)}{\text{Im}(来自左边的映射，但左边是0)} = \frac{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}{0} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。
  • \(\text{Tor}_0^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。
  • 当 \(n \ge 2\) 时，\(\text{Tor}_n^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = 0\)，因为我们的分解只有两项非零。
    这个非零的 \(\text{Tor}_1\) 反映了 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 不是平坦 \(\mathbb{Z}\)-模，并且量化了用 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 作张量积时对正合性的“破坏”。

总结

Tor 函子 是张量积函子的左导出函子，它系统而深刻地刻画了张量积操作不保持左正合性（即不保持单射）这一缺陷。其值 \(\text{Tor}_n^R(M, N)\) 包含了关于模 \(M\) 和 \(N\) 的结构信息，特别是与它们的平坦性、挠性以及环 \(R\) 的整体性质（如整体维数，你已知“环的整体维数”）密切相关。它是连接同调代数与交换代数、代数几何等领域的重要计算工具和理论桥梁。

模的张量积的导出函子：Tor 好的，我们这次来探讨模论中的一个核心且基本的同调概念。我会从你已经熟悉的“模的张量积”和“模的正合序列”出发，循序渐进地为你构建其导出函子的完整图像。 第一步：从张量积的已知特性出发 首先，我们回顾你已经知道的“模的张量积”。给定一个环 \(R\)，对于一个右 \(R\)-模 \(M\) 和一个左 \(R\)-模 \(N\)，我们可以构造它们的张量积 \(M \otimes_ R N\)，这是一个阿贝尔群。 关键性质：张量积函子 \(M \otimes_ R - \)（将左 \(R\)-模 \(N\) 映到 \(M \otimes_ R N\)）是一个 右正合函子 。这意味着，如果一个左 \(R\)-模的正合序列： \[0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0\] 被张量积作用（即与 \(M\) 作张量积），我们得到的是一个右正合的序列： \[M \otimes_ R A \xrightarrow{1_ M \otimes f} M \otimes_ R B \xrightarrow{1_ M \otimes g} M \otimes_ R C \to 0\] 注意 ：最左边的映射 \(1_ M \otimes f\) 不一定是单射，所以得到的序列在 \(M \otimes_ R A\) 处不一定正合。我们说函子 \(M \otimes_ R -\) 是“右正合”但不是“左正合”的。类似地，函子 \(- \otimes_ R N\) 也是右正合的。 第二步：正合性的缺失与“障碍”的度量 “左正合性”的缺失意味着，即使原始序列中 \(f: A \to B\) 是单射，在张量之后 \(1_ M \otimes f\) 的核（即使得元素被映为零元的那些元素）可能非零。这个“核”衡量了从原始正合序列到张量后序列的“误差”或“障碍”。 核心问题 ：我们如何系统地研究和度量这个“障碍”？具体来说，对于给定的模 \(M\) 和 \(N\)，以及一个单同态 \(A \hookrightarrow B\)，我们如何描述 \(M \otimes_ R A \to M \otimes_ R B\) 的核？ 同调代数的思路 ：这种“障碍”通常由函子的“导出函子”来捕捉。对于右正合函子（如张量积），其 左导出函子 的作用就是“从左修补”这个缺失的正合性，并量化函子“不保持单射”的程度。 第三步：引入投射分解——构造导出函子的工具 为了构造左导出函子，我们需要一个工具来“逼近”我们所研究的模，这个工具就是“投射分解”（你已知“模的投射分解”的概念）。 投射分解定义回顾 ：对于一个左 \(R\)-模 \(N\)，它的一个投射分解是一列投射模 \(P_ i\) 和同态 \(d_ i\) 构成的正合序列： \[ \cdots \xrightarrow{d_ 3} P_ 2 \xrightarrow{d_ 2} P_ 1 \xrightarrow{d_ 1} P_ 0 \xrightarrow{\epsilon} N \to 0\] 其中每个 \(P_ i\) 是投射模，\(\epsilon\) 是满射，并且在每一处 \(\text{Ker} \, d_ i = \text{Im} \, d_ {i+1}\)，特别地有 \(\text{Ker} \, \epsilon = \text{Im} \, d_ 1\)。 核心思想 ：我们用这个由“好”模（投射模）构成的长序列来“分解”或“替换”模 \(N\)，以便在应用函子后更容易分析。 第四步：构造 Tor 函子 现在，我们将张量积函子 \(M \otimes_ R -\) 作用于模 \(N\) 的一个投射分解上，但 去掉 \(N\) 本身 （即只对 \(P_ \bullet: \cdots \to P_ 2 \to P_ 1 \to P_ 0\) 这一部分进行张量积）。 应用张量积 ：对左 \(R\)-模的复形 \(P_ \bullet\) 应用 \(M \otimes_ R - \)，我们得到一个阿贝尔群的复形： \[ M \otimes_ R P_ \bullet: \cdots \to M \otimes_ R P_ 2 \xrightarrow{1 \otimes d_ 2} M \otimes_ R P_ 1 \xrightarrow{1 \otimes d_ 1} M \otimes_ R P_ 0 \to 0 \to \cdots\] 取同调 ：对这个新复形取同调群。即，考虑这个复形在每一阶的“循环（闭链）”模去“边缘（恰当链）”。 在第 \(n\) 阶（\(n \ge 0\)），我们定义： \[ \text{Tor} n^R(M, N) := H_ n(M \otimes_ R P \bullet) = \frac{\text{Ker}(1_ M \otimes d_ n)}{\text{Im}(1_ M \otimes d_ {n+1})}\] 这里我们约定 \(d_ 0: P_ 0 \to 0\)，所以 \(\text{Ker}(1_ M \otimes d_ 0) = M \otimes_ R P_ 0\)。 特别地，\(\text{Tor} 0^R(M, N) = \frac{M \otimes_ R P_ 0}{\text{Im}(1_ M \otimes d_ 1)}\)。由于 \(P \bullet\) 是 \(N\) 的投射分解，可以证明这个商同构于 \(M \otimes_ R N\)。这符合“零阶导出函子就是原函子本身”的期望。 第五步：Tor 函子的性质与直观理解 良定性 ：尽管定义依赖于投射分解 \(P_ \bullet\) 的选择，但可以证明（通过比较同伦等价的分解）所得到的同调模 \(\text{Tor}_ n^R(M, N)\) 在同构意义下是唯一确定的，与分解的选取无关。因此，\(\text{Tor}_ n^R\) 是定义好的函子。 平衡性 ：我们也可以用 \(N\) 的投射分解来计算 \(\text{Tor}\)，也可以用 \(M\) 的平坦分解（你已知“模的平坦模”和“模的平坦性”）来计算，而且结果是一样的。事实上，更常见的是用其中一个变元的平坦分解来计算。这体现了它的对称性：\(\text{Tor}_ n^R(M, N) \cong \text{Tor}_ n^R(N, M)\)（在适当的意义下）。 同调维数 ：如果 \(N\) 是 平坦模 （你已知“模的平坦模”），那么存在一个平坦分解 \(0 \to F_ 1 \to F_ 0 \to N \to 0\)。应用 \(M \otimes_ R -\) 后得到一个正合复形，所以当 \(n \ge 1\) 时，\(\text{Tor}_ n^R(M, N) = 0\)。反之，如果对所有 \(M\) 都有 \(\text{Tor}_ 1^R(M, N)=0\)，则 \(N\) 是平坦的。因此，\(\text{Tor}_ 1\) 衡量了 \(N\) 偏离平坦性的程度。 长正合序列 ：因为 \(\text{Tor}\) 是导出函子，它最重要的性质是能将短正合序列“拉长”。对于左 \(R\)-模的短正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\)，存在一个自然的长正合序列： \[ \cdots \to \text{Tor}_ 2^R(M, C) \to \text{Tor}_ 1^R(M, A) \to \text{Tor}_ 1^R(M, B) \to \text{Tor}_ 1^R(M, C) \to M \otimes_ R A \to M \otimes_ R B \to M \otimes_ R C \to 0\] 这个序列精确地连接了张量积后的“断裂”部分（由 \(\text{Tor} 1\) 描述）以及更高阶的障碍（由 \(\text{Tor} {n\ge 2}\) 描述）。 第六步：一个具体的计算例子 考虑环 \(R = \mathbb{Z}\)。设 \(M = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)， \(N = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。 为 \(N\) 找一个投射分解 ：在 \(\mathbb{Z}\)-模（即阿贝尔群）范畴中，自由模是投射的。一个简单的分解是： \[ 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z} \xrightarrow{\epsilon} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0\] 其中 \(\epsilon\) 是模 2 的投影，\(\times 2\) 是乘以 2 的映射。这是一个自由（从而投射）分解。 去掉 \(N\)，与 \(M\) 作张量积 ： \[ 0 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_ {\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \xrightarrow{1 \otimes (\times 2)} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_ {\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \to 0\] 计算：\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_ {\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。映射 \(1 \otimes (\times 2)\) 在张量后变为“乘以 2”在 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 上的作用，即在 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 上乘以 2 等于乘以 0（因为 2 ≡ 0 mod 2）。所以这实际上是一个零映射。 取同调 ： \(\text{Tor}_ 1^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \frac{\text{Ker}(零映射)}{\text{Im}(来自左边的映射，但左边是0)} = \frac{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}{0} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。 \(\text{Tor} 0^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes {\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。 当 \(n \ge 2\) 时，\(\text{Tor}_ n^{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = 0\)，因为我们的分解只有两项非零。 这个非零的 \(\text{Tor}_ 1\) 反映了 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 不是平坦 \(\mathbb{Z}\)-模，并且量化了用 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 作张量积时对正合性的“破坏”。 总结 Tor 函子 是张量积函子的左导出函子，它系统而深刻地刻画了张量积操作不保持左正合性（即不保持单射）这一缺陷。其值 \(\text{Tor}_ n^R(M, N)\) 包含了关于模 \(M\) 和 \(N\) 的结构信息，特别是与它们的平坦性、挠性以及环 \(R\) 的整体性质（如整体维数，你已知“环的整体维数”）密切相关。它是连接同调代数与交换代数、代数几何等领域的重要计算工具和理论桥梁。