分析学词条：有界变差函数
字数 3721 2025-12-20 14:08:34

分析学词条：有界变差函数

好的，我们开始循序渐进地学习“有界变差函数”这一概念。这个概念连接了古典微积分与现代实分析，是研究函数可积性、曲线长度、以及更一般测度理论的重要桥梁。

步骤一：从直观背景出发——曲线长度与函数“振动”

设想一个物理问题：如何计算平面上一条曲线的长度？一个经典的方法是“用折线逼近”。对于一条由函数 \(y = f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上给出的曲线，我们在区间上取一系列分点：

\[a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b \]

然后用这些点对应的曲线上的点连成折线。折线的总长度为：

\[L_p = \sum_{i=1}^{n} \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + (f(x_i) - f(x_{i-1}))^2} \]

如果对于所有可能的分划 \(P\)，这些折线长度 \(L_p\) 构成的集合是有上界的，我们就说这条曲线是可求长的，并且其长度就是所有折线长度的上确界。

现在，我们做一个简化观察。由于 \(\sqrt{(Δx)^2+(Δy)^2} \ge |Δy|\)，为了确保折线长度总和有上界，一个必要但不充分的条件是：函数值变化量的绝对值之和必须有上界。也就是说，表达式

\[\sum_{i=1}^{n} |f(x_i) - f(x_{i-1})| \]

对区间的所有可能分划都应有一个统一的上界。这个“总变化量”的直观想法，就直接引出了“有界变差”的定义。

步骤二：正式定义与基本例子

定义（全变差与有界变差函数）：
设 \(f\) 是定义在闭区间 \([a, b]\) 上的实值函数。

  1. 对区间的一个分划 \(P: a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b\)，定义

\[ V_a^b(f, P) = \sum_{i=1}^{n} |f(x_i) - f(x_{i-1})|. \]

这个值称为函数 \(f\) 在分划 \(P\) 下的变差。
2. 定义 \(f\) 在 \([a, b]\) 上的全变差为：

\[ TV_a^b(f) = \sup_{P} V_a^b(f, P) \]

其中上确界取遍 \([a, b]\) 的所有可能分划 \(P\)。
3. 如果 \(TV_a^b(f) < +\infty\)，我们就称 \(f\) 是 \([a, b]\) 上的有界变差函数。所有这类函数的集合记作 \(BV([a, b])\)。

直观理解：全变差 \(TV_a^b(f)\) 衡量了函数 \(f\) 在区间 \([a, b]\) 上“上下起伏”的总幅度。如果这个总幅度是有限的，函数就不能无限次地剧烈振荡。

基本例子：

  1. 单调函数：如果 \(f\) 在 \([a, b]\) 上单调递增（或递减），那么对任意分划，有

\[ \sum |f(x_i)-f(x_{i-1})| = |f(b)-f(a)|. \]

因此 \(TV_a^b(f) = |f(b)-f(a)| < \infty\)，所以任何单调函数都是有界变差的。
2. 利普希茨连续函数：如果存在常数 \(L\) 使得 \(|f(x)-f(y)| \le L|x-y|\)，那么

\[ \sum |f(x_i)-f(x_{i-1})| \le L \sum (x_i - x_{i-1}) = L(b-a). \]

因此利普希茨函数也是有界变差的。
3. 反例（无限振荡）：在 \([0,1]\) 上考虑

\[ f(x) = \begin{cases} x \sin(1/x), & x \in (0, 1] \\ 0, & x = 0 \end{cases} \]

这个函数是连续的，但在0附近无限次振荡。可以证明，其全变差是无穷大，因此它不是有界变差函数。另一个经典反例是 \([0,1]\) 上的函数 \(\sin(1/x)\)（在0点补充定义任意值）。

步骤三：关键性质与结构定理

有界变差函数类 \(BV([a,b])\) 具有非常好的代数结构和分析性质：

  1. 向量空间：\(BV([a,b])\) 是一个向量空间。即，如果有界变差函数 \(f, g \in BV\)，且 \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\)，则 \(\alpha f + \beta g \in BV\)。并且全变差满足三角不等式：\(TV(\alpha f + \beta g) \le |\alpha|TV(f) + |\beta|TV(g)\)。

  2. 有界性：任何有界变差函数必定是有界的。因为对于任意 \(x \in [a, b]\)，考虑分划 \(a, x, b\)，有：

\[ |f(x)-f(a)| + |f(b)-f(x)| \le TV_a^b(f). \]

所以 \(|f(x)| \le |f(a)| + TV_a^b(f)\)。

  1. 最重要的结构定理（若尔当分解定理）：
    这是有界变差函数理论的核心结果。它指出：

    函数 \(f\) 是 \([a, b]\) 上的有界变差函数，当且仅当 \(f\) 可以表示为两个单调递增函数的差。

    即，存在单调递增函数 \(g\) 和 \(h\)，使得 \(f = g - h\)。

    构造性证明思路：

    • 对于给定的 \(f \in BV([a,b])\)，定义它的变差函数 \(V(x) = TV_a^x(f)\)，即从 \(a\) 到 \(x\) 的全变差。可以证明 \(V(x)\) 是单调递增的。
    • 进一步，可以证明 \(V(x) - f(x)\) 也是单调递增的。
    • 于是，我们得到了分解：

\[ f(x) = V(x) - [V(x) - f(x)], \]

其中 \(V(x)\) 和 \(V(x)-f(x)\) 都是单调递增函数。

这个定理意义重大，因为它将“有界变差”这个整体振荡控制的性质，转化为经典、易于处理的单调函数性质。由于单调函数具有很好的分析性质（例如几乎处处可导、黎曼可积），这个分解使得许多关于有界变差函数的结论可以由单调函数的结论推出。

步骤四：分析性质与推广

基于若尔当分解定理，我们可以推导出有界变差函数的一系列深刻性质：

  1. 可微性（勒贝格定理）：
    由于单调函数是几乎处处可导的（这是实分析中的一个深刻定理），而 \(BV\) 函数是两个单调函数之差，因此：

    任何有界变差函数在定义区间上几乎处处可导。

  2. 不连续性：
    \(BV\) 函数的不连续点至多是一个可数集。这是因为单调函数的不连续点至多可数，而 \(BV\) 函数是两个单调函数之差。

  3. 与可积性的关系：
    如果 \(f \in BV([a,b])\)，则其导数 \(f‘\)（在几乎处处存在的意义上）是勒贝格可积的，并且满足：

\[ \int_a^b |f'(x)| \, dx \le TV_a^b(f). \]

注意，这里的“\(\le\)”可能是严格小于，因为全变差还包含了“跳跃”带来的变化，而导数无法捕捉跳跃。

  1. 推广到多维：有界变差函数与有界变差测度：
    这个概念可以推广到多元函数和测度论中。
    • 在多元情形，一个局部可积函数 \(f \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^n)\) 称为有界变差函数，如果其分布意义下的梯度是一个向量值的拉东测度。这等价于其梯度在分布意义下的全变差有限，常用于刻画图像处理、几何测度论中的“分片光滑”或“有跳跃”的函数。
    • 在测度论中，一个符号测度（可以取负值的测度）如果其全变差是有限测度，则称为有界变差测度。这是由哈恩分解定理保证的：任何符号测度都可以分解为正负两部分之差，这与若尔当分解定理精神一致。

步骤五：与黎曼-斯蒂尔切斯积分的关联

在您已学过的“黎曼-斯蒂尔切斯积分”中，有界变差函数扮演了关键角色：

  • 为了使一个函数 \(g\) 关于另一个函数 \(f\) 的黎曼-斯蒂尔切斯积分 \(\int_a^b g \, df\) 对所有连续函数 \(g\) 都存在，一个充分条件是 \(f\) 是有界变差函数。
  • 更精确地说，如果 \(f \in BV([a,b])\) 且 \(g\) 连续，则积分 \(\int_a^b g \, df\) 存在。并且，积分值可以被 \(g\) 的连续性模和 \(f\) 的全变差所控制，这在实际估计中非常有用。

总结

有界变差函数是分析学中一个核心概念，其核心思想是用“总变化量有限”来刻画函数振荡的可控性。通过若尔当分解定理，它与单调函数理论紧密相连，从而继承了单调函数几乎处处可导、不连续点可数等良好性质。它不仅是研究曲线可求长性、函数可积性的自然工具，也是通向现代实分析、几何测度论以及偏微分方程中更一般函数空间（如 \(BV\) 空间）的重要基石。

分析学词条：有界变差函数 好的，我们开始循序渐进地学习“有界变差函数”这一概念。这个概念连接了古典微积分与现代实分析，是研究函数可积性、曲线长度、以及更一般测度理论的重要桥梁。 步骤一：从直观背景出发——曲线长度与函数“振动” 设想一个物理问题：如何计算平面上一条曲线的长度？一个经典的方法是“用折线逼近”。对于一条由函数 \(y = f(x)\) 在区间 \([ a, b ]\) 上给出的曲线，我们在区间上取一系列分点： \[ a = x_ 0 < x_ 1 < x_ 2 < \dots < x_ n = b \] 然后用这些点对应的曲线上的点连成折线。折线的总长度为： \[ L_ p = \sum_ {i=1}^{n} \sqrt{(x_ i - x_ {i-1})^2 + (f(x_ i) - f(x_ {i-1}))^2} \] 如果对于 所有可能 的分划 \(P\)，这些折线长度 \(L_ p\) 构成的集合是有上界的，我们就说这条曲线是 可求长 的，并且其长度就是所有折线长度的上确界。 现在，我们做一个简化观察。由于 \(\sqrt{(Δx)^2+(Δy)^2} \ge |Δy|\)，为了确保折线长度总和有上界，一个 必要但不充分 的条件是：函数值变化量的绝对值之和必须有上界。也就是说，表达式 \[ \sum_ {i=1}^{n} |f(x_ i) - f(x_ {i-1})| \] 对区间的所有可能分划都应有一个统一的上界。这个“总变化量”的直观想法，就直接引出了“有界变差”的定义。 步骤二：正式定义与基本例子 定义（全变差与有界变差函数）： 设 \(f\) 是定义在闭区间 \([ a, b ]\) 上的实值函数。 对区间的一个分划 \(P: a = x_ 0 < x_ 1 < \dots < x_ n = b\)，定义 \[ V_ a^b(f, P) = \sum_ {i=1}^{n} |f(x_ i) - f(x_ {i-1})|. \] 这个值称为函数 \(f\) 在分划 \(P\) 下的 变差 。 定义 \(f\) 在 \([ a, b]\) 上的 全变差 为： \[ TV_ a^b(f) = \sup_ {P} V_ a^b(f, P) \] 其中上确界取遍 \([ a, b ]\) 的所有可能分划 \(P\)。 如果 \(TV_ a^b(f) < +\infty\)，我们就称 \(f\) 是 \([ a, b]\) 上的 有界变差函数 。所有这类函数的集合记作 \(BV([ a, b ])\)。 直观理解 ：全变差 \(TV_ a^b(f)\) 衡量了函数 \(f\) 在区间 \([ a, b ]\) 上“上下起伏”的总幅度。如果这个总幅度是有限的，函数就不能无限次地剧烈振荡。 基本例子： 单调函数 ：如果 \(f\) 在 \([ a, b ]\) 上单调递增（或递减），那么对任意分划，有 \[ \sum |f(x_ i)-f(x_ {i-1})| = |f(b)-f(a)|. \] 因此 \(TV_ a^b(f) = |f(b)-f(a)| < \infty\)，所以 任何单调函数都是有界变差的 。 利普希茨连续函数 ：如果存在常数 \(L\) 使得 \(|f(x)-f(y)| \le L|x-y|\)，那么 \[ \sum |f(x_ i)-f(x_ {i-1})| \le L \sum (x_ i - x_ {i-1}) = L(b-a). \] 因此利普希茨函数也是有界变差的。 反例（无限振荡） ：在 \([ 0,1 ]\) 上考虑 \[ f(x) = \begin{cases} x \sin(1/x), & x \in (0, 1 ] \\ 0, & x = 0 \end{cases} \] 这个函数是连续的，但在0附近无限次振荡。可以证明，其全变差是无穷大，因此它 不是 有界变差函数。另一个经典反例是 \([ 0,1 ]\) 上的函数 \(\sin(1/x)\)（在0点补充定义任意值）。 步骤三：关键性质与结构定理 有界变差函数类 \(BV([ a,b ])\) 具有非常好的代数结构和分析性质： 向量空间 ：\(BV([ a,b])\) 是一个 向量空间 。即，如果有界变差函数 \(f, g \in BV\)，且 \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\)，则 \(\alpha f + \beta g \in BV\)。并且全变差满足三角不等式：\(TV(\alpha f + \beta g) \le |\alpha|TV(f) + |\beta|TV(g)\)。 有界性 ：任何有界变差函数必定是 有界 的。因为对于任意 \(x \in [ a, b ]\)，考虑分划 \(a, x, b\)，有： \[ |f(x)-f(a)| + |f(b)-f(x)| \le TV_ a^b(f). \] 所以 \(|f(x)| \le |f(a)| + TV_ a^b(f)\)。 最重要的结构定理（若尔当分解定理） ： 这是有界变差函数理论的核心结果。它指出： 函数 \(f\) 是 \([ a, b]\) 上的有界变差函数， 当且仅当 \(f\) 可以表示为两个单调递增函数的差。 即，存在单调递增函数 \(g\) 和 \(h\)，使得 \(f = g - h\)。 构造性证明思路 ： 对于给定的 \(f \in BV([ a,b])\)，定义它的 变差函数 \(V(x) = TV_ a^x(f)\)，即从 \(a\) 到 \(x\) 的全变差。可以证明 \(V(x)\) 是单调递增的。 进一步，可以证明 \(V(x) - f(x)\) 也是单调递增的。 于是，我们得到了分解： \[ f(x) = V(x) - [ V(x) - f(x) ], \] 其中 \(V(x)\) 和 \(V(x)-f(x)\) 都是单调递增函数。 这个定理意义重大，因为它将“有界变差”这个整体振荡控制的性质，转化为经典、易于处理的单调函数性质。由于单调函数具有很好的分析性质（例如几乎处处可导、黎曼可积），这个分解使得许多关于有界变差函数的结论可以由单调函数的结论推出。 步骤四：分析性质与推广 基于若尔当分解定理，我们可以推导出有界变差函数的一系列深刻性质： 可微性（勒贝格定理） ： 由于单调函数是 几乎处处可导 的（这是实分析中的一个深刻定理），而 \(BV\) 函数是两个单调函数之差，因此： 任何有界变差函数在定义区间上 几乎处处可导 。 不连续性 ： \(BV\) 函数的不连续点至多是一个 可数集 。这是因为单调函数的不连续点至多可数，而 \(BV\) 函数是两个单调函数之差。 与可积性的关系 ： 如果 \(f \in BV([ a,b])\)，则其导数 \(f‘\)（在几乎处处存在的意义上）是 勒贝格可积 的，并且满足： \[ \int_ a^b |f'(x)| \, dx \le TV_ a^b(f). \] 注意，这里的“\(\le\)”可能是严格小于，因为全变差还包含了“跳跃”带来的变化，而导数无法捕捉跳跃。 推广到多维：有界变差函数与有界变差测度 ： 这个概念可以推广到多元函数和测度论中。 在多元情形，一个局部可积函数 \(f \in L^1_ {\text{loc}}(\mathbb{R}^n)\) 称为 有界变差函数 ，如果其分布意义下的梯度是一个 向量值的拉东测度 。这等价于其梯度在分布意义下的全变差有限，常用于刻画图像处理、几何测度论中的“分片光滑”或“有跳跃”的函数。 在测度论中，一个符号测度（可以取负值的测度）如果其全变差是有限测度，则称为 有界变差测度 。这是由 哈恩分解定理 保证的：任何符号测度都可以分解为正负两部分之差，这与若尔当分解定理精神一致。 步骤五：与黎曼-斯蒂尔切斯积分的关联 在您已学过的“黎曼-斯蒂尔切斯积分”中，有界变差函数扮演了关键角色： 为了使一个函数 \(g\) 关于另一个函数 \(f\) 的黎曼-斯蒂尔切斯积分 \(\int_ a^b g \, df\) 对所有连续函数 \(g\) 都存在，一个充分条件是 \(f\) 是 有界变差函数 。 更精确地说，如果 \(f \in BV([ a,b])\) 且 \(g\) 连续，则积分 \(\int_ a^b g \, df\) 存在。并且，积分值可以被 \(g\) 的连续性模和 \(f\) 的全变差所控制，这在实际估计中非常有用。 总结 有界变差函数 是分析学中一个核心概念，其核心思想是 用“总变化量有限”来刻画函数振荡的可控性 。通过若尔当分解定理，它与单调函数理论紧密相连，从而继承了单调函数几乎处处可导、不连续点可数等良好性质。它不仅是研究曲线可求长性、函数可积性的自然工具，也是通向现代实分析、几何测度论以及偏微分方程中更一般函数空间（如 \(BV\) 空间）的重要基石。