索末菲辐射条件
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背景与物理意义
索末菲辐射条件是数学物理中用于保证波动方程在外区域（无界区域）上解的唯一性的边界条件。当研究波在无限大介质中的传播时（如声波、电磁波的散射问题），在无穷远处需要施加适当的条件来排除"非物理"的解。这类解对应能量从无穷远处传入系统，而物理上我们通常只考虑由有限区域内的源产生的向外辐射的波。 -
数学问题的提出
考虑时谐波（单频波），其场量 \(u(\mathbf{x})\) 满足亥姆霍兹方程（已学过）：
\[(\nabla^2 + k^2) u(\mathbf{x}) = 0, \quad \mathbf{x} \in \Omega \]
其中 \(\Omega\) 是无穷大区域（例如整个三维空间去掉一个有限大小的散射体）。在没有额外条件时，亥姆霍兹方程在无界区域上存在多个解。例如，在三维中，除了我们期望的向外辐射的球面波 \(\frac{e^{ikr}}{r}\)，也存在向内汇聚的波 \(\frac{e^{-ikr}}{r}\) 满足方程。后者表示能量从无穷远处汇聚到原点，这在许多物理情景中（如一个孤立源产生的波）是非物理的。
- 索末菲辐射条件的表述
为了唯一地确定出物理上合理的向外辐射的解，阿诺德·索末菲提出了以下渐进条件（以三维问题为例）：
\[\lim_{r \to \infty} r \left( \frac{\partial u}{\partial r} - iku \right) = 0 \]
其中 \(r = |\mathbf{x}|\) 是到原点的距离。这个条件必须在各个方向上均匀地满足（即与角度无关）。
- 条件的详细解读
- 量纲与衰减率：因子 \(r\) 的引入是关键。对于三维问题，物理的辐射解（如点源产生的波）其幅度以 \(1/r\) 衰减。因此，\(r u\) 在 \(r \to \infty\) 时应保持有界。
- 相位行为：项 \(\frac{\partial u}{\partial r} - iku\) 检测波的径向行为。对于一个纯粹的向外行波，其形式应为 \(u \sim f(\theta, \phi) \frac{e^{ikr}}{r}\)。计算其径向导数：
\[ \frac{\partial u}{\partial r} \approx ik f(\theta, \phi) \frac{e^{ikr}}{r} - f(\theta, \phi) \frac{e^{ikr}}{r^2} = iku - \frac{u}{r} \]
因此，
\[ \frac{\partial u}{\partial r} - iku \approx -\frac{u}{r} = O\left(\frac{1}{r^2}\right) \]
那么，
\[ r \left( \frac{\partial u}{\partial r} - iku \right) = O\left(\frac{1}{r}\right) \to 0 \quad \text{当} \quad r \to \infty \]
满足索末菲条件。
- 向内波的情况：如果解是向内波 \(u \sim g(\theta, \phi) \frac{e^{-ikr}}{r}\)，则
\[ \frac{\partial u}{\partial r} \approx -ik u - \frac{u}{r} \]
那么，
\[ \frac{\partial u}{\partial r} - iku \approx -2ik u - \frac{u}{r} = O\left(\frac{1}{r}\right) \]
于是，
\[ r \left( \frac{\partial u}{\partial r} - iku \right) = O(1) \nrightarrow 0 \]
不满足条件，因此被排除。
- 不同维度的推广
- 二维空间：在二维中，物理的辐射波（如线源产生的波）幅度以 \(1/\sqrt{r}\) 衰减。索末菲辐射条件修正为：
\[ \lim_{r \to \infty} \sqrt{r} \left( \frac{\partial u}{\partial r} - iku \right) = 0 \]
这是因为二维波动方程的基本解是汉克尔函数，其渐近行为是 \(u \sim \frac{e^{ikr}}{\sqrt{r}}\)。
- 重要性与应用
索末菲辐射条件是保证无界区域上散射问题、辐射问题解的唯一性的关键。它是边界元法等数值方法中处理无限大计算域的理论基础。该条件确保了数学解与物理直观的一致性，即波只能从有限区域内的源产生，并向外辐射能量至无穷远，而不会有能量从无穷远处传入。