哈尔测度的模函数与商测度的关系（The Modular Function and Its Relation to Quotient Measures）
字数 3239 2025-12-20 12:35:02

哈尔测度的模函数与商测度的关系（The Modular Function and Its Relation to Quotient Measures）

哈尔测度是定义在局部紧群上的、在群运算下不变的测度。当群不是幺模群（即左哈尔测度与右哈尔测度不重合）时，刻画这种差异的关键对象就是模函数。而商测度则是从群上的哈尔测度出发，在其商群（或齐性空间）上自然诱导出的测度。模函数正是联系群上哈尔测度与商上测度的核心桥梁。理解这个关系，是掌握非紧非交换群上调和分析的基础。

下面我将循序渐进地为你构建这个知识体系。

第一步：回顾核心概念——局部紧群与哈尔测度

  1. 局部紧群：一个群 \(G\)，同时是一个局部紧豪斯多夫拓扑空间，并且群运算 \((g, h) \mapsto gh\) 和取逆运算 \(g \mapsto g^{-1}\) 都是连续映射。例子包括：欧氏空间 \(\mathbb{R}^n\)（加法群）、圆周群 \(\mathbb{T}\)、一般线性群 \(GL(n, \mathbb{R})\) 等。
  2. （左）哈尔测度：在 \(G\) 的波莱尔 \(\sigma\)-代数上的一个非负的、正则的博雷尔测度 \(\mu\)，满足：
  • 左不变性：对任何可测集 \(E \subset G\) 和任何 \(g \in G\)，有 \(\mu(gE) = \mu(E)\)，其中 \(gE = \{ gh: h \in E \}\)。
  • 非平凡性：对任意非空开集 \(U\)，有 \(\mu(U) > 0\)，且对任意紧集 \(K\)，有 \(\mu(K) < \infty\)。
    里斯表示定理保证了在局部紧群上，左哈尔测度存在且在正数倍意义下唯一。类似可定义右哈尔测度 \(\nu\)，满足右不变性 \(\nu(Eg) = \nu(E)\)。

第二步：引入模函数——刻画左右哈尔测度的差异

  1. 问题：对于一个固定的左哈尔测度 \(\mu\)，考虑右平移。对固定的 \(g \in G\)，定义新测度 \(\mu_g(E) = \mu(Eg)\)。可以证明，\(\mu_g\) 也是一个左哈尔测度（因为右平移与左平移可交换：\(h(Eg) = (hE)g\)）。由哈尔测度的唯一性，存在一个正实数 \(\Delta(g)\)，使得 \(\mu_g = \Delta(g) \mu\)。即对任意可测集 \(E\)，有：

\[ \mu(Eg) = \Delta(g) \mu(E)。 \]

这个函数 \(\Delta: G \to \mathbb{R}^{+}\) 就称为群 \(G\) 的模函数。

  1. 模函数的性质：
  • 连续同态：\(\Delta\) 是 \(G\) 到乘法群 \(\mathbb{R}^{+}\) 的连续群同态。即 \(\Delta(gh) = \Delta(g)\Delta(h)\)，且 \(\Delta\) 连续。
  • 与右哈尔测度的关系：如果 \(\mu\) 是左哈尔测度，那么测度 \(\nu\) 定义为 \(d\nu(g) = \Delta(g^{-1}) d\mu(g)\) 是一个右哈尔测度。这直接给出了左右哈尔测度的显式关系。
  • 幺模群：如果对任意 \(g \in G\) 有 \(\Delta(g) = 1\)，则称 \(G\) 为幺模群。此时左哈尔测度也是右哈尔测度。紧群、交换群、离散群都是幺模群。

第三步：构建商测度——从群到齐性空间

  1. 场景：设 \(H\) 是 \(G\) 的一个闭子群。考虑左陪集空间 \(G/H = \{ gH: g \in G \}\)，它是一个齐性空间，在商拓扑下是局部紧的。
  2. 核心问题：我们能否在 \(G/H\) 上自然地定义一个“不变”的测度，使得可以建立 \(G\) 上的积分与 \(G/H\) 上的积分之间的关系（类似于富比尼定理）？
  3. 商测度的存在性条件：为了保证在 \(G/H\) 上存在一个在 \(G\) 作用下不变的正则博雷尔测度（称为商测度），一个必要条件是：子群 \(H\) 的模函数 \(\Delta_H\) 必须等于大群 \(G\) 的模函数 \(\Delta_G\) 限制在 \(H\) 上。即

\[ \Delta_G(h) = \Delta_H(h) \quad \text{对任意} \quad h \in H. \]

当这个条件满足时，我们说 \(H\) 是 \(G\) 的幺模特子群。

第四步：模函数如何具体联系群测度与商测度

这是最关键的步骤。设 \(H\) 是 \(G\) 的幺模特闭子群，\(\mu_G\) 是 \(G\) 的左哈尔测度，\(\mu_H\) 是 \(H\) 的左哈尔测度。则在 \(G/H\) 上存在唯一的（在正数倍意义下）正则博雷尔测度 \(\mu_{G/H}\)，满足以下积分公式（或称“纤维化积分公式”）：

对任意在 \(G\) 上连续且具有紧支撑的函数 \(f\)，有

\[\int_{G} f(g) \, d\mu_G(g) = \int_{G/H} \left( \int_{H} f(gh) \, d\mu_H(h) \right) d\mu_{G/H}(gH)。 \]

  1. 公式解读：
  • 右边是两步积分：首先固定一个陪集 \(gH\)，在它的“纤维” \(gH\) 上（同胚于 \(H\)）对 \(f\) 关于 \(H\) 的哈尔测度 \(\mu_H\) 进行积分，得到定义在商空间 \(G/H\) 上的一个函数 \(F(gH) = \int_{H} f(gh) d\mu_H(h)\)。
  • 然后，这个函数 \(F\) 再关于商空间上的测度 \(\mu_{G/H}\) 积分。
  • 这个公式将 \(G\) 上的积分“分解”为沿着子群 \(H\) 的积分和横跨陪集空间的积分。
  1. 模函数的关键作用：为什么需要幺模条件 \(\Delta_G|_H = \Delta_H\)？直观上，当我们尝试用上述公式定义商测度 \(\mu_{G/H}\) 时，必须保证内层积分 \(F(gH)\) 是良定义的，即它不依赖于陪集代表元 \(g\) 的选择。如果选择另一个代表元 \(g‘ = g h_0\) (其中 \(h_0 \in H\))，我们需要：

\[ \int_{H} f(g'h) d\mu_H(h) = \int_{H} f(gh) d\mu_H(h)。 \]

通过变量代换 \(h \to h_0 h\)，并利用哈尔测度的变换公式以及 \(\Delta_G\) 和 \(\Delta_H\) 的定义，可以推导出上述等式成立当且仅当 \(\Delta_G(h_0) = \Delta_H(h_0)\) 对所有 \(h_0 \in H\) 成立。这就是幺模条件。它保证了内层积分是定义在商空间 \(G/H\) 上的函数，从而整个构造是协调的。

总结：模函数是协调不同“不变性”的因子

  • 在群 \(G\) 自身层面，模函数 \(\Delta_G\) 量化了左、右哈尔测度的差异。
  • 在从群 \(G\) 到商空间 \(G/H\) 的“约化”过程中，模函数起到了协调因子的作用。幺模条件 \(\Delta_G|_H = \Delta_H\) 确保了我们可以从 \(G\) 上“左不变”的测度，一致地“商去”子群 \(H\) 的“左不变”作用，从而在商空间上得到一个良定义的、在 \(G\) 的左平移作用下不变的测度。
  • 因此，模函数与商测度的关系，本质上是群的不变测度在不同层次（群本身、子群、商空间）上保持相容性的约束条件。它是将富比尼型定理推广到齐性空间积分上的理论基础，在非紧非交换群（如许多李群）的表示论和调和分析中至关重要。
哈尔测度的模函数与商测度的关系（The Modular Function and Its Relation to Quotient Measures） 哈尔测度是定义在局部紧群上的、在群运算下不变的测度。当群不是幺模群（即左哈尔测度与右哈尔测度不重合）时，刻画这种差异的关键对象就是 模函数 。而 商测度 则是从群上的哈尔测度出发，在其商群（或齐性空间）上自然诱导出的测度。模函数正是联系群上哈尔测度与商上测度的核心桥梁。理解这个关系，是掌握非紧非交换群上调和分析的基础。 下面我将循序渐进地为你构建这个知识体系。 第一步：回顾核心概念——局部紧群与哈尔测度 局部紧群 ：一个群 \(G\)，同时是一个局部紧豪斯多夫拓扑空间，并且群运算 \((g, h) \mapsto gh\) 和取逆运算 \(g \mapsto g^{-1}\) 都是连续映射。例子包括：欧氏空间 \(\mathbb{R}^n\)（加法群）、圆周群 \(\mathbb{T}\)、一般线性群 \(GL(n, \mathbb{R})\) 等。 （左）哈尔测度 ：在 \(G\) 的波莱尔 \(\sigma\)-代数上的一个非负的、正则的博雷尔测度 \(\mu\)，满足： 左不变性 ：对任何可测集 \(E \subset G\) 和任何 \(g \in G\)，有 \(\mu(gE) = \mu(E)\)，其中 \(gE = \{ gh: h \in E \}\)。 非平凡性 ：对任意非空开集 \(U\)，有 \(\mu(U) > 0\)，且对任意紧集 \(K\)，有 \(\mu(K) < \infty\)。 里斯表示定理保证了在局部紧群上，左哈尔测度存在且在正数倍意义下唯一。类似可定义 右哈尔测度 \(\nu\)，满足右不变性 \(\nu(Eg) = \nu(E)\)。 第二步：引入模函数——刻画左右哈尔测度的差异 问题 ：对于一个固定的左哈尔测度 \(\mu\)，考虑右平移。对固定的 \(g \in G\)，定义新测度 \(\mu_ g(E) = \mu(Eg)\)。可以证明，\(\mu_ g\) 也是一个左哈尔测度（因为右平移与左平移可交换：\(h(Eg) = (hE)g\)）。由哈尔测度的唯一性，存在一个正实数 \(\Delta(g)\)，使得 \(\mu_ g = \Delta(g) \mu\)。即对任意可测集 \(E\)，有： \[ \mu(Eg) = \Delta(g) \mu(E)。 \] 这个函数 \(\Delta: G \to \mathbb{R}^{+}\) 就称为群 \(G\) 的 模函数 。 模函数的性质 ： 连续同态 ：\(\Delta\) 是 \(G\) 到乘法群 \(\mathbb{R}^{+}\) 的连续群同态。即 \(\Delta(gh) = \Delta(g)\Delta(h)\)，且 \(\Delta\) 连续。 与右哈尔测度的关系 ：如果 \(\mu\) 是左哈尔测度，那么测度 \(\nu\) 定义为 \(d\nu(g) = \Delta(g^{-1}) d\mu(g)\) 是一个右哈尔测度。这直接给出了左右哈尔测度的显式关系。 幺模群 ：如果对任意 \(g \in G\) 有 \(\Delta(g) = 1\)，则称 \(G\) 为 幺模群 。此时左哈尔测度也是右哈尔测度。紧群、交换群、离散群都是幺模群。 第三步：构建商测度——从群到齐性空间 场景 ：设 \(H\) 是 \(G\) 的一个闭子群。考虑 左陪集空间 \(G/H = \{ gH: g \in G \}\)，它是一个齐性空间，在商拓扑下是局部紧的。 核心问题 ：我们能否在 \(G/H\) 上自然地定义一个“不变”的测度，使得可以建立 \(G\) 上的积分与 \(G/H\) 上的积分之间的关系（类似于富比尼定理）？ 商测度的存在性条件 ：为了保证在 \(G/H\) 上存在一个在 \(G\) 作用下不变的正则博雷尔测度（称为 商测度 ），一个必要条件是： 子群 \(H\) 的模函数 \(\Delta_ H\) 必须等于大群 \(G\) 的模函数 \(\Delta_ G\) 限制在 \(H\) 上 。即 \[ \Delta_ G(h) = \Delta_ H(h) \quad \text{对任意} \quad h \in H. \] 当这个条件满足时，我们说 \(H\) 是 \(G\) 的 幺模特子群 。 第四步：模函数如何具体联系群测度与商测度 这是最关键的步骤。设 \(H\) 是 \(G\) 的幺模特闭子群，\(\mu_ G\) 是 \(G\) 的左哈尔测度，\(\mu_ H\) 是 \(H\) 的左哈尔测度。则在 \(G/H\) 上存在唯一的（在正数倍意义下）正则博雷尔测度 \(\mu_ {G/H}\)，满足以下 积分公式 （或称“纤维化积分公式”）： 对任意在 \(G\) 上连续且具有紧支撑的函数 \(f\)，有 \[ \int_ {G} f(g) \, d\mu_ G(g) = \int_ {G/H} \left( \int_ {H} f(gh) \, d\mu_ H(h) \right) d\mu_ {G/H}(gH)。 \] 公式解读 ： 右边是两步积分：首先固定一个陪集 \(gH\)，在它的“纤维” \(gH\) 上（同胚于 \(H\)）对 \(f\) 关于 \(H\) 的哈尔测度 \(\mu_ H\) 进行积分，得到定义在商空间 \(G/H\) 上的一个函数 \(F(gH) = \int_ {H} f(gh) d\mu_ H(h)\)。 然后，这个函数 \(F\) 再关于商空间上的测度 \(\mu_ {G/H}\) 积分。 这个公式将 \(G\) 上的积分“分解”为沿着子群 \(H\) 的积分和横跨陪集空间的积分。 模函数的关键作用 ：为什么需要幺模条件 \(\Delta_ G| H = \Delta_ H\)？直观上，当我们尝试用上述公式定义商测度 \(\mu {G/H}\) 时，必须保证内层积分 \(F(gH)\) 是良定义的，即它不依赖于陪集代表元 \(g\) 的选择。如果选择另一个代表元 \(g‘ = g h_ 0\) (其中 \(h_ 0 \in H\))，我们需要： \[ \int_ {H} f(g'h) d\mu_ H(h) = \int_ {H} f(gh) d\mu_ H(h)。 \] 通过变量代换 \(h \to h_ 0 h\)，并利用哈尔测度的变换公式以及 \(\Delta_ G\) 和 \(\Delta_ H\) 的定义，可以推导出上述等式成立 当且仅当 \(\Delta_ G(h_ 0) = \Delta_ H(h_ 0)\) 对所有 \(h_ 0 \in H\) 成立。这就是幺模条件。 它保证了内层积分是定义在商空间 \(G/H\) 上的函数，从而整个构造是协调的。 总结：模函数是协调不同“不变性”的因子 在群 \(G\) 自身层面，模函数 \(\Delta_ G\) 量化了左、右哈尔测度的差异。 在从群 \(G\) 到商空间 \(G/H\) 的“约化”过程中，模函数起到了 协调因子 的作用。幺模条件 \(\Delta_ G|_ H = \Delta_ H\) 确保了我们可以从 \(G\) 上“左不变”的测度，一致地“商去”子群 \(H\) 的“左不变”作用，从而在商空间上得到一个良定义的、在 \(G\) 的左平移作用下不变的测度。 因此，模函数与商测度的关系，本质上是 群的不变测度在不同层次（群本身、子群、商空间）上保持相容性的约束条件 。它是将富比尼型定理推广到齐性空间积分上的理论基础，在非紧非交换群（如许多李群）的表示论和调和分析中至关重要。