环的整体维数
字数 3322 2025-12-20 11:18:12

环的整体维数

我先明确：环的整体维数（global dimension）是衡量环“同调复杂性”的重要不变量。我会从最基本的概念开始，逐步建立其定义、计算方法和意义。

第一步：回顾必备概念——模与正合序列

  1. 我们有一个结合环 \(R\)（不一定交换，但通常默认有单位元）。
  2. 左 \(R\)-模：一个阿贝尔群 \(M\) 配上数乘映射 \(R \times M \to M\)，满足分配律、结合律等公理。
  3. 模同态：保持加法和数乘的映射。
  4. 正合序列：一串模同态序列 \(\cdots \to M_{i-1} \xrightarrow{f_i} M_i \xrightarrow{f_{i+1}} M_{i+1} \to \cdots\)，使得每个同态的像等于下一个同态的核，即 \(\operatorname{Im} f_i = \operatorname{Ker} f_{i+1}\)。
  5. 短正合序列：形如 \(0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0\) 的正合序列，它意味着 \(f\) 是单射，\(g\) 是满射，且 \(\operatorname{Im} f = \operatorname{Ker} g\)。

第二步：投射维数（核心预备知识）

  1. 投射模：一个左 \(R\)-模 \(P\) 称为投射模，如果对于任意满同态 \(g: M \twoheadrightarrow N\) 和任意同态 \(h: P \to N\)，都存在同态 \(\tilde{h}: P \to M\) 使得 \(g \circ \tilde{h} = h\)（即提升性质）。自由模都是投射模。
  2. 投射分解：对于一个左 \(R\)-模 \(M\)，它的一个投射分解是一列投射模 \(P_i\) 组成的正合序列：

\[ \cdots \to P_2 \xrightarrow{d_2} P_1 \xrightarrow{d_1} P_0 \xrightarrow{\epsilon} M \to 0 \]

其中 \(\epsilon\) 是满射，且序列在每一处都正合。这样的分解总是存在（例如，可以取自由模逐步构造核）。
3. 投射维数的定义：模 \(M\) 的投射维数，记作 \(\operatorname{pd}_R(M)\)，是它的最短投射分解的长度。更精确地说：

  • 如果存在一个投射分解使得当 \(n > d\) 时 \(P_n = 0\)，且 \(P_d \neq 0\)，则 \(\operatorname{pd}_R(M) = d\)。
  • 如果不存在这样的有限长度，则 \(\operatorname{pd}_R(M) = \infty\)。
  • 等价地，它是满足 \(\operatorname{Ext}_R^{n+1}(M, N) = 0\) 对所有模 \(N\) 成立的最小非负整数 \(n\)（这里 \(\operatorname{Ext}\) 是导出函子，您已了解）。

第三步：整体维数的定义
环 \(R\) 的左整体维数定义为所有左 \(R\)-模的投射维数的上确界：

\[\operatorname{l.gl.dim}(R) = \sup \{ \operatorname{pd}_R(M) \mid M \text{ 是左 } R\text{-模} \} \]

类似可定义右整体维数 \(\operatorname{r.gl.dim}(R)\)。对于诺特环（左右诺特），左右整体维数相等，我们常简记为 \(\operatorname{gl.dim}(R)\)。

第四步：整体维数的等价刻画
整体维数可以通过更简单的模类来计算，这极大简化了研究：

  1. 循环模刻画：\(\operatorname{l.gl.dim}(R) = \sup \{ \operatorname{pd}_R(R/I) \mid I \text{ 是左理想} \}\)。即只需考虑形如 \(R/I\) 的模。
  2. 单模刻画：\(\operatorname{l.gl.dim}(R) = \sup \{ \operatorname{pd}_R(S) \mid S \text{ 是单左 } R\text{-模} \}\)。这进一步将问题约化到不可分解的模。
  3. 内射维数对偶：整体维数也等于所有模的内射维数的上确界（内射模是投射模的对偶概念）。
  4. Tor 函子刻画：\(\operatorname{l.gl.dim}(R)\) 是满足 \(\operatorname{Tor}_{n+1}^R(M, N) = 0\) 对所有右模 \(M\) 和左模 \(N\) 成立的最小非负整数 \(n\)。这也展示了它的对称性。

第五步：整体维数的取值范围与例子

  1. 整体维数为 0：当且仅当环是半单环（即所有模都是投射模，或者说所有短正合序列可裂）。例如：除环、半单代数（如矩阵环 over 除环）。
  2. 整体维数为 1：典型例子是主理想整环（PID），如整数环 \(\mathbb{Z}\)、域上多项式环 \(k[x]\)。这里每个子模自由，但存在模（如非自由挠模）的投射维数为 1。
  3. 整体维数为 n：可以构造具有任意有限整体维数的环，例如 \(k[x_1, \ldots, x_n]\) 的整体维数为 \(n\)（希尔伯特合冲定理）。
  4. 整体维数为无穷大：许多环的整体维数是无穷，例如：
    • 非半单阿廷环（如模 \(n\) 剩余类环 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)，当 \(n\) 不是无平方因子时）。
    • 某些有非平凡 Jacobson 根且结构复杂的环。

第六步：整体维数与环的性质

  1. 与诺特性：对于左诺特环 \(R\)，有 \(\operatorname{l.gl.dim}(R) = \operatorname{pd}_R(R/\operatorname{Rad}(R))\)，其中 \(\operatorname{Rad}(R)\) 是 Jacobson 根。这提供了具体计算途径。
  2. 与多项式环与幂级数环：希尔伯特合冲定理说，若 \(R\) 是交换诺特环，则 \(\operatorname{gl.dim}(R[x]) = \operatorname{gl.dim}(R) + 1\)。对幂级数环也有类似结论。这允许从已知环构造高维数环。
  3. 与局部化：整体维数在环的局部化下可能降低，但满足：\(\operatorname{gl.dim}(R) \geq \sup \{ \operatorname{gl.dim}(R_{\mathfrak{m}}) \mid \mathfrak{m} \text{ 是极大理想} \}\)，对交换诺特环等号常成立。
  4. 与正则环：在交换代数几何中，诺特局部环 \((R, \mathfrak{m})\) 的整体维数有限当且仅当它是正则局部环（即 \(\dim R = \dim_{R/\mathfrak{m}} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\)），此时整体维数等于 Krull 维数。这是整体维数理论最漂亮的应用之一，连接了几何光滑性与同调性质。

第七步：总结意义
环的整体维数统一了许多同调不变量：

  • 它是“所有模的同调复杂度的上界”。
  • 有限整体维数意味着环具有很好的同调性质（如存在足够多的投射模来“控制”所有模的分解）。
  • 它是研究环的分类、表示论、奇点解消（通过正则性）的重要工具。

通过以上步骤，我们从模与正合序列出发，经投射维数这一关键桥梁，定义了整体维数，并看到了它的多种等价刻画、具体取值例子以及与环的其他深刻性质的联系。

环的整体维数 我先明确：环的整体维数（global dimension）是衡量环“同调复杂性”的重要不变量。我会从最基本的概念开始，逐步建立其定义、计算方法和意义。 第一步：回顾必备概念——模与正合序列 我们有一个结合环 \( R \)（不一定交换，但通常默认有单位元）。 左 \( R \)-模：一个阿贝尔群 \( M \) 配上数乘映射 \( R \times M \to M \)，满足分配律、结合律等公理。 模同态：保持加法和数乘的映射。 正合序列：一串模同态序列 \( \cdots \to M_ {i-1} \xrightarrow{f_ i} M_ i \xrightarrow{f_ {i+1}} M_ {i+1} \to \cdots \)，使得每个同态的像等于下一个同态的核，即 \( \operatorname{Im} f_ i = \operatorname{Ker} f_ {i+1} \)。 短正合序列：形如 \( 0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0 \) 的正合序列，它意味着 \( f \) 是单射，\( g \) 是满射，且 \( \operatorname{Im} f = \operatorname{Ker} g \)。 第二步：投射维数（核心预备知识） 投射模：一个左 \( R \)-模 \( P \) 称为投射模，如果对于任意满同态 \( g: M \twoheadrightarrow N \) 和任意同态 \( h: P \to N \)，都存在同态 \( \tilde{h}: P \to M \) 使得 \( g \circ \tilde{h} = h \)（即提升性质）。自由模都是投射模。 投射分解：对于一个左 \( R \)-模 \( M \)，它的一个投射分解是一列投射模 \( P_ i \) 组成的正合序列： \[ \cdots \to P_ 2 \xrightarrow{d_ 2} P_ 1 \xrightarrow{d_ 1} P_ 0 \xrightarrow{\epsilon} M \to 0 \] 其中 \( \epsilon \) 是满射，且序列在每一处都正合。这样的分解总是存在（例如，可以取自由模逐步构造核）。 投射维数的定义：模 \( M \) 的投射维数，记作 \( \operatorname{pd}_ R(M) \)，是它的最短投射分解的长度。更精确地说： 如果存在一个投射分解使得当 \( n > d \) 时 \( P_ n = 0 \)，且 \( P_ d \neq 0 \)，则 \( \operatorname{pd}_ R(M) = d \)。 如果不存在这样的有限长度，则 \( \operatorname{pd}_ R(M) = \infty \)。 等价地，它是满足 \( \operatorname{Ext}_ R^{n+1}(M, N) = 0 \) 对所有模 \( N \) 成立的最小非负整数 \( n \)（这里 \( \operatorname{Ext} \) 是导出函子，您已了解）。 第三步：整体维数的定义 环 \( R \) 的左整体维数定义为所有左 \( R \)-模的投射维数的上确界： \[ \operatorname{l.gl.dim}(R) = \sup \{ \operatorname{pd}_ R(M) \mid M \text{ 是左 } R\text{-模} \} \] 类似可定义右整体维数 \( \operatorname{r.gl.dim}(R) \)。对于诺特环（左右诺特），左右整体维数相等，我们常简记为 \( \operatorname{gl.dim}(R) \)。 第四步：整体维数的等价刻画 整体维数可以通过更简单的模类来计算，这极大简化了研究： 循环模刻画 ：\( \operatorname{l.gl.dim}(R) = \sup \{ \operatorname{pd}_ R(R/I) \mid I \text{ 是左理想} \} \)。即只需考虑形如 \( R/I \) 的模。 单模刻画 ：\( \operatorname{l.gl.dim}(R) = \sup \{ \operatorname{pd}_ R(S) \mid S \text{ 是单左 } R\text{-模} \} \)。这进一步将问题约化到不可分解的模。 内射维数对偶 ：整体维数也等于所有模的内射维数的上确界（内射模是投射模的对偶概念）。 Tor 函子刻画 ：\( \operatorname{l.gl.dim}(R) \) 是满足 \( \operatorname{Tor}_ {n+1}^R(M, N) = 0 \) 对所有右模 \( M \) 和左模 \( N \) 成立的最小非负整数 \( n \)。这也展示了它的对称性。 第五步：整体维数的取值范围与例子 整体维数为 0 ：当且仅当环是半单环（即所有模都是投射模，或者说所有短正合序列可裂）。例如：除环、半单代数（如矩阵环 over 除环）。 整体维数为 1 ：典型例子是主理想整环（PID），如整数环 \( \mathbb{Z} \)、域上多项式环 \( k[ x ] \)。这里每个子模自由，但存在模（如非自由挠模）的投射维数为 1。 整体维数为 n ：可以构造具有任意有限整体维数的环，例如 \( k[ x_ 1, \ldots, x_ n ] \) 的整体维数为 \( n \)（希尔伯特合冲定理）。 整体维数为无穷大 ：许多环的整体维数是无穷，例如： 非半单阿廷环（如模 \( n \) 剩余类环 \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \)，当 \( n \) 不是无平方因子时）。 某些有非平凡 Jacobson 根且结构复杂的环。 第六步：整体维数与环的性质 与 诺特性 ：对于左诺特环 \( R \)，有 \( \operatorname{l.gl.dim}(R) = \operatorname{pd}_ R(R/\operatorname{Rad}(R)) \)，其中 \( \operatorname{Rad}(R) \) 是 Jacobson 根。这提供了具体计算途径。 与 多项式环与幂级数环 ：希尔伯特合冲定理说，若 \( R \) 是交换诺特环，则 \( \operatorname{gl.dim}(R[ x ]) = \operatorname{gl.dim}(R) + 1 \)。对幂级数环也有类似结论。这允许从已知环构造高维数环。 与 局部化 ：整体维数在环的局部化下可能降低，但满足：\( \operatorname{gl.dim}(R) \geq \sup \{ \operatorname{gl.dim}(R_ {\mathfrak{m}}) \mid \mathfrak{m} \text{ 是极大理想} \} \)，对交换诺特环等号常成立。 与 正则环 ：在交换代数几何中，诺特局部环 \( (R, \mathfrak{m}) \) 的整体维数有限当且仅当它是 正则局部环 （即 \( \dim R = \dim_ {R/\mathfrak{m}} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \)），此时整体维数等于 Krull 维数。这是整体维数理论最漂亮的应用之一，连接了几何光滑性与同调性质。 第七步：总结意义 环的整体维数统一了许多同调不变量： 它是“所有模的同调复杂度的上界”。 有限整体维数意味着环具有很好的同调性质（如存在足够多的投射模来“控制”所有模的分解）。 它是研究环的分类、表示论、奇点解消（通过正则性）的重要工具。 通过以上步骤，我们从模与正合序列出发，经投射维数这一关键桥梁，定义了整体维数，并看到了它的多种等价刻画、具体取值例子以及与环的其他深刻性质的联系。