量子力学中的Dyson展开
我们从量子力学中的时间演化开始理解Dyson展开。在量子力学中，系统随时间的演化由一个幺正时间演化算符 \(U(t, t_0)\) 描述，它将初始时刻 \(t_0\) 的状态演化为时刻 \(t\) 的状态。当哈密顿量 \(H\) 不含时（与时间无关）时，这个算符很简单：\(U(t, t_0) = e^{-iH(t-t_0)/\hbar}\)。但绝大多数有物理意义的情况，例如系统受到一个随时间变化的外场，其哈密顿量 \(H(t)\) 是显含时间的。这时，时间演化算符满足薛定谔方程：
\[ i\hbar \frac{d}{dt} U(t, t_0) = H(t) U(t, t_0), \quad U(t_0, t_0) = I \]
其中 \(I\) 是恒等算符。由于 \(H(t)\) 在不同时刻可能不对易（即 \([H(t_1), H(t_2)] \neq 0\)），我们不能简单地把解写成指数形式。这引出了我们的核心问题：如何构造显含时间哈密顿量的时间演化算符？
第一步，我们引入时间编序的概念。为了处理不同时刻算符不对易的问题，物理学家引入了编时算符 \(\mathcal{T}\)。它的作用是对一串依赖于时间的算符的乘积进行“时间排序”，把时间更晚的算符排到左边，时间更早的排到右边。数学上，对任意两个时刻的算符 \(A(t_1)\) 和 \(B(t_2)\)：
\[ \mathcal{T} \{ A(t_1) B(t_2) \} = \begin{cases} A(t_1)B(t_2) & \text{if } t_1 > t_2 \\ B(t_2)A(t_1) & \text{if } t_2 > t_1 \end{cases} \]
当时间相同时，通常定义为算符的普通乘积。编时算符的关键在于，它使得我们可以像处理普通数字函数一样，形式上“积分”一个含时算符方程。
第二步，我们推导Dyson级数，即Dyson展开的显式形式。我们从时间演化算符的积分方程入手。将微分方程 \(i\hbar dU/dt = H(t)U(t)\) 从 \(t_0\) 到 \(t\) 积分，并利用初始条件 \(U(t_0, t_0)=I\)，得到：
\[ U(t, t_0) = I - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} dt_1 H(t_1) U(t_1, t_0) \]
这是一个关于 \(U\) 的Volterra型积分方程。我们可以用迭代法（也称为Neumann级数）求解它：将方程右边积分号内的 \(U\) 用整个方程本身反复代入。
- 零阶近似（即初始猜测）：\(U^{(0)}(t, t_0) = I\)。
- 一阶近似：将 \(U^{(0)}\) 代入积分方程：
\[ U^{(1)}(t, t_0) = I - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} dt_1 H(t_1) \]
- 二阶近似：将 \(U^{(1)}\) 代入：
\[ U^{(2)}(t, t_0) = I - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} dt_1 H(t_1) + \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^2 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 H(t_1) H(t_2) \]
注意第二个积分是 \(\int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2\)，这保证了时间顺序 \(t_1 > t_2\)。
如此反复迭代，我们得到一个无穷级数：
\[ U(t, t_0) = I + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-i}{\hbar} \right)^n \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n \, H(t_1) H(t_2) \cdots H(t_n) \]
这个级数称为Dyson级数。积分区域是一个时间单纯形：\(t_0 \leq t_n \leq t_{n-1} \leq \cdots \leq t_1 \leq t\)，它自动保证了算符乘积的时间顺序是从左到右时间递减。
第三步，利用编时算符将Dyson级数改写为更紧凑和通用的形式。观察到，对于固定的 \(n\) 个时间变量 \(t_1, t_2, \ldots, t_n\)，如果我们对所有时间在 \([t_0, t]\) 区间内进行积分，但不对积分顺序做限制，那么不同时间顺序的积分区域（n!个）会贡献相同的被积函数值吗？不会，因为算符 \(H(t_i)\) 不对易。然而，如果我们引入编时算符 \(\mathcal{T}\)，那么无论积分顺序如何，\(\mathcal{T} \{ H(t_1) H(t_2) \cdots H(t_n) \}\) 在所有积分区域上的函数值都是相同的（它等于将时间从大到小排序后的算符乘积）。因此，我们可以将积分区域从时间单纯形扩展到整个 n 维立方体 \([t_0, t]^n\)，但必须除以 \(n!\) 来补偿对相同时间顺序区域的重复计数。数学上严格的表述是：
\[ \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n \, H(t_1) H(t_2) \cdots H(t_n) = \frac{1}{n!} \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t} dt_n \, \mathcal{T} \{ H(t_1) H(t_2) \cdots H(t_n) \} \]
于是，Dyson级数可以优雅地写成：
\[ U(t, t_0) = \mathcal{T} \, \exp\left( -\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} d\tau H(\tau) \right) \]
这里，编时指数 \(\mathcal{T} \exp(\cdots)\) 正是定义为上述Dyson级数的紧凑记号，而不是普通指数的简单推广。这就是Dyson展开（也称为Dyson级数解）的最终形式。
第四步，讨论Dyson展开在量子力学和量子场论中的核心应用。
- 相互作用绘景：这是Dyson展开最经典的应用场景。将总哈密顿量写成 \(H(t) = H_0 + V(t)\)，其中 \(H_0\) 是易处理的自由部分（通常不含时），\(V(t)\) 是相互作用部分。相互作用绘景下的时间演化算符 \(U_I(t, t_0)\) 联系着相互作用绘景中的态矢量。可以证明，\(U_I(t, t_0)\) 满足一个类似方程，但哈密顿量被替换为相互作用绘景下的相互作用势 \(V_I(t) = e^{iH_0 t/\hbar} V(t) e^{-iH_0 t/\hbar}\)。于是：
\[ U_I(t, t_0) = \mathcal{T} \, \exp\left( -\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t} d\tau V_I(\tau) \right) \]
这个展开是微扰论的基础。将指数展开成级数，每一项都是不同阶的相互作用势 \(V_I\) 在编时顺序下的积分，对应着物理过程（如散射）中相互作用发生的次数和顺序。
2. 量子场论中的S矩阵：在散射理论中，散射矩阵（S矩阵）描述了初态到末态的跃迁振幅。在相互作用量子场论中，S矩阵正是相互作用绘景中从无穷过去到无穷未来的时间演化算符：\(S = U_I(+\infty, -\infty)\)。因此，S矩阵的微扰展开直接由Dyson展开给出：
\[ S = \mathcal{T} \, \exp\left( -i \int d^4x \, \mathcal{H}_I(x) \right) \]
这里积分是四维时空积分，\(\mathcal{H}_I\) 是相互作用哈密顿量密度。展开后的每一项可以用费曼图来直观表示和计算，这是量子电动力学（QED）等量子场论中进行微扰计算的根本出发点。
第五步，理解其数学性质和收敛性。Dyson级数是一个算符值函数项级数。其收敛性并非总是保证的，尤其是在量子场论中，级数常常是渐近级数而非收敛级数（存在发散问题，需用重整化处理）。然而，在数学物理中，对于许多合理的、非病态的哈密顿量（例如在有限维希尔伯特空间，或 \(V(t)\) 是光滑且有界的扰动），可以证明在一定时间区间内Dyson级数按算符范数收敛。此外，编时乘积的定义在处理算符值分布（如量子场论中的场算符）时需要更细致的数学处理，这联系到分布理论和重整化。
总结：Dyson展开通过引入编时算符和无穷级数，为求解含时哈密顿量的时间演化提供了一般性框架。它是连接薛定谔方程、微扰论、散射矩阵和费曼图的桥梁，在从量子力学到量子场论的各个层面都是不可或缺的核心数学工具。