随机游走 随机游走是描述一个点随机移动的数学模型，其核心特征是每一步的移动方向和大小由概率决定，且每一步之间通常相互独立。下面我们逐步展开讲解。 1. 基本概念与简单例子 随机游走最经典的例子是 一维简单随机游走 ： 假设一个点在数轴上起始位置为 \( S_ 0 = 0 \)。 每个时刻 \( t=1,2,3,\dots \)，点以概率 \( p \) 向右移动 \( +1 \)，以概率 \( q=1-p \) 向左移动 \( -1 \)。 用随机变量 \( X_ t \) 表示第 \( t \) 步的移动量，则 \( X_ t \) 独立同分布，且 \[ P(X_ t = 1) = p, \quad P(X_ t = -1) = q. \] \( t \) 步后的位置为 \[ S_ t = S_ 0 + X_ 1 + X_ 2 + \dots + X_ t. \] 当 \( p = q = 0.5 \) 时，称为 对称随机游走 。 2. 与随机过程的关系 随机游走是一种离散时间、离散状态的 随机过程 （你已学过随机过程）。 状态空间：所有整数 \( \mathbb{Z} \)（一维情形）。 马尔可夫性：下一步的位置 \( S_ {t+1} \) 只依赖于当前状态 \( S_ t \)，与之前的历史无关，因此随机游走是 马尔可夫链 的一个特例。 3. 关键概率问题 (1) 返回原点问题 在对称随机游走中，一个重要结论是： 一维和二维对称随机游走是 常返的 （以概率 1 返回原点无限多次）。 三维及以上的对称随机游走是 非常返的 （有一定概率永不返回原点）。 (2) 首达时间 定义 \( T_ 0 \) 为从位置 \( k \) 首次到达 0 的时间。在金融数学中，这类似“破产时间”。 可通过递推方程计算 \( P(T_ 0 < \infty) \)： 若 \( p \neq q \)，从 \( k>0 \) 出发，破产概率为 \[ P(\text{到达 0 之前到达 N}) = \frac{(q/p)^k - (q/p)^N}{1 - (q/p)^N}. \] 当 \( N \to \infty \)，若 \( p < q \)，则破产概率为 1；若 \( p > q \)，破产概率为 \( (q/p)^k \)。 4. 扩散极限与布朗运动 当步长缩小、步频增加，随机游走可逼近连续随机过程。 设每步时间为 \( \Delta t \)，步长为 \( \Delta x \)，令 \( \Delta t \to 0 \)，\( \Delta x \to 0 \)，且保持 \[ \frac{(\Delta x)^2}{\Delta t} \to \sigma^2 \] 则对称随机游走收敛到 布朗运动 （维纳过程），其满足： 增量独立； 路径连续； 增量 \( B_ t - B_ s \sim N(0, \sigma^2 (t-s)) \)。 5. 应用领域 金融 ：股价运动模型（几何布朗运动）。 物理 ：分子扩散、热运动。 计算机科学 ：随机算法、PageRank 的随机游走解释。 生态学 ：动物觅食路径模拟。 6. 高级推广 非整数步长 ：步长服从某分布（非仅 ±1）。 高维随机游走 ：在网格或图上移动，用于网络分析。 带漂移的随机游走 ：\( X_ t \) 的期望非零，导致长期趋势。 如果需要进一步深入某个具体方向（如首达时间计算、高维性质、与布朗运动的关系等），我可以继续展开。