量子力学中的Lippman-Schwinger方程

字数 4204 2025-12-20 10:39:43

量子力学中的Lippman-Schwinger方程

好的，我们开始讲解量子力学中的一个核心数学工具——Lippman-Schwinger方程。它在散射理论中扮演着基石般的角色，将复杂的微分方程问题（薛定谔方程）转化为一个更容易分析和求解的积分方程。

第一步：问题的出发点——定态散射

核心目标：我们希望研究一个量子粒子（比如电子）被一个局域的势场 \(V(\mathbf{r})\) 散射的问题。我们关心的是，当粒子从无穷远处以特定动量入射，经过与势场相互作用后，最终在无穷远处被探测到的状态。描述这种稳定过程的是定态薛定谔方程：

\[ (H_0 + V)|\psi\rangle = E |\psi\rangle \]

其中，\(H_0 = \frac{\mathbf{p}^2}{2m}\) 是自由粒子的哈密顿量（动能算符），\(V\) 是相互作用势，\(E\) 是总能量，\(|\psi\rangle\) 是我们寻找的散射态波函数。

边界条件的特殊性：与束缚态问题（波函数在无穷远处趋于零）不同，散射态的边界条件复杂得多。它要求波函数在无穷远处由两部分叠加构成：

一个入射平面波 \(|\phi\rangle\)，满足 \(H_0 |\phi\rangle = E |\phi\rangle\)。
- 一个出射的球面波，代表被势场散射出去的部分。
  这个边界条件（称为Sommerfeld辐射条件）很难直接作为微分方程的边界条件来处理。

第二步：从微分方程到积分方程——形式推导

Lippman-Schwinger方程的巧妙之处在于，它通过“重新排列”薛定谔方程，将这个带有复杂边界条件的微分方程问题，转化为一个适合迭代求解的积分方程。

重新排列方程：我们将定态薛定谔方程改写为：

\[ (E - H_0) |\psi\rangle = V |\psi\rangle \]

这看起来像是一个线性方程 \(A|x\rangle = |b\rangle\)，其中 \(A = (E - H_0)\)， \(|b\rangle = V|\psi\rangle\)。

引入“逆”算符的挑战：直观上，我们想“除”过去得到 \(|\psi\rangle = (E - H_0)^{-1} V |\psi\rangle\)。但这里有严重问题：\((E - H_0)\) 对于能量 \(E > 0\)（散射能量）是奇异的，因为 \(E\) 是 \(H_0\) 连续谱内的点，其逆 \((E - H_0)^{-1}\) 并不是一个定义良好的普通算符。
关键技巧——复平面上的延拓：为了给这个逆一个严格的数学定义，并自动包含出射波的边界条件，物理学家引入了一个无穷小的虚部 \(i\epsilon\)（其中 \(\epsilon \to 0^+\)）。
- 我们定义 出射格林函数（或推迟格林函数） 算符为：

\[ G_0^{(+)}(E) = \lim_{\epsilon \to 0^+} \frac{1}{E - H_0 + i\epsilon} \]

这里的 \(+i\epsilon\) 是关键。从复分析角度看，它使极点从实轴微微“抬起”到上半复平面。在物理上，它保证了当我们将这个算符作用在源项上时，所得的解在无穷远处表现为出射的球面波。

构造积分方程：利用这个定义良好的 \(G_0^{(+)}\)，我们可以形式地将方程写为：

\[ |\psi\rangle = |\phi\rangle + G_0^{(+)} (E) V |\psi\rangle \]

这里我们额外加上了 \(|\phi\rangle\)，它是对应齐次方程 \((E - H_0)|\phi\rangle = 0\) 的解，代表了“特解” \(G_0^{(+)} V|\psi\rangle\) 之外的“通解”，也就是入射波。这个方程就是Lippman-Schwinger方程的抽象希尔伯特空间形式：

\[ |\psi^{(+)}\rangle = |\mathbf{k}\rangle + \frac{1}{E - H_0 + i\epsilon} V |\psi^{(+)}\rangle \]

其中 \(|\psi^{(+)}\rangle\) 明确表示满足出射波边界条件的散射态，\(|\mathbf{k}\rangle\) 是入射平面波（动量本征态），满足 \(H_0 |\mathbf{k}\rangle = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} |\mathbf{k}\rangle\)。

第三步：坐标表象下的具体形式

为了实际计算，我们需要将抽象的方程投影到坐标表象 \(\langle \mathbf{r} |\)。

格林函数的坐标表示：算符 \(G_0^{(+)}(E)\) 在坐标表象下是一个积分核，称为自由粒子推迟格林函数：

\[ G_0^{(+)}(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘; E) = \langle \mathbf{r} | \frac{1}{E - H_0 + i\epsilon} | \mathbf{r}’ \rangle \]

通过计算（涉及傅里叶变换和围道积分），可以得到其显式表达式：

\[ G_0^{(+)}(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘) = -\frac{1}{4\pi} \frac{2m}{\hbar^2} \frac{e^{i k |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \]

其中 \(E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\)。这个函数清晰地展示了出射球面波 \(e^{ikr}/r\) 的形式。

得到积分方程：将抽象方程两边左乘 \(\langle \mathbf{r} |\)，并插入坐标基的完备性关系，我们得到坐标空间下的Lippman-Schwinger方程：

\[ \psi^{(+)}(\mathbf{r}) = \phi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) + \int d^3r’ G_0^{(+)}(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘) V(\mathbf{r}’) \psi^{(+)}(\mathbf{r}’) \]

其中 \(\phi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \frac{e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}}{(2\pi)^{3/2}}\) 是入射平面波。

第四步：数学意义与求解方法

弗雷德霍姆积分方程：上述方程是一个第二类弗雷德霍姆积分方程。积分项 \(\int d^3r’ G_0 V \psi\) 是未知函数 \(\psi\) 本身的泛函。这种形式在数学上比原微分方程+边界条件更易于处理。
迭代求解（玻恩级数）：方程自然地引导出迭代解法：

零级近似：\(\psi^{(0)}(\mathbf{r}) = \phi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})\) （完全忽略势场）。
一级近似：将 \(\psi^{(0)}\) 代入方程右边，得到 \(\psi^{(1)}(\mathbf{r}) = \phi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) + \int d^3r’ G_0^{(+)} V \phi_{\mathbf{k}}\)。
- 不断重复，得到玻恩级数：

\[ |\psi^{(+)}\rangle = |\mathbf{k}\rangle + G_0^{(+)}V|\mathbf{k}\rangle + G_0^{(+)}V G_0^{(+)}V|\mathbf{k}\rangle + \cdots \]

当势场 \(V\) 较弱时，这个级数快速收敛，第一项 \(G_0^{(+)}V|\mathbf{k}\rangle\) 就是著名的一阶玻恩近似。

与散射振幅的联系：我们真正关心的物理量是散射振幅 \(f(\mathbf{k}’, \mathbf{k})\)，它直接给出了微分截面。通过将坐标 \(\mathbf{r}\) 取到远离势场（\(r \to \infty\)）的极限，并利用格林函数的渐近形式，可以从解出的 \(\psi^{(+)}(\mathbf{r})\) 中提取出 \(f(\mathbf{k}’, \mathbf{k})\)：

\[ \psi^{(+)}(\mathbf{r}) \sim \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \left[ e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} + f(\mathbf{k}’， \mathbf{k}) \frac{e^{i k r}}{r} \right]， \quad (r \to \infty) \]

在玻恩近似下，散射振幅正比于势场傅里叶变换在动量转移 \(\mathbf{q} = \mathbf{k}’ - \mathbf{k}\) 处的值。

总结

量子力学中的Lippman-Schwinger方程是一个将定态散射问题重构为积分方程的数学框架。其核心步骤是：

从含势薛定谔方程出发。
通过引入一个带有 \(+i\epsilon\) 规则的格林函数算符 \(G_0^{(+)}(E)\)，巧妙地“求逆”并自动编码出射波边界条件。
将微分方程问题转化为关于散射态 \(|\psi^{(+)}\rangle\) 的第二类积分方程。
该方程是散射理论的严格出发点，为玻恩近似级数、形式散射理论（如T矩阵理论）以及数值求解散射问题提供了系统且强大的工具。它将物理的边界条件内化于方程的形式之中，是连接量子力学基本原理与具体散射计算的关键桥梁。

量子力学中的Lippman-Schwinger方程好的，我们开始讲解量子力学中的一个核心数学工具——Lippman-Schwinger方程。它在散射理论中扮演着基石般的角色，将复杂的微分方程问题（薛定谔方程）转化为一个更容易分析和求解的积分方程。第一步：问题的出发点——定态散射核心目标：我们希望研究一个量子粒子（比如电子）被一个局域的势场 \( V(\mathbf{r}) \) 散射的问题。我们关心的是，当粒子从无穷远处以特定动量入射，经过与势场相互作用后，最终在无穷远处被探测到的状态。描述这种稳定过程的是定态薛定谔方程： \[ (H_ 0 + V)|\psi\rangle = E |\psi\rangle \] 其中，\( H_ 0 = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} \) 是自由粒子的哈密顿量（动能算符），\( V \) 是相互作用势，\( E \) 是总能量，\( |\psi\rangle \) 是我们寻找的散射态波函数。边界条件的特殊性：与束缚态问题（波函数在无穷远处趋于零）不同，散射态的边界条件复杂得多。它要求波函数在无穷远处由两部分叠加构成：一个入射平面波 \( |\phi\rangle \)，满足 \( H_ 0 |\phi\rangle = E |\phi\rangle \)。一个出射的球面波，代表被势场散射出去的部分。这个边界条件（称为Sommerfeld辐射条件）很难直接作为微分方程的边界条件来处理。第二步：从微分方程到积分方程——形式推导 Lippman-Schwinger方程的巧妙之处在于，它通过“重新排列”薛定谔方程，将这个带有复杂边界条件的微分方程问题，转化为一个适合迭代求解的积分方程。重新排列方程：我们将定态薛定谔方程改写为： \[ (E - H_ 0) |\psi\rangle = V |\psi\rangle \] 这看起来像是一个线性方程 \( A|x\rangle = |b\rangle \)，其中 \( A = (E - H_ 0) \)， \( |b\rangle = V|\psi\rangle \)。引入“逆”算符的挑战：直观上，我们想“除”过去得到 \( |\psi\rangle = (E - H_ 0)^{-1} V |\psi\rangle \)。但这里有严重问题：\( (E - H_ 0) \) 对于能量 \( E > 0 \)（散射能量）是奇异的，因为 \( E \) 是 \( H_ 0 \) 连续谱内的点，其逆 \( (E - H_ 0)^{-1} \) 并不是一个定义良好的普通算符。关键技巧——复平面上的延拓：为了给这个逆一个严格的数学定义，并自动包含出射波的边界条件，物理学家引入了一个无穷小的虚部 \( i\epsilon \)（其中 \( \epsilon \to 0^+ \)）。我们定义出射格林函数（或推迟格林函数）算符为： \[ G_ 0^{(+)}(E) = \lim_ {\epsilon \to 0^+} \frac{1}{E - H_ 0 + i\epsilon} \] 这里的 \( +i\epsilon \) 是关键。从复分析角度看，它使极点从实轴微微“抬起”到上半复平面。在物理上，它保证了当我们将这个算符作用在源项上时，所得的解在无穷远处表现为出射的球面波。构造积分方程：利用这个定义良好的 \( G_ 0^{(+)} \)，我们可以形式地将方程写为： \[ |\psi\rangle = |\phi\rangle + G_ 0^{(+)} (E) V |\psi\rangle \] 这里我们额外加上了 \( |\phi\rangle \)，它是对应齐次方程 \( (E - H_ 0)|\phi\rangle = 0 \) 的解，代表了“特解” \( G_ 0^{(+)} V|\psi\rangle \) 之外的“通解”，也就是入射波。这个方程就是Lippman-Schwinger方程的抽象希尔伯特空间形式： \[ |\psi^{(+)}\rangle = |\mathbf{k}\rangle + \frac{1}{E - H_ 0 + i\epsilon} V |\psi^{(+)}\rangle \] 其中 \( |\psi^{(+)}\rangle \) 明确表示满足出射波边界条件的散射态，\( |\mathbf{k}\rangle \) 是入射平面波（动量本征态），满足 \( H_ 0 |\mathbf{k}\rangle = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} |\mathbf{k}\rangle \)。第三步：坐标表象下的具体形式为了实际计算，我们需要将抽象的方程投影到坐标表象 \( \langle \mathbf{r} | \)。格林函数的坐标表示：算符 \( G_ 0^{(+)}(E) \) 在坐标表象下是一个积分核，称为自由粒子推迟格林函数： \[ G_ 0^{(+)}(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘; E) = \langle \mathbf{r} | \frac{1}{E - H_ 0 + i\epsilon} | \mathbf{r}’ \rangle \] 通过计算（涉及傅里叶变换和围道积分），可以得到其显式表达式： \[ G_ 0^{(+)}(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘) = -\frac{1}{4\pi} \frac{2m}{\hbar^2} \frac{e^{i k |\mathbf{r} - \mathbf{r}’|}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}’|} \] 其中 \( E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \)。这个函数清晰地展示了出射球面波 \( e^{ikr}/r \) 的形式。得到积分方程：将抽象方程两边左乘 \( \langle \mathbf{r} | \)，并插入坐标基的完备性关系，我们得到坐标空间下的Lippman-Schwinger方程： \[ \psi^{(+)}(\mathbf{r}) = \phi_ {\mathbf{k}}(\mathbf{r}) + \int d^3r’ G_ 0^{(+)}(\mathbf{r}, \mathbf{r}‘) V(\mathbf{r}’) \psi^{(+)}(\mathbf{r}’) \] 其中 \( \phi_ {\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \frac{e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}}{(2\pi)^{3/2}} \) 是入射平面波。第四步：数学意义与求解方法弗雷德霍姆积分方程：上述方程是一个第二类弗雷德霍姆积分方程。积分项 \( \int d^3r’ G_ 0 V \psi \) 是未知函数 \( \psi \) 本身的泛函。这种形式在数学上比原微分方程+边界条件更易于处理。迭代求解（玻恩级数）：方程自然地引导出迭代解法：零级近似：\( \psi^{(0)}(\mathbf{r}) = \phi_ {\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \) （完全忽略势场）。一级近似：将 \( \psi^{(0)} \) 代入方程右边，得到 \( \psi^{(1)}(\mathbf{r}) = \phi_ {\mathbf{k}}(\mathbf{r}) + \int d^3r’ G_ 0^{(+)} V \phi_ {\mathbf{k}} \)。不断重复，得到玻恩级数： \[ |\psi^{(+)}\rangle = |\mathbf{k}\rangle + G_ 0^{(+)}V|\mathbf{k}\rangle + G_ 0^{(+)}V G_ 0^{(+)}V|\mathbf{k}\rangle + \cdots \] 当势场 \( V \) 较弱时，这个级数快速收敛，第一项 \( G_ 0^{(+)}V|\mathbf{k}\rangle \) 就是著名的一阶玻恩近似。与散射振幅的联系：我们真正关心的物理量是散射振幅 \( f(\mathbf{k}’, \mathbf{k}) \)，它直接给出了微分截面。通过将坐标 \( \mathbf{r} \) 取到远离势场（\( r \to \infty \)）的极限，并利用格林函数的渐近形式，可以从解出的 \( \psi^{(+)}(\mathbf{r}) \) 中提取出 \( f(\mathbf{k}’, \mathbf{k}) \)： \[ \psi^{(+)}(\mathbf{r}) \sim \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \left[ e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} + f(\mathbf{k}’， \mathbf{k}) \frac{e^{i k r}}{r} \right ]， \quad (r \to \infty) \] 在玻恩近似下，散射振幅正比于势场傅里叶变换在动量转移 \( \mathbf{q} = \mathbf{k}’ - \mathbf{k} \) 处的值。总结量子力学中的Lippman-Schwinger方程是一个将定态散射问题重构为积分方程的数学框架。其核心步骤是：从含势薛定谔方程出发。通过引入一个带有 \( +i\epsilon \) 规则的格林函数算符 \( G_ 0^{(+)}(E) \)，巧妙地“求逆”并自动编码出射波边界条件。将微分方程问题转化为关于散射态 \( |\psi^{(+)}\rangle \) 的第二类积分方程。该方程是散射理论的严格出发点，为玻恩近似级数、形式散射理论（如T矩阵理论）以及数值求解散射问题提供了系统且强大的工具。它将物理的边界条件内化于方程的形式之中，是连接量子力学基本原理与具体散射计算的关键桥梁。