多项式环的多项式函数环

字数 3358 2025-12-20 08:22:47

多项式环的多项式函数环

我们首先明确研究对象：设 \(R\) 是一个交换环（通常可考虑域或整数环等），\(X_1, \dots, X_n\) 是一组未定元。多项式环 \(R[X_1, \dots, X_n]\) 是由系数在 \(R\) 中、变量为 \(X_i\) 的多项式构成的环。这个环中的元素是形式表达式 \(\sum a_{i_1 \dots i_n} X_1^{i_1} \dots X_n^{i_n}\)，其中系数 \(a_{i_1 \dots i_n} \in R\)，且仅有有限项非零。

现在，考虑一个 \(R\)-代数 \(A\)（即一个环 \(A\) 配上环同态 \(R \to A\)，使 \(A\) 成为 \(R\)-模）。例如，\(A\) 可以是另一个多项式环，或者某个几何对象的坐标环。对于任意一个 \(n\)-元组 \((a_1, \dots, a_n) \in A^n\)，存在唯一的 \(R\)-代数同态 \(\text{eval}_{(a_1, \dots, a_n)}: R[X_1, \dots, X_n] \to A\)，称为赋值同态，它将每个多项式 \(f(X_1, \dots, X_n)\) 映射到 \(f(a_1, \dots, a_n) \in A\)。这是通过将 \(X_i\) 替换为 \(a_i\) 并按 \(A\) 中的运算计算得到的。

一个关键的问题是：不同的多项式形式是否可能在所有赋值下给出相同的函数值？为此，我们需要引入多项式函数环的概念。

设 \(S\) 是一个集合。考虑所有从 \(S^n\) 到 \(R\) 的函数的集合 \(\text{Func}(S^n, R)\)。这是一个环，其加法和乘法定义为逐点进行：\((f+g)(\mathbf{s}) = f(\mathbf{s}) + g(\mathbf{s})\)，\((f \cdot g)(\mathbf{s}) = f(\mathbf{s}) g(\mathbf{s})\)。现在，取 \(S = R\) 本身。对于多项式环 \(R[X_1, \dots, X_n]\) 中的任意一个多项式 \(f\)，我们可以自然地关联一个函数 \(\tilde{f}: R^n \to R\)，定义为 \(\tilde{f}(r_1, \dots, r_n) = \text{eval}_{(r_1, \dots, r_n)}(f)\)，即用 \(r_i\) 代入 \(X_i\) 后计算的结果。映射 \(f \mapsto \tilde{f}\) 是一个环同态 \(\phi: R[X_1, \dots, X_n] \to \text{Func}(R^n, R)\)。这个同态的像是一个子环，称为 \(R^n\) 上的多项式函数环，记作 \(\mathcal{P}(R^n)\)。

核心问题来了：同态 \(\phi\) 是单射吗？即，如果两个多项式 \(f\) 和 \(g\) 在 \(R^n\) 的每一点取值都相同，它们是否一定作为形式多项式相等？这等价于问 \(\phi\) 的核是否为零。

当 \(R\) 是一个无限域（如实数域 \(\mathbb{R}\)、复数域 \(\mathbb{C}\)）时，答案是肯定的。原因在于，非零多项式 \(f \in R[X_1, \dots, X_n]\) 在无限域 \(R\) 上不可能在所有点为零（这可由归纳法和单变量非零多项式仅有有限个根的性质证明）。因此，\(\text{Ker}(\phi) = 0\)，\(\phi\) 是单射。此时，多项式环 \(R[X_1, \dots, X_n]\) 与其多项式函数环 \(\mathcal{P}(R^n)\) 是自然同构的。我们可以安全地将多项式视为函数而不损失信息。
当 \(R\) 是一个有限环（特别是有限域 \(\mathbb{F}_q\)）时，情况完全不同。设 \(R = \mathbb{F}_q\)，其中 \(q = p^m\)，\(p\) 为素数。考虑单变量多项式 \(f(X) = X^q - X \in \mathbb{F}_q[X]\)。根据有限域的性质，对于任意 \(a \in \mathbb{F}_q\)，都有 \(a^q = a\)。因此，\(f(a) = 0\) 对所有 \(a \in \mathbb{F}_q\) 成立。但是 \(f(X)\) 作为形式多项式并非零多项式（它的次数是 \(q\)）。所以 \(f \in \text{Ker}(\phi)\)，且 \(f \neq 0\)。这意味着 \(\phi\) 不是单射。多项式环 \(\mathbb{F}_q[X]\) 比多项式函数环 \(\mathcal{P}(\mathbb{F}_q)\) “更大”，因为许多不同的多项式定义了同一个函数。

更一般地，对于有限环 \(R\)，集合 \(\text{Func}(R^n, R)\) 本身是一个有限集（因为 \(R^n\) 有限）。然而，多项式环 \(R[X_1, \dots, X_n]\) 是无限的（只要 \(R \neq 0\) 且 \(n \ge 1\)）。因此，无限集到有限集的同态 \(\phi\) 必然有巨大的核。这个核由所有在 \(R^n\) 上取零值的多项式构成。

为了精确描述这个核，我们引入多项式函数环的代数刻画。定义理想 \(I = \langle X_1^q - X_1, X_2^q - X_2, \dots, X_n^q - X_n \rangle\) 于 \(\mathbb{F}_q[X_1, \dots, X_n]\) 中。可以证明，对于有限域 \(\mathbb{F}_q\)，同态 \(\phi\) 的核正是这个理想 \(I\)。因此，多项式函数环 \(\mathcal{P}(\mathbb{F}_q^n)\) 同构于商环 \(\mathbb{F}_q[X_1, \dots, X_n] / I\)。这个商环中的每个元素，都可以由唯一的一个“规范形式”多项式代表，其中每个变量 \(X_i\) 的次数都小于 \(q\)。这是因为在商环中，\(X_i^q\) 等价于 \(X_i\)。

最后，考虑一个应用：插值问题。在无限域上，给定有限个点及其函数值，存在唯一的一个次数足够低的多项式精确经过这些点（如拉格朗日插值）。在有限域 \(\mathbb{F}_q\) 上，给定 \(\mathbb{F}_q^n\) 中任意一组点 \(\{P_1, \dots, P_m\}\) 和任意一组值 \(\{v_1, \dots, v_m\} \subset \mathbb{F}_q\)，总存在一个多项式函数 \(f \in \mathcal{P}(\mathbb{F}_q^n)\) 使得 \(f(P_i) = v_i\)。这是因为我们可以直接构造一个函数（不一定由低次多项式代表）来实现这些赋值。然而，如果要求寻找一个次数有上界的多项式形式来实现插值，问题就变得复杂且与编码理论密切相关（如 Reed-Muller 码的译码问题）。

总结：多项式环与多项式函数环的关系，深刻地依赖于基环 \(R\) 的结构。无限域上二者一致；有限环上，多项式函数环是多项式环关于特定理想的商，这导致了组合、编码和有限几何中的丰富结构。

多项式环的多项式函数环我们首先明确研究对象：设 \( R \) 是一个交换环（通常可考虑域或整数环等），\( X_ 1, \dots, X_ n \) 是一组未定元。多项式环 \( R[ X_ 1, \dots, X_ n] \) 是由系数在 \( R \) 中、变量为 \( X_ i \) 的多项式构成的环。这个环中的元素是形式表达式 \( \sum a_ {i_ 1 \dots i_ n} X_ 1^{i_ 1} \dots X_ n^{i_ n} \)，其中系数 \( a_ {i_ 1 \dots i_ n} \in R \)，且仅有有限项非零。现在，考虑一个 \( R \)-代数 \( A \)（即一个环 \( A \) 配上环同态 \( R \to A \)，使 \( A \) 成为 \( R \)-模）。例如，\( A \) 可以是另一个多项式环，或者某个几何对象的坐标环。对于任意一个 \( n \)-元组 \( (a_ 1, \dots, a_ n) \in A^n \)，存在唯一的 \( R \)-代数同态 \( \text{eval}_ {(a_ 1, \dots, a_ n)}: R[ X_ 1, \dots, X_ n] \to A \)，称为赋值同态，它将每个多项式 \( f(X_ 1, \dots, X_ n) \) 映射到 \( f(a_ 1, \dots, a_ n) \in A \)。这是通过将 \( X_ i \) 替换为 \( a_ i \) 并按 \( A \) 中的运算计算得到的。一个关键的问题是：不同的多项式形式是否可能在所有赋值下给出相同的函数值？为此，我们需要引入多项式函数环的概念。设 \( S \) 是一个集合。考虑所有从 \( S^n \) 到 \( R \) 的函数的集合 \( \text{Func}(S^n, R) \)。这是一个环，其加法和乘法定义为逐点进行：\( (f+g)(\mathbf{s}) = f(\mathbf{s}) + g(\mathbf{s}) \)，\( (f \cdot g)(\mathbf{s}) = f(\mathbf{s}) g(\mathbf{s}) \)。现在，取 \( S = R \) 本身。对于多项式环 \( R[ X_ 1, \dots, X_ n] \) 中的任意一个多项式 \( f \)，我们可以自然地关联一个函数 \( \tilde{f}: R^n \to R \)，定义为 \( \tilde{f}(r_ 1, \dots, r_ n) = \text{eval}_ {(r_ 1, \dots, r_ n)}(f) \)，即用 \( r_ i \) 代入 \( X_ i \) 后计算的结果。映射 \( f \mapsto \tilde{f} \) 是一个环同态 \( \phi: R[ X_ 1, \dots, X_ n] \to \text{Func}(R^n, R) \)。这个同态的像是一个子环，称为 \( R^n \) 上的多项式函数环，记作 \( \mathcal{P}(R^n) \)。核心问题来了：同态 \( \phi \) 是单射吗？即，如果两个多项式 \( f \) 和 \( g \) 在 \( R^n \) 的每一点取值都相同，它们是否一定作为形式多项式相等？这等价于问 \( \phi \) 的核是否为零。当 \( R \) 是一个无限域（如实数域 \( \mathbb{R} \)、复数域 \( \mathbb{C} \)）时，答案是肯定的。原因在于，非零多项式 \( f \in R[ X_ 1, \dots, X_ n] \) 在无限域 \( R \) 上不可能在所有点为零（这可由归纳法和单变量非零多项式仅有有限个根的性质证明）。因此，\( \text{Ker}(\phi) = 0 \)，\( \phi \) 是单射。此时，多项式环 \( R[ X_ 1, \dots, X_ n ] \) 与其多项式函数环 \( \mathcal{P}(R^n) \) 是自然同构的。我们可以安全地将多项式视为函数而不损失信息。当 \( R \) 是一个有限环（特别是有限域 \( \mathbb{F}_ q \)）时，情况完全不同。设 \( R = \mathbb{F}_ q \)，其中 \( q = p^m \)，\( p \) 为素数。考虑单变量多项式 \( f(X) = X^q - X \in \mathbb{F}_ q[ X] \)。根据有限域的性质，对于任意 \( a \in \mathbb{F}_ q \)，都有 \( a^q = a \)。因此，\( f(a) = 0 \) 对所有 \( a \in \mathbb{F}_ q \) 成立。但是 \( f(X) \) 作为形式多项式并非零多项式（它的次数是 \( q \)）。所以 \( f \in \text{Ker}(\phi) \)，且 \( f \neq 0 \)。这意味着 \( \phi \) 不是单射。多项式环 \( \mathbb{F}_ q[ X] \) 比多项式函数环 \( \mathcal{P}(\mathbb{F}_ q) \) “更大”，因为许多不同的多项式定义了同一个函数。更一般地，对于有限环 \( R \)，集合 \( \text{Func}(R^n, R) \) 本身是一个有限集（因为 \( R^n \) 有限）。然而，多项式环 \( R[ X_ 1, \dots, X_ n ] \) 是无限的（只要 \( R \neq 0 \) 且 \( n \ge 1 \)）。因此，无限集到有限集的同态 \( \phi \) 必然有巨大的核。这个核由所有在 \( R^n \) 上取零值的多项式构成。为了精确描述这个核，我们引入多项式函数环的代数刻画。定义理想 \( I = \langle X_ 1^q - X_ 1, X_ 2^q - X_ 2, \dots, X_ n^q - X_ n \rangle \) 于 \( \mathbb{F}_ q[ X_ 1, \dots, X_ n] \) 中。可以证明，对于有限域 \( \mathbb{F}_ q \)，同态 \( \phi \) 的核正是这个理想 \( I \)。因此，多项式函数环 \( \mathcal{P}(\mathbb{F}_ q^n) \) 同构于商环 \( \mathbb{F}_ q[ X_ 1, \dots, X_ n] / I \)。这个商环中的每个元素，都可以由唯一的一个“规范形式”多项式代表，其中每个变量 \( X_ i \) 的次数都小于 \( q \)。这是因为在商环中，\( X_ i^q \) 等价于 \( X_ i \)。最后，考虑一个应用：插值问题。在无限域上，给定有限个点及其函数值，存在唯一的一个次数足够低的多项式精确经过这些点（如拉格朗日插值）。在有限域 \( \mathbb{F}_ q \) 上，给定 \( \mathbb{F}_ q^n \) 中任意一组点 \( \{P_ 1, \dots, P_ m\} \) 和任意一组值 \( \{v_ 1, \dots, v_ m\} \subset \mathbb{F}_ q \)，总存在一个多项式函数 \( f \in \mathcal{P}(\mathbb{F}_ q^n) \) 使得 \( f(P_ i) = v_ i \)。这是因为我们可以直接构造一个函数（不一定由低次多项式代表）来实现这些赋值。然而，如果要求寻找一个次数有上界的多项式形式来实现插值，问题就变得复杂且与编码理论密切相关（如 Reed-Muller 码的译码问题）。总结：多项式环与多项式函数环的关系，深刻地依赖于基环 \( R \) 的结构。无限域上二者一致；有限环上，多项式函数环是多项式环关于特定理想的商，这导致了组合、编码和有限几何中的丰富结构。