基尔霍夫衍射理论 (Kirchhoff Diffraction Theory)
好的，我们现在开始讲解“基尔霍夫衍射理论”。这是一个连接波动光学与数学物理方程的经典范例，它将惠更斯-菲涅尔原理用严格的数学形式表达出来，是处理衍射问题的基石。我会循序渐进地展开。
第一步：物理背景与惠更斯-菲涅尔原理
要理解基尔霍夫的理论，首先要了解其物理前身。
- 衍射现象：当光波（或其他任何波动）遇到障碍物（如小孔、狭缝、尖锐边缘）时，其传播路径会发生弯曲，不再是严格的直线，波阵面会发生改变，这种现象称为衍射。
- 惠更斯原理：惠更斯提出，波阵面上的每一点都可以看作是一个新的次级球面波的波源（子波源）。这些子波向四面八方传播，其后任一时刻的波阵面是所有子波的包络面。这个原理可以定性地解释波的传播。
- 菲涅尔的补充：菲涅尔补充了惠更斯原理的关键一点：从波阵面各点发出的次级波是相干的。因此，观察点（例如P点）的振动强度不是简单的叠加，而是所有这些次级波在P点引起的振动进行相干叠加（积分）的结果。这就是“惠更斯-菲涅尔原理”。
然而，原始的惠更斯-菲涅尔原理存在一些不明确之处：如何定量计算每个子波源的强度（振幅）和相位？子波的传播方向是否有倾向性（倾斜因子）？基尔霍夫的工作正是为了解决这些模糊性。
第二步：数学工具——格林定理与亥姆霍兹方程
基尔霍夫理论的核心数学工具是格林第二恒等式（Green‘s second identity）。
- 亥姆霍兹方程：我们考虑单色光（单一频率 \(\omega\)）。光波的复振幅 \(u(\mathbf{r})\) 在无源区域满足亥姆霍兹方程：
\[ (\nabla^2 + k^2) u(\mathbf{r}) = 0 \]
其中，\(\nabla^2\) 是拉普拉斯算子，\(k = \omega/c\) 是波数。这个方程是从波动方程经过傅里叶变换（分离出时间因子 \(e^{-i\omega t}\)）得到的。
2. 格林定理：格林定理将体积分与面积分联系起来。对于任意两个在体积 \(V\) 内具有连续一、二阶导数的函数 \(u\) 和 \(G\)，有：
\[ \iiint_V (u \nabla^2 G - G \nabla^2 u) dV = \oiint_{\partial V} (u \frac{\partial G}{\partial n} - G \frac{\partial u}{\partial n}) dS \]
这里 \(\partial V\) 是体积 \(V\) 的边界曲面，\(\partial / \partial n\) 表示沿曲面外法线方向的导数。
我们的目标是，选择一个合适的格林函数 \(G\)，将这个定理应用于满足亥姆霍兹方程的复振幅 \(u\)，从而将空间内任意点 \(P\) 的 \(u(P)\) 用边界曲面上的 \(u\) 及其法向导数表示出来。
第三步：基尔霍夫积分公式的推导
这是理论的核心推导步骤。
- 选择格林函数：我们选择自由空间的格林函数，它是位于 \(P_0\) 点的单位点源产生的球面波解：
\[ G(\mathbf{r}, \mathbf{r}_0) = \frac{e^{ikR}}{R}, \quad R = |\mathbf{r} - \mathbf{r}_0| \]
这个函数在除 \(\mathbf{r} = \mathbf{r}_0\) 点外处处满足亥姆霍兹方程 \((\nabla^2 + k^2)G = 0\)。
2. 处理奇点：由于 \(G\) 在 \(P_0\) 点有奇点，我们不能直接将 \(u\) 和 \(G\) 代入格林定理。标准做法是，用一个以 \(P_0\) 点为球心、半径为 \(\epsilon\) 的小球将 \(P_0\) 点从积分区域 \(V\) 中“挖掉”。新的边界由原曲面 \(S\) 和这个小球面 \(S_\epsilon\) 构成。
3. 应用格林定理：在挖掉奇点的区域 \(V‘\) 内应用格林定理，其中 \(u\) 和 \(G\) 都满足亥姆霍兹方程，所以被积函数 \(u \nabla^2 G - G \nabla^2 u = -k^2 uG + k^2 uG = 0\)。因此体积分为零，只剩下边界上的面积分：
\[ \oiint_{S} (u \frac{\partial G}{\partial n} - G \frac{\partial u}{\partial n}) dS + \oiint_{S_\epsilon} (u \frac{\partial G}{\partial n} - G \frac{\partial u}{\partial n}) dS = 0 \]
注意，对于小球面 \(S_\epsilon\)，其外法线方向是指向球心 \(P_0\) 的，与我们通常的定义相反。
4. 计算小球面上的积分：在小球面 \(S_\epsilon\) 上，\(R = \epsilon\)，\(G = e^{ik\epsilon}/\epsilon\)。法向导数 \(\frac{\partial}{\partial n} = -\frac{\partial}{\partial R}\)（因为法线向内）。当 \(\epsilon \to 0\) 时，可以证明：
\[ \lim_{\epsilon \to 0} \oiint_{S_\epsilon} (u \frac{\partial G}{\partial n} - G \frac{\partial u}{\partial n}) dS = -4\pi u(P_0) \]
这个计算利用了 \(e^{ik\epsilon} \approx 1 + ik\epsilon\) 的展开。
5. 得到积分公式：将上述结果代入，整理后得到著名的基尔霍夫积分公式：
\[ u(P_0) = \frac{1}{4\pi} \oiint_{S} \left( u \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{e^{ikR}}{R} \right) - \frac{e^{ikR}}{R} \frac{\partial u}{\partial n} \right) dS \]
这个公式是精确的。它表明，封闭曲面 \(S\) 内的任意一点 \(P_0\) 的波场 \(u(P_0)\)，完全由 \(S\) 面上的 \(u\) 值及其法向导数值决定。这为惠更斯-菲涅尔原理提供了严格的数学基础：曲面 \(S\) 上的每一点都作为一个次级波源（贡献由 \(u\) 和 \(\partial u/\partial n\) 决定），在 \(P_0\) 点叠加产生了总场。
第四步：基尔霍夫衍射公式——应用于平面屏幕衍射
要将上述理论应用于具体的衍射问题（如小孔衍射），基尔霍夫引入了一套边界条件近似。
考虑一个无限大的不透明平面屏幕，其上开有一个孔 \(\Sigma\)。我们想计算屏幕后方某点 \(P_0\) 的光场。
- 选择积分曲面：为了使用基尔霍夫积分公式，我们选择一个闭合曲面 \(S\)，它由三部分组成：
- \(S_1\)：紧贴屏幕后方（包括孔区域 \(\Sigma\) 和屏幕不透明部分）的平面。
- \(S_2\)：一个以 \(P_0\) 为球心、半径趋于无穷大的半球面。
- \(S_3\)：一个围绕 \(P_0\) 点的小球面（处理奇点用，同推导过程）。
- 引入基尔霍夫边界条件：这是一个关键的物理近似。
- 在孔区域 \(\Sigma\)：假设光场 \(u\) 及其法向导数 \(\partial u/\partial n\) 与没有屏幕时的入射波 \(u_{\text{inc}}\) 完全相同。
- 在屏幕不透明部分：假设 \(u = 0\) 且 \(\partial u/\partial n = 0\)。
这些条件被称为“基尔霍夫边界条件”或“屏幕近似”。它们并非严格正确（因为屏幕边缘的存在会扰动场），但在孔径尺寸远大于波长时，是非常好的近似。
- 无穷大半球面的贡献：根据索末菲辐射条件，当球面半径趋于无穷大时，来自 \(S_2\) 的积分为零。
- 得到衍射公式：最终，积分仅剩孔区域 \(\Sigma\) 有贡献。代入基尔霍夫边界条件，我们得到著名的菲涅尔-基尔霍夫衍射公式：
\[ u(P_0) = \frac{1}{i\lambda} \iint_{\Sigma} u_{\text{inc}}(Q) \frac{e^{ikr}}{r} K(\chi) dS \]
这里：
- \(Q\) 是孔 \(\Sigma\) 上的点。
- \(r\) 是从 \(Q\) 到观察点 \(P_0\) 的距离。
- \(K(\chi)\) 是倾斜因子（或称方向因子），\(\chi\) 是入射方向与衍射方向 \((QP_0)\) 之间的夹角。具体形式为 \(K(\chi) = \frac{1}{2}(\cos \theta_0 + \cos \theta)\)，其中 \(\theta_0\) 是入射光线与屏幕法线的夹角，\(\theta\) 是衍射光线 \(QP_0\) 与屏幕法线的夹角。
- 常数因子 \(1/(i\lambda)\) 确保了能量守恒。
第五步：意义、应用与局限
- 物理意义：这个公式完美诠释了惠更斯-菲涅尔原理。它将观察点的场表示为孔面上所有次级点源（子波）贡献的叠加。每个子波源具有以下特性：
- 振幅：与入射波在该点的振幅 \(u_{\text{inc}}(Q)\) 成正比。
- 相位：比入射波超前 \(\pi/2\)（由因子 \(1/i = -i = e^{-i\pi/2}\) 体现），这正是球面子波的特征。
- 球面波形式：以因子 \(e^{ikr}/r\) 传播。
- 方向性：由倾斜因子 \(K(\chi)\) 调制，当 \(\chi = \pi\)（即向后传播）时 \(K=0\)，这解决了原始惠更斯原理中反向波的问题。
- 应用：该公式是标量衍射理论的基础。在特定近似下（如傍轴近似），它可以简化为更易计算的菲涅尔衍射积分和夫琅禾费衍射积分，从而能够计算单缝、圆孔、光栅等各种衍射图样的强度分布。
- 局限性与自洽性问题：
- 标量理论：它忽略了光的矢量本性（偏振效应）。
- 边界条件的不自洽：基尔霍夫边界条件假设在屏幕不透明部分 \(u\) 和 \(\partial u/\partial n\) 同时为零。根据柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理，如果一个解析函数及其法向导数在某个曲面上都为零，那么该函数在邻域内恒为零。这意味着孔内的场也应为零，这与假设矛盾。这就是“基尔霍夫近似”的本质——它是一个非常实用但数学上不完全自洽的物理近似。
- 对于波长与孔径尺寸可比拟的情况，近似失效。
尽管如此，基尔霍夫衍射理论因其惊人的实用性和直观性，至今仍是光学、声学和电磁波工程中分析和计算衍射现象的主要工具。它将一个物理原理转化为一个明确的数学积分公式，是数学物理方程应用于实际问题的典范。