数学课程设计中的概念形成与理解
字数 2319 2025-10-26 19:16:22

数学课程设计中的概念形成与理解

好的，我们开始一个新的词条。今天，我们将深入探讨数学课程设计中一个至关重要的方面：概念形成与理解。这关乎学生如何从无到有地构建数学知识，并达到真正的、深层次的理解，而不仅仅是记住公式和算法。

第一步：什么是数学概念的形成与理解？

首先，我们需要明确“概念形成”与“概念理解”在数学教育中的具体含义。

  • 概念形成：指的是学习者在大脑中建立一个新的数学对象（如“函数”、“导数”、“向量”）的心理表征的过程。这不仅仅是一个被动的接收过程，而是一个主动的、通常充满挑战的建构过程。学生需要从具体的例子、经验、图像和符号中，提炼出本质属性，从而在心中“诞生”这个概念。
  • 概念理解：指的是学习者能够以多种方式（言语、图形、符号、实物）来表征一个概念，并能在不同的表征之间灵活转换；能够理解概念的内在联系和原理（不仅知道“是什么”，更知道“为什么”）；能够将概念应用于新的情境解决问题。

核心区别是：形成关注概念的“诞生”，理解关注概念的“内化”和“活用”。一个设计良好的课程，必须同时促进这两个过程。

第二步：为什么它在课程设计中如此重要？

如果课程设计忽视了概念的形成与理解，而直接跳至技能训练，会导致严重的后果：

  1. 机械学习：学生只会套用公式解题，但一旦题目形式稍变，或需要解释原理时，他们就束手无策。
  2. 知识脆弱：没有深刻理解支撑的知识是孤立的、容易遗忘的。学生无法将新旧知识联系起来，构建坚实的知识网络。
  3. 丧失兴趣：数学变成了一套需要记忆的、无意义的规则，学生无法体会到数学的内在美和逻辑力量，从而丧失学习动力。

因此，课程设计的核心任务之一，就是为学生搭建从具体经验到抽象概念，再从抽象概念到灵活应用的桥梁。

第三步：概念是如何形成的？—— 概念形成的心理路径

课程设计需要遵循人类认知的基本规律。概念形成通常经历以下阶段，课程应提供相应的学习活动：

  1. 具体化与具身体验：

    • 目标：让抽象概念拥有具体的、可感知的根基。
    • 课程设计策略：
      • 使用实物模型（如用立方块学习体积）、数学 manipulatives（如代数块）、计算机动态几何软件（如GeoGebra）。
      • 设计与现实世界紧密相连的情境。例如，在学习“斜率”之前，让学生体验山坡的陡峭程度，或用楼梯的台阶来感受“上升/前进”。

  2. 识别与描述：

    • 目标：从具体体验中识别出共同的、可重复的模式。
    • 课程设计策略：
      • 提供一系列正例和反例。例如，为了形成“菱形”的概念，不仅要展示标准的菱形，还要展示旋转过的、不同大小的菱形（正例），同时展示正方形、平行四边形但不是菱形的图形（反例）。
      • 引导学生用自己语言描述他们观察到的模式。

  3. 抽象与符号化：

    • 目标：从具体模式中抽取出本质属性，并用数学语言和符号进行精确定义。
    • 课程设计策略：
      • 组织学生讨论，比较各自的描述，逐步引导到精确的数学定义。
      • 正式引入数学符号（如用 f(x) 表示函数），并解释符号的意义，建立符号与具体表象之间的联系。

  4. 巩固与整合：

    • 目标：将新概念与已有的知识网络连接起来，使其变得稳固。
    • 课程设计策略：
      • 设计问题，要求学生比较和对比新概念与相关旧概念（如比较“因数”和“倍数”）。
      • 绘制概念图，展示新概念在更大知识体系中的位置。

第四步：如何评估和促进深层次的概念理解？

课程设计中的评估环节也应围绕“理解”来展开。真正的理解可以通过以下方式显现，课程应包含相应的评估任务：

  1. 多元表征及其转换：

    • 评估点：学生能否用情境、图像、符号、语言等多种方式表示同一个概念，并能在其间自由转换？
    • 课程任务示例：给定一个二次函数的解析式 y = x² - 4，要求学生：
      • 画出它的图像（符号→图形）。
      • 描述它代表的实际情境，如抛物运动（符号→情境）。
      • 根据图像写出另一个满足条件的函数（图形→符号）。

  2. 解释与论证：

    • 评估点：学生能否解释一个计算步骤或一个定理背后的理由？
    • 课程任务示例：不仅要求学生会用“分数除法等于乘以其倒数”的法则，更要设计活动让他们通过画图或运用旧知（如除法的意义）来解释“为什么这样算是合理的”。

  3. 应用与创新：

    • 评估点：学生能否在陌生的、非标准化的新问题中运用该概念？
    • 课程任务示例：不直接问“什么是勾股定理”，而是提出一个需要学生自己发现并应用勾股定理的探究性问题，例如“给定一个矩形和对角线上的一个点，如何证明这个点到两个顶点的距离平方和相等？”

第五步：课程设计实例 —— 以“函数”概念为例

一个注重概念形成与理解的“函数”单元课程设计可能如下：

  1. 引入阶段（具体化）：让学生填写一个具体的“输入-输出”表格，如“一个数→它的平方”，或者体验“时间→汽车里程表读数”的关系。
  2. 探究阶段（识别与描述）：提供多种关系实例（有些是函数，如“学生→学号”；有些不是，如“学生→他兄弟姐妹的个数”），让学生分组讨论其异同，初步归纳函数的特征——“每一个输入都对应唯一输出”。
  3. 抽象阶段（定义与符号化）：正式给出函数的集合定义，引入 f(x) 符号，并将之前的具体例子用符号表示出来。
  4. 深化阶段（多元表征与整合）：用同一组函数例子，同时展示其解析式、数据表、图像三种表征。进行转换练习，并将函数与之前学过的方程、图像等知识联系起来。
  5. 评估阶段（评估理解）：布置一个项目，如“寻找生活中的函数关系”，要求学生用至少两种方式（如文字描述+图像）进行表征，并解释为什么它是一个函数。

通过这样循序渐进的设计，学生经历了一个完整的概念建构周期，他们所学到的“函数”将是一个有血有肉、深刻理解的概念，而不仅仅是一个空洞的名词。

数学课程设计中的概念形成与理解 好的，我们开始一个新的词条。今天，我们将深入探讨数学课程设计中一个至关重要的方面： 概念形成与理解 。这关乎学生如何从无到有地构建数学知识，并达到真正的、深层次的理解，而不仅仅是记住公式和算法。 第一步：什么是数学概念的形成与理解？ 首先，我们需要明确“概念形成”与“概念理解”在数学教育中的具体含义。 概念形成 ：指的是学习者在大脑中建立一个新的数学对象（如“函数”、“导数”、“向量”）的心理表征的过程。这不仅仅是一个被动的接收过程，而是一个主动的、通常充满挑战的建构过程。学生需要从具体的例子、经验、图像和符号中，提炼出本质属性，从而在心中“诞生”这个概念。 概念理解 ：指的是学习者能够以多种方式（言语、图形、符号、实物）来表征一个概念，并能在不同的表征之间灵活转换；能够理解概念的内在联系和原理（不仅知道“是什么”，更知道“为什么”）；能够将概念应用于新的情境解决问题。 核心区别是： 形成 关注概念的“诞生”， 理解 关注概念的“内化”和“活用”。一个设计良好的课程，必须同时促进这两个过程。 第二步：为什么它在课程设计中如此重要？ 如果课程设计忽视了概念的形成与理解，而直接跳至技能训练，会导致严重的后果： 机械学习 ：学生只会套用公式解题，但一旦题目形式稍变，或需要解释原理时，他们就束手无策。 知识脆弱 ：没有深刻理解支撑的知识是孤立的、容易遗忘的。学生无法将新旧知识联系起来，构建坚实的知识网络。 丧失兴趣 ：数学变成了一套需要记忆的、无意义的规则，学生无法体会到数学的内在美和逻辑力量，从而丧失学习动力。 因此，课程设计的核心任务之一，就是为学生搭建从具体经验到抽象概念，再从抽象概念到灵活应用的桥梁。 第三步：概念是如何形成的？—— 概念形成的心理路径 课程设计需要遵循人类认知的基本规律。概念形成通常经历以下阶段，课程应提供相应的学习活动： 具体化与具身体验 ： 目标 ：让抽象概念拥有具体的、可感知的根基。 课程设计策略 ： 使用实物模型（如用立方块学习体积）、数学 manipulatives（如代数块）、计算机动态几何软件（如GeoGebra）。 设计与现实世界紧密相连的情境。例如，在学习“斜率”之前，让学生体验山坡的陡峭程度，或用楼梯的台阶来感受“上升/前进”。 识别与描述 ： 目标 ：从具体体验中识别出共同的、可重复的模式。 课程设计策略 ： 提供一系列正例和反例。例如，为了形成“菱形”的概念，不仅要展示标准的菱形，还要展示旋转过的、不同大小的菱形（正例），同时展示正方形、平行四边形但不是菱形的图形（反例）。 引导学生用自己语言描述他们观察到的模式。 抽象与符号化 ： 目标 ：从具体模式中抽取出本质属性，并用数学语言和符号进行精确定义。 课程设计策略 ： 组织学生讨论，比较各自的描述，逐步引导到精确的数学定义。 正式引入数学符号（如用 f(x) 表示函数），并解释符号的意义，建立符号与具体表象之间的联系。 巩固与整合 ： 目标 ：将新概念与已有的知识网络连接起来，使其变得稳固。 课程设计策略 ： 设计问题，要求学生比较和对比新概念与相关旧概念（如比较“因数”和“倍数”）。 绘制概念图，展示新概念在更大知识体系中的位置。 第四步：如何评估和促进深层次的概念理解？ 课程设计中的评估环节也应围绕“理解”来展开。真正的理解可以通过以下方式显现，课程应包含相应的评估任务： 多元表征及其转换 ： 评估点 ：学生能否用情境、图像、符号、语言等多种方式表示同一个概念，并能在其间自由转换？ 课程任务示例 ：给定一个二次函数的解析式 y = x² - 4 ，要求学生： 画出它的图像（符号→图形）。 描述它代表的实际情境，如抛物运动（符号→情境）。 根据图像写出另一个满足条件的函数（图形→符号）。 解释与论证 ： 评估点 ：学生能否解释一个计算步骤或一个定理背后的理由？ 课程任务示例 ：不仅要求学生会用“分数除法等于乘以其倒数”的法则，更要设计活动让他们通过画图或运用旧知（如除法的意义）来解释“为什么这样算是合理的”。 应用与创新 ： 评估点 ：学生能否在陌生的、非标准化的新问题中运用该概念？ 课程任务示例 ：不直接问“什么是勾股定理”，而是提出一个需要学生自己发现并应用勾股定理的探究性问题，例如“给定一个矩形和对角线上的一个点，如何证明这个点到两个顶点的距离平方和相等？” 第五步：课程设计实例 —— 以“函数”概念为例 一个注重概念形成与理解的“函数”单元课程设计可能如下： 引入阶段（具体化） ：让学生填写一个具体的“输入-输出”表格，如“一个数→它的平方”，或者体验“时间→汽车里程表读数”的关系。 探究阶段（识别与描述） ：提供多种关系实例（有些是函数，如“学生→学号”；有些不是，如“学生→他兄弟姐妹的个数”），让学生分组讨论其异同，初步归纳函数的特征——“每一个输入都对应唯一输出”。 抽象阶段（定义与符号化） ：正式给出函数的集合定义，引入 f(x) 符号，并将之前的具体例子用符号表示出来。 深化阶段（多元表征与整合） ：用同一组函数例子，同时展示其解析式、数据表、图像三种表征。进行转换练习，并将函数与之前学过的方程、图像等知识联系起来。 评估阶段（评估理解） ：布置一个项目，如“寻找生活中的函数关系”，要求学生用至少两种方式（如文字描述+图像）进行表征，并解释为什么它是一个函数。 通过这样循序渐进的设计，学生经历了一个完整的概念建构周期，他们所学到的“函数”将是一个有血有肉、深刻理解的概念，而不仅仅是一个空洞的名词。