模的余直积与余积
字数 2583 2025-12-20 02:04:04

模的余直积与余积

首先，我们需要理解“模”的基本概念。给定一个环 \(R\)，一个左 \(R\)-模 \(M\) 是一个配备了标量乘法的阿贝尔群，使得对任意 \(r, s \in R\) 和 \(m, n \in M\)，满足分配律和结合律等公理。这是后续讨论的基础。

接下来，我们需回顾“直和”与“直积”这两个基本构造。你已经知道模的直积与直和，但为了逻辑连贯性，我们需简要对比：

  • 一族模 \(\{M_i\}_{i \in I}\) 的直积 \(\prod_{i \in I} M_i\) 是其笛卡尔积，配备按分量的运算。其核心性质是：存在一族投影同态 \(\pi_j: \prod_{i \in I} M_i \to M_j\) 满足泛性质：对任意模 \(N\) 和一族同态 \(f_i: N \to M_i\)，存在唯一同态 \(f: N \to \prod_{i \in I} M_i\) 使得 \(\pi_i \circ f = f_i\) 对所有 \(i\) 成立。
  • 同族模的直和 \(\bigoplus_{i \in I} M_i\) 是直积的子模，由其中仅有限个非零分量的元素组成。其核心性质是：存在一族包含同态 \(\iota_j: M_j \to \bigoplus_{i \in I} M_i\) 满足泛性质：对任意模 \(N\) 和一族同态 \(g_i: M_i \to N\)，存在唯一同态 \(g: \bigoplus_{i \in I} M_i \to N\) 使得 \(g \circ \iota_i = g_i\) 对所有 \(i\) 成立。

现在，进入新概念。在范畴论语言中，直积对应的是“积”（product），而直和对应的是“余积”（coproduct）。在模范畴中，有限个模的直和与直积是同构的，但无限个时通常不同。我们已明确：直和 正是模范畴中的“余积”。

然而，“余直积”（coproduct）是“余积”的同义词。在代数学，特别是模论中，当我们说“模的余直积”，指的就是模的“直和”构造及其范畴论意义。但“余直积”一词更强调其范畴论对偶性（与直积对偶）。因此，模的余直积 的定义是：一族 \(R\)-模 \(\{M_i\}_{i \in I}\) 的余直积是一个 \(R\)-模 \(C\) 连同一族同态（称为包含同态） \(\iota_i: M_i \to C\)，满足以下泛性质：
对任意 \(R\)-模 \(N\) 和任意一族同态 \(f_i: M_i \to N\)，存在唯一的同态 \(f: C \to N\)，使得对每个 \(i \in I\)，都有 \(f \circ \iota_i = f_i\)。用交换图表示如下：
对每个 \(i\)，有

\[\begin{array}{c} M_i \xrightarrow{\iota_i} C \\ \downarrow{f_i} \ \searrow{\exists! f} \\ N \end{array} \]

接下来，我们具体构造它。这个泛性质唯一确定了余直积（在同构意义下）。我们可以证明，直和 \(\bigoplus_{i \in I} M_i\) 连同标准包含同态 \(\iota_j: M_j \to \bigoplus_{i \in I} M_i\)（将 \(m_j\) 映为第 \(j\) 个分量为 \(m_j\)、其余为零的元）满足上述泛性质。因此，在模范畴中，余直积的实现就是直和。这解释了为什么“模的余直积”通常就是指“模的直和”。

现在，我们深入讨论其关键性质：

  1. 唯一性与泛性质：由范畴论的一般理论，满足上述泛性质的偶 \((C, \{\iota_i\})\) 在同构意义下唯一。这体现了余直积的本质是范畴论对象，不依赖于具体集合构造。
  2. 与直积的对偶性：在模范畴中，直积的泛性质是“从对象进入”，而余直积的泛性质是“从对象出去”。这正是范畴论中“极限”与“余极限”的典型例子：直积是积（极限），余直积是余积（余极限）。
  3. 元素的表示：在余直积 \(C = \bigoplus_{i \in I} M_i\) 中，每个元素可唯一地写成有限和 \(\sum \iota_i(m_i)\)，其中 \(m_i \in M_i\) 且仅有有限个非零。这意味着任意元素来自有限个 \(M_i\) 的贡献。
  4. 同态集的刻画：由泛性质可直接得出同构：对于任意模 \(N\)，有

\[\operatorname{Hom}_R\left( \bigoplus_{i \in I} M_i, N \right) \cong \prod_{i \in I} \operatorname{Hom}_R(M_i, N) \]

这个同构是自然的，它将 \(f: \bigoplus M_i \to N\) 映为族 \((f \circ \iota_i)_{i \in I}\)。这是余直积最重要的应用之一，它将“出去”的同态集分解为各分量的同态集的直积。

为了加深理解，考虑一个重要特例：自由模。设 \(R\) 为环，考虑一族自由模 \(M_i = R\)（即秩1自由模），指标集为 \(I\)。则余直积 \(\bigoplus_{i \in I} R\) 就是秩为 \(|I|\) 的自由 \(R\)-模。其泛性质表现为：从自由模到任意模的同态完全由基的像决定。这实际上是自由模泛性质的推广。

最后，我们讨论“余直积”与“直和”在更一般范畴中的推广。在阿贝尔范畴（模范畴是阿贝尔范畴的典型例子）中，余直积总是存在的，并且具有上述良好性质。但需要注意的是，在某些代数结构范畴中（如群范畴），余直积的实现是自由积，而非直积。这表明余直积的具体构造依赖于范畴。然而在模范畴中，其具体实现就是直和，这使得计算和运用非常方便。

总结：模的余直积是模范畴中的余积，具体构造为直和，其核心特征是用一族包含同态和泛性质来刻画，并导致同态集分解为直积。这个概念是理解模的构造、同调代数及范畴论对偶性的基础。

模的余直积与余积 首先，我们需要理解“模”的基本概念。给定一个环 \(R\)，一个左 \(R\)-模 \(M\) 是一个配备了标量乘法的阿贝尔群，使得对任意 \(r, s \in R\) 和 \(m, n \in M\)，满足分配律和结合律等公理。这是后续讨论的基础。 接下来，我们需回顾“直和”与“直积”这两个基本构造。你已经知道模的直积与直和，但为了逻辑连贯性，我们需简要对比： 一族模 \(\{M_ i\} {i \in I}\) 的 直积 \(\prod {i \in I} M_ i\) 是其笛卡尔积，配备按分量的运算。其核心性质是：存在一族投影同态 \(\pi_ j: \prod_ {i \in I} M_ i \to M_ j\) 满足泛性质：对任意模 \(N\) 和一族同态 \(f_ i: N \to M_ i\)，存在唯一同态 \(f: N \to \prod_ {i \in I} M_ i\) 使得 \(\pi_ i \circ f = f_ i\) 对所有 \(i\) 成立。 同族模的 直和 \(\bigoplus_ {i \in I} M_ i\) 是直积的子模，由其中仅有限个非零分量的元素组成。其核心性质是：存在一族包含同态 \(\iota_ j: M_ j \to \bigoplus_ {i \in I} M_ i\) 满足泛性质：对任意模 \(N\) 和一族同态 \(g_ i: M_ i \to N\)，存在唯一同态 \(g: \bigoplus_ {i \in I} M_ i \to N\) 使得 \(g \circ \iota_ i = g_ i\) 对所有 \(i\) 成立。 现在，进入新概念。在范畴论语言中，直积对应的是“积”（product），而直和对应的是“余积”（coproduct）。在 模范畴 中，有限个模的直和与直积是同构的，但无限个时通常不同。我们已明确： 直和 正是模范畴中的“余积”。 然而，“余直积”（coproduct）是“余积”的同义词。在 代数学 ，特别是模论中，当我们说“模的余直积”，指的就是模的“直和”构造及其范畴论意义。但“余直积”一词更强调其范畴论对偶性（与直积对偶）。因此， 模的余直积 的定义是：一族 \(R\)-模 \(\{M_ i\}_ {i \in I}\) 的余直积是一个 \(R\)-模 \(C\) 连同 一族同态（称为包含同态） \(\iota_ i: M_ i \to C\)，满足以下泛性质： 对任意 \(R\)-模 \(N\) 和任意一族同态 \(f_ i: M_ i \to N\)，存在唯一的同态 \(f: C \to N\)，使得对每个 \(i \in I\)，都有 \(f \circ \iota_ i = f_ i\)。用交换图表示如下： 对每个 \(i\)，有 \[ \begin{array}{c} M_ i \xrightarrow{\iota_ i} C \\ \downarrow{f_ i} \ \searrow{\exists ! f} \\ N \end{array} \] 接下来，我们具体构造它。这个泛性质唯一确定了余直积（在同构意义下）。我们可以证明， 直和 \(\bigoplus_ {i \in I} M_ i\) 连同标准包含同态 \(\iota_ j: M_ j \to \bigoplus_ {i \in I} M_ i\)（将 \(m_ j\) 映为第 \(j\) 个分量为 \(m_ j\)、其余为零的元）满足上述泛性质。因此，在模范畴中， 余直积的实现就是直和 。这解释了为什么“模的余直积”通常就是指“模的直和”。 现在，我们深入讨论其关键性质： 唯一性与泛性质 ：由范畴论的一般理论，满足上述泛性质的偶 \((C, \{\iota_ i\})\) 在同构意义下唯一。这体现了余直积的本质是范畴论对象，不依赖于具体集合构造。 与直积的对偶性 ：在模范畴中，直积的泛性质是“从对象进入”，而余直积的泛性质是“从对象出去”。这正是范畴论中“极限”与“余极限”的典型例子：直积是积（极限），余直积是余积（余极限）。 元素的表示 ：在余直积 \(C = \bigoplus_ {i \in I} M_ i\) 中，每个元素可唯一地写成有限和 \(\sum \iota_ i(m_ i)\)，其中 \(m_ i \in M_ i\) 且仅有有限个非零。这意味着任意元素来自有限个 \(M_ i\) 的贡献。 同态集的刻画 ：由泛性质可直接得出同构：对于任意模 \(N\)，有 \[ \operatorname{Hom} R\left( \bigoplus {i \in I} M_ i, N \right) \cong \prod_ {i \in I} \operatorname{Hom} R(M_ i, N) \] 这个同构是自然的，它将 \(f: \bigoplus M_ i \to N\) 映为族 \((f \circ \iota_ i) {i \in I}\)。这是余直积最重要的应用之一，它将“出去”的同态集分解为各分量的同态集的直积。 为了加深理解，考虑一个重要特例： 自由模 。设 \(R\) 为环，考虑一族自由模 \(M_ i = R\)（即秩1自由模），指标集为 \(I\)。则余直积 \(\bigoplus_ {i \in I} R\) 就是秩为 \(|I|\) 的自由 \(R\)-模。其泛性质表现为：从自由模到任意模的同态完全由基的像决定。这实际上是自由模泛性质的推广。 最后，我们讨论“余直积”与“直和”在更一般范畴中的推广。在阿贝尔范畴（模范畴是阿贝尔范畴的典型例子）中，余直积总是存在的，并且具有上述良好性质。但需要注意的是，在某些代数结构范畴中（如群范畴），余直积的实现是自由积，而非直积。这表明余直积的具体构造依赖于范畴。然而在模范畴中，其具体实现就是直和，这使得计算和运用非常方便。 总结： 模的余直积 是模范畴中的余积，具体构造为直和，其核心特征是用一族包含同态和泛性质来刻画，并导致同态集分解为直积。这个概念是理解模的构造、同调代数及范畴论对偶性的基础。