分式线性变换 分式线性变换是复变函数中一类重要的映射，其形式为： \[ w = f(z) = \frac{az + b}{cz + d} \] 其中 \(a, b, c, d\) 为复数，且满足 \(ad - bc \neq 0\)（这一条件确保变换非退化，即不是常数函数）。下面逐步展开讲解： 1. 基本定义与退化条件 形式 ：变换由四个复参数决定，但整体相差一个非零倍数时表示同一映射（即 \(\frac{az+b}{cz+d} = \frac{\lambda az + \lambda b}{\lambda cz + \lambda d}\)）。因此，变换实际上由三个独立参数决定。 非退化条件 ：若 \(ad - bc = 0\)，则分子与分母线性相关，函数退化为常数（例如当 \(c \neq 0\) 时，\(w \equiv \frac{a}{c}\)）。要求 \(ad - bc \neq 0\) 是为保证变换的可逆性。 2. 变换的分解与几何意义 分式线性变换可分解为一系列简单变换的复合： \[ w = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c(cz + d)} \quad (c \neq 0) \] 具体步骤为： 平移 ：\(z_ 1 = z + \frac{d}{c}\) 反演 ：\(z_ 2 = \frac{1}{z_ 1}\) 旋转与伸缩 ：\(z_ 3 = \frac{bc - ad}{c^2} z_ 2\) 平移 ：\(w = z_ 3 + \frac{a}{c}\) 当 \(c = 0\) 时，变换退化为线性函数 \(w = \frac{a}{d}z + \frac{b}{d}\)。 这种分解表明，分式线性变换由平移、旋转、伸缩和反演构成，反演是关键步骤，对应复平面上的几何反转。 3. 保性质：保圆性与保角性 保圆性 ：分式线性变换将扩展复平面（\(\mathbb{C} \cup \{\infty\}\)）上的圆周或直线映射为圆周或直线。这里的“直线”可视为半径为无穷大的圆。例如，反演变换 \(w = 1/z\) 将过原点的直线映射为过原点的直线，将不