哈恩-巴拿赫定理 我们先从线性泛函的延拓问题开始理解这个定理的背景。设X是一个赋范线性空间，M是X的线性子空间。假设我们在M上定义了一个线性泛函f: M → ℝ（或ℂ），并且f是有界的（即存在常数C使得对于所有x∈M，|f(x)| ≤ C∥x∥）。一个自然的问题是：我们能否将f延拓到整个空间X上，得到一个线性泛函F: X → ℝ（或ℂ），使得F在M上的限制等于f（即F|_ M = f），并且保持范数不变（即∥F∥ = ∥f∥_ M）？ 哈恩-巴拿赫定理的核心结论是：这种保范延拓总是可能的。更精确的实数域上的定理表述如下： 定理（实哈恩-巴拿赫定理） ：设X是实数域上的赋范线性空间，M是X的线性子空间，f: M → ℝ是一个有界线性泛函。那么存在一个定义在全空间X上的有界线性泛函F: X → ℝ，满足： 延拓性：对于所有x ∈ M，有 F(x) = f(x)。 保范性：∥F∥_ X = ∥f∥_ M。 这个定理的证明思路是构造性的，通常使用佐恩引理。基本想法是：考虑所有满足条件的“部分延拓”的集合（即定义在包含M的某个子空间上，并且是f的保范延拓的线性泛函）。在这个集合上定义偏序（通过定义域的包含关系），然后证明每个全序子集都有上界，从而由佐恩引理存在极大元。最后证明这个极大元的定义域必须是整个X，否则可以进一步延拓，与极大性矛盾。 接下来是复数域的情况。由于复数域上的线性泛函f(x)可以分解为实部Ref(x)和虚部Imf(x)，并且它们通过关系f(ix) = if(x)相互关联。实部Ref是一个实线性泛函（即在实数域上是线性的），并且满足Ref(ix) = -Imf(x)。复形式的哈恩-巴拿赫定理可以通过考虑泛函的实部来证明： 定理（复哈恩-巴拿赫定理） ：设X是复数域上的赋范线性空间，M是X的线性子空间，f: M → ℂ是一个有界线性泛函。那么存在一个定义在全空间X上的有界线性泛函F: X → ℂ，满足： 延拓性：对于所有x ∈ M，有 F(x) = f(x)。 保范性：∥F∥_ X = ∥f∥_ M。 哈恩-巴拿赫定理有几个重要的推论： 足够多的连续线性泛函 ：对X中任意非零向量x₀ ≠ 0，存在一个连续线性泛函f ∈ X* （X的对偶空间），使得f(x₀) = ∥x₀∥ 且 ∥f∥ = 1。这表明对偶空间X* 中的泛函足够多，能够区分X中的点。 最佳逼近 ：在逼近论中，该定理可用于证明最佳逼近元的存在性。 凸集分离定理 的基础：哈恩-巴拿赫定理的几何形式是凸集分离定理，这是优化理论中的重要工具。 这个定理的重要性在于它保证了连续线性泛函的存在性，使得我们可以用这些泛函来研究赋范空间的结构，为对偶理论奠定了基础。