量子力学中的Haldane相位 首先，理解这个概念需要从更基础的背景开始。我们知道，量子力学中描述一个系统的状态可以用波函数来表示。在多粒子系统，特别是凝聚态物理中，我们常常关注系统的“基态”——即能量最低的状态。一个关键问题是：如何区分两个不同的“绝缘体”基态？从传统能带理论看，如果它们都有能隙（即电子激发需要消耗有限能量），并且都满足相同的对称性，那么它们似乎是等价的。Haldane相位的发现，揭示了一种新的可能性：即使在没有外加磁场、系统保持时间反演对称性的情况下，一维自旋链或某些拓扑绝缘体中，也可以存在一种由整体拓扑性质区分的相，这种拓扑性质就通过“Haldane相位”来表征。 为了更具体，我们进入第一步：考虑一个经典模型——一维反铁磁海森堡模型。这个模型描述一列自旋，相邻自旋倾向于反平行排列。对于半整数自旋（如自旋1/2）和整数自旋（如自旋1），其量子行为有根本区别。著名的“Lieb-Schultz-Mattis定理”和后来的“Haldane猜想”指出：一维反铁磁海森堡模型中， 半整数自旋的链其激发谱是无能隙的 ，而 整数自旋的链其激发谱是有能隙的 。Haldane在1983年对自旋1的链进行理论分析，预言了这种有能隙的相，后来被称为Haldane相。 第二步，我们需要深入这个“有能隙的相”内部。仅仅有能隙还不够，关键在于它的拓扑性质。Haldane相是一种 对称性保护拓扑相 。在最初Haldane考虑的S=1链中，系统保护了三种对称性： 自旋旋转对称性 、 时间反演对称性 和 空间反演对称性 。在这个对称性框架下，Haldane相无法通过局部幺正变换连续地（不关闭能隙、不破坏对称性）变到另一个平庸的绝缘相（比如直积态）。这标志着它具有非平庸的拓扑序。 第三步，如何数学上刻画和探测这种拓扑序？由于没有局域序参数，我们需要寻找全局性的拓扑不变量。一个核心工具是** entanglement entropy（纠缠熵）** 和** entanglement spectrum（纠缠谱） 。当我们把一维链从中间切成两半，研究左右两部分之间的纠缠时，可以发现Haldane相具有非平庸的边缘态。更精确地说，对于无限长的开边界链，Haldane相的两端会出现 分数化的边缘自旋（如有效S=1/2）** 。这在能谱上体现为边界存在低能简并态。这个现象是体边对应的体现：体相的拓扑性质（由整数拓扑不变量描述）决定了边界无能隙模式的存在。 第四步，从更抽象的代数角度理解，Haldane相与** projective symmetry group** 有关。考虑系统的对称群G（例如自旋旋转SO(3)群）。在系统边界上，物理态在对称变换下可能不是线性表示，而是** projective表示** （或称射影表示，即表示矩阵满足群乘法规则，但允许出现相位因子）。能否出现射影表示，由该对称群的 群上同调 \(H^2(G, U(1))\) 分类。对于SO(3)群，\(H^2(SO(3), U(1)) = Z_ 2\)，恰好对应两种相：平庸相（线性表示）和Haldane相（非平庸射影表示）。这为Haldane相提供了深刻的群论和拓扑分类。 第五步，扩展到更广的语境。Haldane相的概念不局限于S=1自旋链。它已成为研究一维对称性保护拓扑相的原型。当保护对称性是 时间反演对称性T（满足T^2=1）、粒子-空穴对称性或Z2×Z2对称性 等不同组合时，存在一系列类似的拓扑相。通过矩阵乘积态表示，可以清晰地展示这些相。MPS的“虚拟空间”的对称性变换性质直接对应了上述的射影表示，其拓扑不变量（如缠绕数、Z2指标）可以从中计算。 最后，总结一下：Haldane相位标志着一类具有体边对应的对称性保护拓扑相，其基态无法用局部序参数区分，但具有非平庸的纠缠结构和受对称性保护的边界激发。它的数学描述结合了拓扑不变量、群的上同调理论和矩阵乘积态的表示理论，是连接量子多体物理、拓扑学和代数的典范。