符号测度
字数 2337 2025-10-26 19:16:22

符号测度

我们从一个熟悉的概念出发：测度。在实分析中，测度是给集合赋予一个“大小”或“体积”的非负数值。例如，勒贝格测度就是长度、面积和体积概念的推广。

然而，在某些数学和物理问题中，我们不仅需要衡量“大小”，还需要考虑“方向”或“电荷”。一个集合的“测度”可能为正，也可能为负。这就引出了符号测度的概念。

1. 符号测度的定义

形式上，设 \((X, \mathcal{F})\) 是一个可测空间（其中 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个σ-代数）。一个函数 \(\nu: \mathcal{F} \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\) 或 \(\nu: \mathcal{F} \to \mathbb{R} \cup \{-\infty\}\) 被称为一个符号测度，如果它满足以下两个条件：
a) \(\nu(\emptyset) = 0\)。
b) 可数可加性：对于 \(\mathcal{F}\) 中任意一列两两不交的集合 \(\{E_i\}_{i=1}^{\infty}\)，有

\[\nu\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} E_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} \nu(E_i)。 \]

这里的关键点是，\(\nu\) 的值域扩展到了整个实数轴（但只能允许正无穷或负无穷之一出现，以避免出现未定义的 \(\infty - \infty\) 情况），而普通的测度则要求值域在 \([0, +\infty]\) 中。

2. 一个基本例子：两个测度的差

符号测度最自然、最重要的例子是两个正测度之差。设 \(\mu_1\) 和 \(\mu_2\) 是 \((X, \mathcal{F})\) 上的两个正测度（即我们熟悉的非负测度），并且其中至少有一个是有限测度（即其值域在 \([0, +\infty)\) 内，不取 \(+\infty\)）。那么，由

\[\nu(E) = \mu_1(E) - \mu_2(E) \]

定义的函数 \(\nu\) 就是一个符号测度。这个条件（至少一个有限）确保了在相减时不会出现 \(+\infty - (+\infty)\) 这种未定式。

3. 符号测度的基本性质

由于符号测度允许取负值，它的行为与正测度有很大不同。

  • 单调性不成立：如果 \(A \subset B\)，我们不能推断出 \(\nu(A) \leq \nu(B)\)。因为可能 \(\nu(B\setminus A)\) 是一个很大的负数，导致 \(\nu(B) < \nu(A)\)。
  • 可减性：如果 \(A \subset B\) 且 \(|\nu(A)| < \infty\)，那么 \(\nu(B \setminus A) = \nu(B) - \nu(A)\)。这个性质是成立的，它由可数可加性直接推出。

4. 哈恩分解定理

为了更深入地理解符号测度的结构，一个核心工具是哈恩分解定理。该定理指出，对于可测空间 \((X, \mathcal{F})\) 上的任何一个符号测度 \(\nu\)，存在一个将空间 \(X\) 划分为两个不交可测集的方法：

\[X = P \cup N, \quad P \cap N = \emptyset， \]

使得：

  • 对于每一个可测集 \(E \subset P\)，都有 \(\nu(E) \geq 0\)。我们称 \(P\) 为一个正集。
  • 对于每一个可测集 \(E \subset N\)，都有 \(\nu(E) \leq 0\)。我们称 \(N\) 为一个负集。

这个分解 \((P, N)\) 被称为 \(\nu\) 的一个哈恩分解。直观上，它将整个空间分成了两部分：一部分上 \(\nu\) 的行为“像”一个正测度（总是非负），另一部分上 \(\nu\) 的行为“像”一个负测度（总是非正）。哈恩分解在本质上是不唯一的，但任何两个哈恩分解之间只相差一个\(\nu\)-零测集。

5. 若尔当分解定理

哈恩分解定理直接引出了一个更精确的结构定理——若尔当分解定理。该定理断言，任何符号测度 \(\nu\) 都可以唯一地表示为两个相互奇异的正测度之差：

\[\nu = \nu^+ - \nu^-。 \]

这里：

  • \(\nu^+\) 称为 \(\nu\) 的正变差，它通过正集 \(P\) 来定义：对任何可测集 \(E\)，\(\nu^+(E) = \nu(E \cap P)\)。
  • \(\nu^-\) 称为 \(\nu\) 的负变差，它通过负集 \(N\) 来定义：对任何可测集 \(E\)，\(\nu^-(E) = -\nu(E \cap N)\)。
  • \(\nu^+\) 和 \(\nu^-\) 是相互奇异的正测度，这意味着存在一个哈恩分解 \(X = P \cup N\)，使得 \(\nu^+(N) = 0\) 且 \(\nu^-(P) = 0\)。

此外，我们定义 \(|\nu| = \nu^+ + \nu^-\) 为 \(\nu\) 的全变差，它是一个正测度，衡量了 \(\nu\) 的“总振动幅度”。

总结

符号测度是普通正测度的一个自然推广，它通过允许取负值来建模更复杂的“分布”问题。它的核心结构由哈恩分解和若尔当分解揭示：任何符号测度都可以被清晰地分解为它的“正部分”和“负部分”，从而可以运用正测度的理论来分别研究它们。这个概念是学习更高级课题（如拉东-尼科迪姆定理和关于符号测度的积分理论）的基础。

符号测度 我们从一个熟悉的概念出发：测度。在实分析中，测度是给集合赋予一个“大小”或“体积”的非负数值。例如，勒贝格测度就是长度、面积和体积概念的推广。 然而，在某些数学和物理问题中，我们不仅需要衡量“大小”，还需要考虑“方向”或“电荷”。一个集合的“测度”可能为正，也可能为负。这就引出了符号测度的概念。 1. 符号测度的定义 形式上，设 \((X, \mathcal{F})\) 是一个可测空间（其中 \(\mathcal{F}\) 是 \(X\) 上的一个σ-代数）。一个函数 \(\nu: \mathcal{F} \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}\) 或 \(\nu: \mathcal{F} \to \mathbb{R} \cup \{-\infty\}\) 被称为一个 符号测度 ，如果它满足以下两个条件： a) \(\nu(\emptyset) = 0\)。 b) 可数可加性 ：对于 \(\mathcal{F}\) 中任意一列两两不交的集合 \(\{E_ i\} {i=1}^{\infty}\)，有 \[ \nu\left( \bigcup {i=1}^{\infty} E_ i \right) = \sum_ {i=1}^{\infty} \nu(E_ i)。 \] 这里的关键点是，\(\nu\) 的值域扩展到了整个实数轴（但只能允许正无穷或负无穷之一出现，以避免出现未定义的 \(\infty - \infty\) 情况），而普通的测度则要求值域在 \([ 0, +\infty ]\) 中。 2. 一个基本例子：两个测度的差 符号测度最自然、最重要的例子是两个正测度之差。设 \(\mu_ 1\) 和 \(\mu_ 2\) 是 \((X, \mathcal{F})\) 上的两个正测度（即我们熟悉的非负测度），并且其中至少有一个是有限测度（即其值域在 \( [ 0, +\infty)\) 内，不取 \(+\infty\)）。那么，由 \[ \nu(E) = \mu_ 1(E) - \mu_ 2(E) \] 定义的函数 \(\nu\) 就是一个符号测度。这个条件（至少一个有限）确保了在相减时不会出现 \(+\infty - (+\infty)\) 这种未定式。 3. 符号测度的基本性质 由于符号测度允许取负值，它的行为与正测度有很大不同。 单调性不成立 ：如果 \(A \subset B\)，我们 不能 推断出 \(\nu(A) \leq \nu(B)\)。因为可能 \(\nu(B\setminus A)\) 是一个很大的负数，导致 \(\nu(B) < \nu(A)\)。 可减性 ：如果 \(A \subset B\) 且 \(|\nu(A)| < \infty\)，那么 \(\nu(B \setminus A) = \nu(B) - \nu(A)\)。这个性质是成立的，它由可数可加性直接推出。 4. 哈恩分解定理 为了更深入地理解符号测度的结构，一个核心工具是 哈恩分解定理 。该定理指出，对于可测空间 \((X, \mathcal{F})\) 上的任何一个符号测度 \(\nu\)，存在一个将空间 \(X\) 划分为两个不交可测集的方法： \[ X = P \cup N, \quad P \cap N = \emptyset， \] 使得： 对于每一个可测集 \(E \subset P\)，都有 \(\nu(E) \geq 0\)。我们称 \(P\) 为一个 正集 。 对于每一个可测集 \(E \subset N\)，都有 \(\nu(E) \leq 0\)。我们称 \(N\) 为一个 负集 。 这个分解 \((P, N)\) 被称为 \(\nu\) 的一个 哈恩分解 。直观上，它将整个空间分成了两部分：一部分上 \(\nu\) 的行为“像”一个正测度（总是非负），另一部分上 \(\nu\) 的行为“像”一个负测度（总是非正）。哈恩分解在本质上是不唯一的，但任何两个哈恩分解之间只相差一个\(\nu\)-零测集。 5. 若尔当分解定理 哈恩分解定理直接引出了一个更精确的结构定理—— 若尔当分解定理 。该定理断言，任何符号测度 \(\nu\) 都可以唯一地表示为两个相互奇异的正测度之差： \[ \nu = \nu^+ - \nu^-。 \] 这里： \(\nu^+\) 称为 \(\nu\) 的 正变差 ，它通过正集 \(P\) 来定义：对任何可测集 \(E\)，\(\nu^+(E) = \nu(E \cap P)\)。 \(\nu^-\) 称为 \(\nu\) 的 负变差 ，它通过负集 \(N\) 来定义：对任何可测集 \(E\)，\(\nu^-(E) = -\nu(E \cap N)\)。 \(\nu^+\) 和 \(\nu^-\) 是相互奇异的正测度，这意味着存在一个哈恩分解 \(X = P \cup N\)，使得 \(\nu^+(N) = 0\) 且 \(\nu^-(P) = 0\)。 此外，我们定义 \(|\nu| = \nu^+ + \nu^-\) 为 \(\nu\) 的 全变差 ，它是一个正测度，衡量了 \(\nu\) 的“总振动幅度”。 总结 符号测度是普通正测度的一个自然推广，它通过允许取负值来建模更复杂的“分布”问题。它的核心结构由哈恩分解和若尔当分解揭示：任何符号测度都可以被清晰地分解为它的“正部分”和“负部分”，从而可以运用正测度的理论来分别研究它们。这个概念是学习更高级课题（如拉东-尼科迪姆定理和关于符号测度的积分理论）的基础。