模的张量积函子与左正合性
好的，让我们来探讨模论中一个非常核心且实用的概念：张量积函子的左正合性。理解这个概念，需要我们循序渐进地回顾和组合多个已知知识点。
第一步：回顾基础——模与张量积的定义
- 模：你已经知道，给定一个环 \(R\)，一个左 \(R\)-模 \(M\) 是一个配备了与 \(R\) 中元素“数乘”运算的阿贝尔群。右 \(R\)-模的定义类似。
- 张量积：你也已经学过张量积 这个概念。对于一个右 \(R\)-模 \(M\) 和一个左 \(R\)-模 \(N\)，它们的张量积 \(M \otimes_R N\) 是一个阿贝尔群。它的构造旨在“平衡”掉 \(R\) 的作用。其核心性质是“万有性质”：任何一个 \(R\)-平衡双线性映射 \(f: M \times N \to A\)（其中 \(A\) 是阿贝尔群），都可以唯一地通过 \(M \otimes_R N\) 分解。
第二步：从构造到函子——张量积函子
张量积不仅是一个孤立的构造，更是一个“机器”，它能将一个模变成另一个模。这就是函子的思想。
- 固定一个模：我们固定一个右 \(R\)-模 \(M\)。
- 定义一个函子：我们可以利用这个固定的 \(M\) 来定义一个函子，记作 \(M \otimes_R -\)。
- 对象映射：这个函子作用于任意一个左 \(R\)-模 \(N\)，输出阿贝尔群 \(M \otimes_R N\)。
- 态射映射：更重要的是，它也作用于模同态。假设有一个左 \(R\)-模同态 \(f: N \to N'\)。那么我们可以构造一个阿贝尔群同态：
\[ M \otimes_R f: M \otimes_R N \to M \otimes_R N' \]
这个映射的定义是“逐个作用”：对于生成元 \(m \otimes n \in M \otimes_R N\)，我们定义 \((M \otimes_R f)(m \otimes n) = m \otimes f(n)\)，然后利用双线性的性质将其扩展到整个张量积上。这个映射通常也简记为 \(1_M \otimes f\)。
3. 函子的性质：容易验证，这样定义的 \(M \otimes_R -\) 满足函子的条件：它保持恒等态射（\(M \otimes_R 1_N = 1_{M \otimes_R N}\)）和态射的复合（\(M \otimes_R (g \circ f) = (M \otimes_R g) \circ (M \otimes_R f)\)）。因此，\(M \otimes_R -\) 是一个从左 \(R\)-模范畴到阿贝尔群范畴的函子。同理，固定左模 \(N\) 可得函子 \(- \otimes_R N\)。
第三步：核心目标——探索函子的“正合性”
在模的正合序列知识基础上，我们知道函子作用于一个正合序列时，可能破坏其正合性。函子保持正合性的程度是其非常重要的性质。
- 右正合函子：如果一个函子 \(F\) 将任意右正合序列（即形如 \(A \xrightarrow{\alpha} B \xrightarrow{\beta} C \to 0\) 的正合序列）变成正合序列 \(F(A) \xrightarrow{F(\alpha)} F(B) \xrightarrow{F(\beta)} F(C) \to 0\)，则称 \(F\) 是右正合函子。
- 左正合函子：类似地，如果一个函子 \(F\) 将任意左正合序列（即形如 \(0 \to A \xrightarrow{\alpha} B \xrightarrow{\beta} C\) 的正合序列）变成正合序列 \(0 \to F(A) \xrightarrow{F(\alpha)} F(B) \xrightarrow{F(\beta)} F(C)\)，则称 \(F\) 是左正合函子。
第四步：张量积函子不是左正合的——关键结论与例子
现在我们来分析函子 \(M \otimes_R -\) 的正合性。这里有一个关键且有时反直觉的结论：
定理：对于任意环 \(R\) 和任意右 \(R\)-模 \(M\)，函子 \(M \otimes_R -\) 是右正合函子，但不一定是左正合函子。
这意味着什么？让我们详细分解：
- 右正合性：如果有一个左 \(R\)-模的正合序列
\[ N' \xrightarrow{f} N \xrightarrow{g} N'' \to 0， \]
那么通过函子 \(M \otimes_R -\) 作用后，得到的序列
\[ M \otimes_R N' \xrightarrow{1 \otimes f} M \otimes_R N \xrightarrow{1 \otimes g} M \otimes_R N'' \to 0 \]
仍然是正合的。也就是说，张量积函子“保持商映射的正合性”。这个结论可以通过张量积的万有性质来证明。
- 非左正合性：如果有一个左 \(R\)-模的正合序列
\[ 0 \to N' \xrightarrow{f} N \xrightarrow{g} N'', \]
那么通过函子 \(M \otimes_R -\) 作用后，得到的序列
\[ 0 \to M \otimes_R N' \xrightarrow{1 \otimes f} M \otimes_R N \xrightarrow{1 \otimes g} M \otimes_R N'' \]
不一定 是正合的。它可能在最左边失去正合性，即映射 \(1 \otimes f\) 可能不是单射。
第五步：理解“非左正合”的实质——一个经典例子
理解为什么 \(1 \otimes f\) 可能不是单射至关重要。这反映了“模 \(M\) 的结构”与“序列中的映射 \(f\)”可能存在某种不兼容。
- 经典例子：考虑环 \(R = \mathbb{Z}\)（整数环），模 \(M = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)（整数模2）。
- 构造一个左正合序列：考虑 \(\mathbb{Z}\)-模范畴（即阿贝尔群范畴）中的序列：
\[ 0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z} \xrightarrow{\pi} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \to 0。 \]
这里 \(\times 2\) 表示乘以2的映射，\(\pi\) 是商映射。序列 \(0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{\times 2} \mathbb{Z}\) 显然是正合的（乘以2是一个单射）。
- 用函子 \(M \otimes_{\mathbb{Z}} -\) 作用：
- \(M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)。
- 映射 \(1 \otimes (\times 2)： \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}\) 作用在生成元 \(1 \otimes 1\) 上，结果为 \(1 \otimes 2 = 2 \otimes 1 = 0 \otimes 1 = 0\)。
- 因此，这个映射是零映射！它把整个 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 映成了0。
- 结论：经过张量作用后的序列是：
\[ 0 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}。 \]
第一个映射是零映射，显然不是单射。所以序列在 \(0 \to M \otimes_R N'\) 处不正合，函子 \(M \otimes_R -\) 不是左正合的。
第六步：左正合性的特殊情形——平坦模
“非左正合”的现象是由于模 \(M\) 本身可能具有“扭转”性质（如例子中的 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 是扭模）。如果我们对 \(M\) 加以限制，就可以恢复左正合性。这正是模的平坦模 这个概念的核心动机。
定义：一个右 \(R\)-模 \(M\) 如果使得函子 \(M \otimes_R -\) 是正合函子（即既左正合又右正合），则称 \(M\) 是平坦 \(R\)-模。
因此，张量积函子 \(M \otimes_R -\) 是左正合的，当且仅当 \(M\) 是平坦模。平坦模是环论和同调代数中极其重要的一类模，它们在与张量积相互作用时表现“良好”。
总结一下步骤：
- 从模和张量积 的定义出发。
- 通过固定一个因子，将张量积提升为函子 \(M \otimes_R -\)。
- 在正合序列 的框架下，探讨函子的“正合性”。
- 得出核心结论：张量积函子是右正合但非左正合的。
- 通过一个具体例子（\(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} -\) 作用在乘以2的嵌入映射上）深刻理解“非左正合”的含义。
- 指出恢复左正合性的条件：当 \(M\) 是平坦模时，该函子成为正合函子。
这个过程清晰地展示了如何从基本构造出发，通过范畴化的思考（函子），分析其一般性质（右正合性），发现其缺陷（非左正合性），并最终引出弥补该缺陷的重要概念（平坦性）。这是同调代数中一个非常经典的思想脉络。