哈尔测度的可测映射与齐性空间
字数 3049 2025-12-19 16:49:26

哈尔测度的可测映射与齐性空间

好，我们开始。这个词条结合了可测映射、哈尔测度与齐性空间，是调和分析与遍历理论中的基本概念。

第一步：回顾核心概念

  1. 哈尔测度：对于一个局部紧拓扑群 \(G\)，哈尔测度是定义在其波莱尔集上的一个（在相差正数因子的意义下）唯一的、正则的、左不变的（或右不变的）正测度。左不变意味着对任意波莱尔集 \(A \subset G\) 和任意 \(g \in G\)，有 \(\mu(gA) = \mu(A)\)。

  2. 齐性空间：设 \(G\) 是一个拓扑群，\(H\) 是 \(G\) 的一个闭子群。齐性空间 是指陪集空间 \(G/H = \{ gH : g \in G \}\)，它承载了 \(G\) 通过左平移作用的商拓扑。其核心性质是 \(G\) 可迁地作用在 \(G/H\) 上，即对任意两点 \(xH, yH \in G/H\)，存在 \(g \in G\) 使得 \(g \cdot (xH) = yH\)。

第二步：从群到齐性空间的可测映射

我们要研究的是与群作用“兼容”的可测映射。最重要的情形是：

  • 一个可测映射 \(f: G \rightarrow \mathbb{C}\) 被称为 右 \(H\)-不变的，如果对任意 \(g \in G\) 和任意 \(h \in H\)，有 \(f(gh) = f(g)\)。这样的函数本质上可以看作是定义在齐性空间 \(G/H\) 上的函数，即存在唯一函数 \(\tilde{f}: G/H \rightarrow \mathbb{C}\) 使得 \(f = \tilde{f} \circ \pi\)，其中 \(\pi: G \rightarrow G/H\) 是商映射 \(\pi(g) = gH\)。

  • 关键问题是：何时 \(G/H\) 上的自然 \(\sigma\)-代数（使得 \(\pi\) 可测的最小 \(\sigma\)-代数，即由 \(\pi\) 诱导的 \(\sigma\)-代数）与 \(G/H\) 上的波莱尔 \(\sigma\)-代数一致？在 \(G\) 是局部紧、\(H\) 是闭子群的情形下，商映射 \(\pi\) 是开映射，此时诱导 \(\sigma\)-代数正好是 \(G/H\) 的波莱尔 \(\sigma\)-代数。因此，\(f\) 是波莱尔可测的当且仅当 \(\tilde{f}\) 是波莱尔可测的。

第三步：齐性空间上的哈尔测度（商测度）

这是核心难点。我们希望将 \(G\) 上的哈尔测度“推前”到齐性空间 \(G/H\) 上，得到一个在 \(G\) 作用下具有某种不变性的测度。

  1. 存在性条件：并非所有齐性空间上都存在（在相差常数意义下）唯一的 \(G\)-不变的正则波莱尔测度。其存在性紧密联系于模函数。
  • 回忆：对任意 \(g \in G\)，右平移变换 \(R_g\) 作用于左哈尔测度 \(\mu\) 上，得到一个新测度 \(\mu \circ R_g\)，它也是左不变的，由唯一性，存在一个正数 \(\Delta(g)\) 使得 \(\mu \circ R_g = \Delta(g)^{-1} \mu\)。函数 \(\Delta: G \rightarrow \mathbb{R}^+\) 称为 \(G\) 的模函数。
  • 当 \(H\) 的模函数限制 \(\Delta|_H\) 与 \(H\) 本身的模函数 \(\Delta_H\) 一致时，我们说 \(H\) 是 幺模的 子群。这是存在 \(G\)-不变测度的一个关键条件。
  1. 商测度的构造：假设 \(H\) 是幺模的闭子群。设 \(\mu_G\) 是 \(G\) 的左哈尔测度，\(\mu_H\) 是 \(H\) 的左哈尔测度。则存在一个在相差正数因子下唯一的正则波莱尔测度 \(\nu\) 在 \(G/H\) 上，使得对于所有具有紧支撑的连续函数 \(f \in C_c(G)\)，以下“积分公式”成立：

\[ \int_G f(g) \, d\mu_G(g) = \int_{G/H} \left( \int_H f(gh) \, d\mu_H(h) \right) d\nu(gH). \]

  • 直观解释：要计算 \(f\) 在 \(G\) 上的积分，可以先固定一个陪集 \(gH\)，在它的纤维（即子群 \(H\) 的平移）上对 \(f\) 进行积分（内层对 \(h\) 的积分），得到一个定义在商空间 \(G/H\) 上的函数，然后再对这个函数在商空间上积分（外层对 \(\nu\) 的积分）。
  • 这个测度 \(\nu\) 称为 \(G/H\) 上的 \(G\)-不变测度（或商测度）。它满足：对任意 \(x \in G\) 和任意波莱尔集 \(E \subset G/H\)，有 \(\nu(x \cdot E) = \nu(E)\)，其中 \(x \cdot (gH) = (xg)H\)。

第四步：应用与实例

  1. 例子1：欧氏空间作为平移群的商。令 \(G = \mathbb{R}^n\)（加法群），\(H = \mathbb{Z}^n\)（格点子群）。\(H\) 是离散的，因而是幺模的。商空间 \(G/H = \mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n\) 是 \(n\)-维环面 \(\mathbb{T}^n\)。此时，公式退化，因为 \(H\) 的哈尔测度是计数测度，内层积分是求和。商测度 \(\nu\) 就是环面上的标准勒贝格测度。

  2. 例子2：齐性空间上的积分与韦尔公式。上述积分公式本身就是韦尔积分公式的一种形式。它是将 \(G\) 上的积分分解为“沿着 \(H\)-轨道”的积分和“横跨 \(H\)-轨道”的积分。这是研究齐性空间上分析（如傅里叶分析、表示论）的基础工具。

  3. 例子3：与可测映射的关系。考虑一个可测映射 \(F: G/H \rightarrow Y\) 到另一个可测空间。我们可以通过复合 \(F \circ \pi: G \rightarrow Y\) 得到一个右 \(H\)-不变的可测映射。反过来，任何右 \(H\)-不变的可测映射都唯一地以这种方式产生。这建立了定义在 \(G\) 上但“无视 \(H\)-方向”的映射，与直接定义在商空间 \(G/H\) 上的映射之间的一一对应。这种对应是研究齐性空间上函数空间（如 \(L^p(G/H, \nu)\)）的出发点。

总结
哈尔测度的可测映射与齐性空间理论，本质上是将局部紧群上的调和分析推广到其商空间上。其核心在于：在适当的幺模性条件下，我们可以通过积分公式，从群的哈尔测度诱导出齐性空间上一个自然的、具有不变性的测度。而在此结构下，群上的可测函数与齐性空间上的可测函数通过商映射紧密联系，为在更一般的对称空间上进行分析提供了严格的测度论框架。

哈尔测度的可测映射与齐性空间 好，我们开始。这个词条结合了可测映射、哈尔测度与齐性空间，是调和分析与遍历理论中的基本概念。 第一步：回顾核心概念 哈尔测度 ：对于一个局部紧拓扑群 \( G \)，哈尔测度是定义在其波莱尔集上的一个（在相差正数因子的意义下）唯一的、正则的、左不变的（或右不变的）正测度。左不变意味着对任意波莱尔集 \( A \subset G \) 和任意 \( g \in G \)，有 \( \mu(gA) = \mu(A) \)。 齐性空间 ：设 \( G \) 是一个拓扑群，\( H \) 是 \( G \) 的一个闭子群。 齐性空间 是指陪集空间 \( G/H = \{ gH : g \in G \} \)，它承载了 \( G \) 通过左平移作用的商拓扑。其核心性质是 \( G \) 可迁地作用在 \( G/H \) 上，即对任意两点 \( xH, yH \in G/H \)，存在 \( g \in G \) 使得 \( g \cdot (xH) = yH \)。 第二步：从群到齐性空间的可测映射 我们要研究的是与群作用“兼容”的可测映射。最重要的情形是： 一个可测映射 \( f: G \rightarrow \mathbb{C} \) 被称为 右 \( H \)-不变的 ，如果对任意 \( g \in G \) 和任意 \( h \in H \)，有 \( f(gh) = f(g) \)。这样的函数本质上可以看作是定义在齐性空间 \( G/H \) 上的函数，即存在唯一函数 \( \tilde{f}: G/H \rightarrow \mathbb{C} \) 使得 \( f = \tilde{f} \circ \pi \)，其中 \( \pi: G \rightarrow G/H \) 是商映射 \( \pi(g) = gH \)。 关键问题是：何时 \( G/H \) 上的自然 \( \sigma \)-代数（使得 \( \pi \) 可测的最小 \( \sigma \)-代数，即由 \( \pi \) 诱导的 \( \sigma \)-代数）与 \( G/H \) 上的波莱尔 \( \sigma \)-代数一致？在 \( G \) 是局部紧、\( H \) 是闭子群的情形下，商映射 \( \pi \) 是开映射，此时诱导 \( \sigma \)-代数正好是 \( G/H \) 的波莱尔 \( \sigma \)-代数。因此，\( f \) 是波莱尔可测的当且仅当 \( \tilde{f} \) 是波莱尔可测的。 第三步：齐性空间上的哈尔测度（商测度） 这是核心难点。我们希望将 \( G \) 上的哈尔测度“推前”到齐性空间 \( G/H \) 上，得到一个在 \( G \) 作用下具有某种不变性的测度。 存在性条件 ：并非所有齐性空间上都存在（在相差常数意义下）唯一的 \( G \)-不变的正则波莱尔测度。其存在性紧密联系于 模函数 。 回忆：对任意 \( g \in G \)，右平移变换 \( R_ g \) 作用于左哈尔测度 \( \mu \) 上，得到一个新测度 \( \mu \circ R_ g \)，它也是左不变的，由唯一性，存在一个正数 \( \Delta(g) \) 使得 \( \mu \circ R_ g = \Delta(g)^{-1} \mu \)。函数 \( \Delta: G \rightarrow \mathbb{R}^+ \) 称为 \( G \) 的模函数。 当 \( H \) 的模函数限制 \( \Delta|_ H \) 与 \( H \) 本身的模函数 \( \Delta_ H \) 一致时，我们说 \( H \) 是 幺模的 子群。这是存在 \( G \)-不变测度的一个关键条件。 商测度的构造 ：假设 \( H \) 是幺模的闭子群。设 \( \mu_ G \) 是 \( G \) 的左哈尔测度，\( \mu_ H \) 是 \( H \) 的左哈尔测度。则存在一个在相差正数因子下唯一的正则波莱尔测度 \( \nu \) 在 \( G/H \) 上，使得对于所有具有紧支撑的连续函数 \( f \in C_ c(G) \)，以下“积分公式”成立： \[ \int_ G f(g) \, d\mu_ G(g) = \int_ {G/H} \left( \int_ H f(gh) \, d\mu_ H(h) \right) d\nu(gH). \] 直观解释：要计算 \( f \) 在 \( G \) 上的积分，可以先固定一个陪集 \( gH \)，在它的纤维（即子群 \( H \) 的平移）上对 \( f \) 进行积分（内层对 \( h \) 的积分），得到一个定义在商空间 \( G/H \) 上的函数，然后再对这个函数在商空间上积分（外层对 \( \nu \) 的积分）。 这个测度 \( \nu \) 称为 \( G/H \) 上的 \( G \)- 不变测度 （或 商测度 ）。它满足：对任意 \( x \in G \) 和任意波莱尔集 \( E \subset G/H \)，有 \( \nu(x \cdot E) = \nu(E) \)，其中 \( x \cdot (gH) = (xg)H \)。 第四步：应用与实例 例子1：欧氏空间作为平移群的商 。令 \( G = \mathbb{R}^n \)（加法群），\( H = \mathbb{Z}^n \)（格点子群）。\( H \) 是离散的，因而是幺模的。商空间 \( G/H = \mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n \) 是 \( n \)-维环面 \( \mathbb{T}^n \)。此时，公式退化，因为 \( H \) 的哈尔测度是计数测度，内层积分是求和。商测度 \( \nu \) 就是环面上的标准勒贝格测度。 例子2：齐性空间上的积分与韦尔公式 。上述积分公式本身就是韦尔积分公式的一种形式。它是将 \( G \) 上的积分分解为“沿着 \( H \)-轨道”的积分和“横跨 \( H \)-轨道”的积分。这是研究齐性空间上分析（如傅里叶分析、表示论）的基础工具。 例子3：与可测映射的关系 。考虑一个可测映射 \( F: G/H \rightarrow Y \) 到另一个可测空间。我们可以通过复合 \( F \circ \pi: G \rightarrow Y \) 得到一个右 \( H \)-不变的可测映射。反过来，任何右 \( H \)-不变的可测映射都唯一地以这种方式产生。这建立了定义在 \( G \) 上但“无视 \( H \)-方向”的映射，与直接定义在商空间 \( G/H \) 上的映射之间的一一对应。这种对应是研究齐性空间上函数空间（如 \( L^p(G/H, \nu) \)）的出发点。 总结 哈尔测度的可测映射与齐性空间理论，本质上是将局部紧群上的调和分析推广到其商空间上。其核心在于：在适当的幺模性条件下，我们可以通过积分公式，从群的哈尔测度诱导出齐性空间上一个自然的、具有不变性的测度。而在此结构下，群上的可测函数与齐性空间上的可测函数通过商映射紧密联系，为在更一般的对称空间上进行分析提供了严格的测度论框架。