广义测度（Signed Measure）

字数 3803 2025-12-19 16:27:19

广义测度（Signed Measure）

我将为你系统讲解广义测度的相关知识。广义测度也称为符号测度，是测度论中允许取负值的测度推广。它不仅是实变函数的重要内容，也是分析学、概率论及物理中许多问题的自然框架。

第一步：广义测度的直观动机与定义

在经典测度论中，测度总是非负的。但许多自然现象需要更灵活的“测度”概念：

物理学中的电荷分布：既有正电荷也有负电荷
概率论中的偏差量：某事件发生与不发生的概率差
函数分析中的线性泛函：通过拉东-尼科迪姆导数对应带符号的“密度”

形式定义：
设$(X, \mathcal{F})$为可测空间。一个函数$\nu: \mathcal{F} \rightarrow [-\infty, +\infty]$称为广义测度，如果满足：

$\nu(\emptyset) = 0$
$\nu$至多只能取$+\infty$或$-\infty$中的一个（避免未定型$\infty - \infty$）
（可数可加性）对任意互不相交的可测集列$\{E_n\}$，有

\[\nu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \nu(E_n) \]

且该级数绝对收敛（若$\nu\left(\bigcup E_n\right)$有限）或适当发散。

关键特征：允许取负值，但不允许同时出现正无穷和负无穷。

第二步：基本例子与简单性质

例1：两个测度的差
设$\mu_1, \mu_2$为$(X, \mathcal{F})$上的正测度，且至少一个有限。则$\nu = \mu_1 - \mu_2$是广义测度。

例2：带符号的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度
设$F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$是有界变差函数，则其生成的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度$\nu_F$是广义测度。

性质1：有限可加性与减法性质

$\nu(A \cup B) = \nu(A) + \nu(B)$（若$A \cap B = \emptyset$）
$\nu(A \setminus B) = \nu(A) - \nu(B)$（若$B \subseteq A$且$\nu(B)$有限）

性质2：连续性

若$A_n \uparrow A$，则$\nu(A_n) \rightarrow \nu(A)$
若$A_n \downarrow A$且$|\nu(A_1)| < \infty$，则$\nu(A_n) \rightarrow \nu(A)$

第三步：广义测度的正部、负部与总变差

广义测度的核心结构由哈恩分解定理揭示，在此之前需要引入几个基本概念：

正集、负集与零集：

$P$是正集（对$\nu$）：若对所有可测子集$E \subseteq P$，有$\nu(E) \geq 0$
$N$是负集：若对所有可测子集$E \subseteq N$，有$\nu(E) \leq 0$
零集：既是正集又是负集（即$\nu$在其上恒为零）

总变差测度：
对任意广义测度$\nu$，定义其总变差测度$|\nu|$为：

\[|\nu|(E) = \sup\left\{\sum_{i=1}^{n} |\nu(E_i)| : \{E_i\}_{i=1}^n\text{是}E\text的有限可测分割}\right\} \]

关键性质：

$|\nu|$是正测度（通常可能无穷）
$|\nu|(E) = 0 \iff \nu(A)=0$对所有$A \subseteq E$成立
$|\nu|(X) < \infty \iff \nu$是有限广义测度

第四步：哈恩分解定理（核心结构定理）

这是理解广义测度的最关键定理。

定理（哈恩分解）：
设$\nu$是可测空间$(X, \mathcal{F})$上的广义测度，则存在不交的可测集$P$和$N$使得：

$X = P \cup N$
$P$是正集（对$\nu$）
$N$是负集（对$\nu$）

这样的分解称为哈恩分解，它在$\nu$-零测意义下是唯一的：若$(P', N')$是另一个哈恩分解，则$P \triangle P'$和$N \triangle N'$都是$\nu$-零集。

直观理解：哈恩分解将空间分成两部分，一部分上$\nu$非负，另一部分上$\nu$非正。这相当于在全局坐标系中划出了$\nu$的“正负区域”。

第五步：若尔当分解定理（测度分解）

基于哈恩分解，我们可以构造出具体的正测度来表示$\nu$的正负部分。

定理（若尔当分解）：
设$\nu$是广义测度，$(P, N)$为其哈恩分解。定义：

\[\nu^+(E) = \nu(E \cap P), \quad \nu^-(E) = -\nu(E \cap N) \]

则：

$\nu^+$和$\nu^-$都是正测度（称为$\nu$的正变差和负变差）
$\nu = \nu^+ - \nu^-$
$|\nu| = \nu^+ + \nu^-$（总变差测度正是正负变差之和）
$\nu^+$与$\nu^-$相互奇异：存在不相交集$P, N$使得$\nu^+(N) = \nu^-(P) = 0$

分解的唯一性：若$\nu = \mu_1 - \mu_2$，其中$\mu_1, \mu_2$为正测度且相互奇异，则必有$\mu_1 = \nu^+$，$\mu_2 = \nu^-$。

第六步：有限性、σ有限性与有界变差

广义测度的“大小”概念比正测度更丰富：

定义：

$\nu$是有限广义测度：若$|\nu|(X) < \infty$
$\nu$是σ有限广义测度：若存在可测集列$\{X_n\}$使$X = \bigcup X_n$且$|\nu|(X_n) < \infty$
$\nu$有有界变差：若$|\nu|(X) < \infty$（等价于有限广义测度）

性质：

$\nu$有限 $\iff$ $\nu^+$和$\nu^-$都有限
$\nu$ σ有限 $\iff$ $\nu^+$和$\nu^-$都σ有限
$\nu$有限时，$\nu$可视为有限测度空间上的有符号可加集函数

第七步：广义测度的积分

给定广义测度$\nu$及其若尔当分解$\nu = \nu^+ - \nu^-$，对可测函数$f: X \rightarrow \mathbb{R}$，定义$\nu$-积分为：

\[\int_X f \, d\nu = \int_X f \, d\nu^+ - \int_X f \, d\nu^- \]

当右边两项不都是无穷大时。

积分性质：

线性性：$\int (af + bg) \, d\nu = a\int f \, d\nu + b\int g \, d\nu$
对测度的线性性：$\int f \, d(\nu_1 + \nu_2) = \int f \, d\nu_1 + \int f \, d\nu_2$
不等式：$\left|\int f \, d\nu\right| \leq \int |f| \, d|\nu|$

第八步：拉东-尼科迪姆定理的推广

对广义测度，拉东-尼科迪姆定理依然成立，但需要更细致的表述：

定理：
设$\nu$是σ有限广义测度，$\mu$是σ有限正测度，且$\nu \ll \mu$（$\nu$关于$\mu$绝对连续）。则存在$\mu$-可积函数$f$（称为拉东-尼科迪姆导数）使得：

\[\nu(E) = \int_E f \, d\mu, \quad \forall E \in \mathcal{F} \]

且$f$在$\mu$-几乎处处意义下唯一。

注意：

这里$f$可正可负，对应于$\nu$的正负部分
$f$的绝对值的积分给出$|\nu|$：$|\nu|(E) = \int_E |f| \, d\mu$

第九步：广义测度空间的对偶结构

在函数分析中，广义测度与连续函数空间的对偶性密切相关：

里斯表示定理（测度版本）：
设$X$是紧致豪斯多夫空间，$C(X)$是其上连续实值函数空间。则$C(X)$上每个连续线性泛函$\Lambda$对应唯一的有限广义测度$\nu$，使得：

\[\Lambda(f) = \int_X f \, d\nu, \quad \forall f \in C(X) \]

且$\|\Lambda\| = |\nu|(X)$。

这说明广义测度空间正是连续函数空间的对偶空间之一。

第十步：应用举例

概率论中的带符号测度：马尔可夫链的转移算子、带符号的初始分布
物理中的电荷分布：点电荷、偶极子等模型用广义测度自然描述
复分析中的边界值：调和函数的边界测度表示可能带符号
泛函分析中的谱测度：自伴算子的谱分解涉及投影值测度，其线性组合产生广义测度

总结：
广义测度是测度论的自然扩展，它通过哈恩分解和若尔当分解建立了正负部分的清晰结构，保持了可数可加性等基本性质，同时为分析学提供了强大的工具。理解广义测度是深入学习实分析、泛函分析和现代概率论的基础。

广义测度（Signed Measure）我将为你系统讲解广义测度的相关知识。广义测度也称为符号测度，是测度论中允许取负值的测度推广。它不仅是实变函数的重要内容，也是分析学、概率论及物理中许多问题的自然框架。第一步：广义测度的直观动机与定义在经典测度论中，测度总是非负的。但许多自然现象需要更灵活的“测度”概念：物理学中的电荷分布：既有正电荷也有负电荷概率论中的偏差量：某事件发生与不发生的概率差函数分析中的线性泛函：通过拉东-尼科迪姆导数对应带符号的“密度” 形式定义：设$(X, \mathcal{F})$为可测空间。一个函数$\nu: \mathcal{F} \rightarrow [ -\infty, +\infty]$称为广义测度，如果满足： $\nu(\emptyset) = 0$ $\nu$至多只能取$+\infty$或$-\infty$中的一个（避免未定型$\infty - \infty$）（可数可加性）对任意互不相交的可测集列$\{E_ n\}$，有 $$\nu\left(\bigcup_ {n=1}^{\infty} E_ n\right) = \sum_ {n=1}^{\infty} \nu(E_ n)$$ 且该级数绝对收敛（若$\nu\left(\bigcup E_ n\right)$有限）或适当发散。关键特征：允许取负值，但不允许同时出现正无穷和负无穷。第二步：基本例子与简单性质例1 ：两个测度的差设$\mu_ 1, \mu_ 2$为$(X, \mathcal{F})$上的正测度，且至少一个有限。则$\nu = \mu_ 1 - \mu_ 2$是广义测度。例2 ：带符号的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度设$F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$是有界变差函数，则其生成的勒贝格-斯蒂尔杰斯测度$\nu_ F$是广义测度。性质1 ：有限可加性与减法性质 $\nu(A \cup B) = \nu(A) + \nu(B)$（若$A \cap B = \emptyset$） $\nu(A \setminus B) = \nu(A) - \nu(B)$（若$B \subseteq A$且$\nu(B)$有限）性质2 ：连续性若$A_ n \uparrow A$，则$\nu(A_ n) \rightarrow \nu(A)$ 若$A_ n \downarrow A$且$|\nu(A_ 1)| < \infty$，则$\nu(A_ n) \rightarrow \nu(A)$ 第三步：广义测度的正部、负部与总变差广义测度的核心结构由哈恩分解定理揭示，在此之前需要引入几个基本概念：正集、负集与零集： $P$是正集（对$\nu$）：若对所有可测子集$E \subseteq P$，有$\nu(E) \geq 0$ $N$是负集：若对所有可测子集$E \subseteq N$，有$\nu(E) \leq 0$ 零集：既是正集又是负集（即$\nu$在其上恒为零）总变差测度：对任意广义测度$\nu$，定义其总变差测度 $|\nu|$为： $$|\nu|(E) = \sup\left\{\sum_ {i=1}^{n} |\nu(E_ i)| : \{E_ i\}_ {i=1}^n\text{是}E\text的有限可测分割}\right\}$$ 关键性质： $|\nu|$是正测度（通常可能无穷） $|\nu|(E) = 0 \iff \nu(A)=0$对所有$A \subseteq E$成立 $|\nu|(X) < \infty \iff \nu$是有限广义测度第四步：哈恩分解定理（核心结构定理）这是理解广义测度的最关键定理。定理（哈恩分解）：设$\nu$是可测空间$(X, \mathcal{F})$上的广义测度，则存在不交的可测集$P$和$N$使得： $X = P \cup N$ $P$是正集（对$\nu$） $N$是负集（对$\nu$）这样的分解称为哈恩分解，它在$\nu$-零测意义下是唯一的：若$(P', N')$是另一个哈恩分解，则$P \triangle P'$和$N \triangle N'$都是$\nu$-零集。直观理解：哈恩分解将空间分成两部分，一部分上$\nu$非负，另一部分上$\nu$非正。这相当于在全局坐标系中划出了$\nu$的“正负区域”。第五步：若尔当分解定理（测度分解）基于哈恩分解，我们可以构造出具体的正测度来表示$\nu$的正负部分。定理（若尔当分解）：设$\nu$是广义测度，$(P, N)$为其哈恩分解。定义： $$\nu^+(E) = \nu(E \cap P), \quad \nu^-(E) = -\nu(E \cap N)$$ 则： $\nu^+$和$\nu^-$都是正测度（称为$\nu$的正变差和负变差） $\nu = \nu^+ - \nu^-$ $|\nu| = \nu^+ + \nu^-$（总变差测度正是正负变差之和） $\nu^+$与$\nu^-$ 相互奇异：存在不相交集$P, N$使得$\nu^+(N) = \nu^-(P) = 0$ 分解的唯一性：若$\nu = \mu_ 1 - \mu_ 2$，其中$\mu_ 1, \mu_ 2$为正测度且相互奇异，则必有$\mu_ 1 = \nu^+$，$\mu_ 2 = \nu^-$。第六步：有限性、σ有限性与有界变差广义测度的“大小”概念比正测度更丰富：定义： $\nu$是有限广义测度：若$|\nu|(X) < \infty$ $\nu$是 σ有限广义测度：若存在可测集列$\{X_ n\}$使$X = \bigcup X_ n$且$|\nu|(X_ n) < \infty$ $\nu$有有界变差：若$|\nu|(X) < \infty$（等价于有限广义测度）性质： $\nu$有限 $\iff$ $\nu^+$和$\nu^-$都有限 $\nu$ σ有限 $\iff$ $\nu^+$和$\nu^-$都σ有限 $\nu$有限时，$\nu$可视为有限测度空间上的有符号可加集函数第七步：广义测度的积分给定广义测度$\nu$及其若尔当分解$\nu = \nu^+ - \nu^-$，对可测函数$f: X \rightarrow \mathbb{R}$，定义$\nu$-积分为： $$\int_ X f \, d\nu = \int_ X f \, d\nu^+ - \int_ X f \, d\nu^-$$ 当右边两项不都是无穷大时。积分性质：线性性：$\int (af + bg) \, d\nu = a\int f \, d\nu + b\int g \, d\nu$ 对测度的线性性：$\int f \, d(\nu_ 1 + \nu_ 2) = \int f \, d\nu_ 1 + \int f \, d\nu_ 2$ 不等式：$\left|\int f \, d\nu\right| \leq \int |f| \, d|\nu|$ 第八步：拉东-尼科迪姆定理的推广对广义测度，拉东-尼科迪姆定理依然成立，但需要更细致的表述：定理：设$\nu$是σ有限广义测度，$\mu$是σ有限正测度，且$\nu \ll \mu$（$\nu$关于$\mu$绝对连续）。则存在$\mu$-可积函数$f$（称为拉东-尼科迪姆导数）使得： $$\nu(E) = \int_ E f \, d\mu, \quad \forall E \in \mathcal{F}$$ 且$f$在$\mu$-几乎处处意义下唯一。注意：这里$f$可正可负，对应于$\nu$的正负部分 $f$的绝对值的积分给出$|\nu|$：$|\nu|(E) = \int_ E |f| \, d\mu$ 第九步：广义测度空间的对偶结构在函数分析中，广义测度与连续函数空间的对偶性密切相关：里斯表示定理（测度版本）：设$X$是紧致豪斯多夫空间，$C(X)$是其上连续实值函数空间。则$C(X)$上每个连续线性泛函$\Lambda$对应唯一的有限广义测度$\nu$，使得： $$\Lambda(f) = \int_ X f \, d\nu, \quad \forall f \in C(X)$$ 且$\|\Lambda\| = |\nu|(X)$。这说明广义测度空间正是连续函数空间的对偶空间之一。第十步：应用举例概率论中的带符号测度：马尔可夫链的转移算子、带符号的初始分布物理中的电荷分布：点电荷、偶极子等模型用广义测度自然描述复分析中的边界值：调和函数的边界测度表示可能带符号泛函分析中的谱测度：自伴算子的谱分解涉及投影值测度，其线性组合产生广义测度总结：广义测度是测度论的自然扩展，它通过哈恩分解和若尔当分解建立了正负部分的清晰结构，保持了可数可加性等基本性质，同时为分析学提供了强大的工具。理解广义测度是深入学习实分析、泛函分析和现代概率论的基础。