曲面的主方向与曲率线的微分几何计算
我们之前已经探讨过曲面的主方向与曲率线的定义和几何意义。现在，我们来深入讲解如何从曲面的基本形式出发，具体计算主方向和曲率线的微分方程。这个过程是微分几何中理解曲面局部形状的核心计算步骤。
第一步：回顾基本概念与工具
- 曲面参数化：设曲面 \(S\) 由参数方程 \(\mathbf{r}(u, v)\) 给出，其中 \((u, v)\) 是曲纹坐标。
- 第一基本形式与第二基本形式：
- 第一基本形式系数： \(E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u, \quad F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v, \quad G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v\)。
- 第二基本形式系数： \(L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n}, \quad M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n}, \quad N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n}\)。
- 其中 \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|}\) 是单位法向量。
- 法曲率公式：在一个给定的切方向 \(d\mathbf{r} = \mathbf{r}_u du + \mathbf{r}_v dv\) 上，法曲率 \(\kappa_n\) 由下式给出：
\[ \kappa_n = \frac{II}{I} = \frac{L du^2 + 2M du dv + N dv^2}{E du^2 + 2F du dv + G dv^2}. \]
- 主曲率与主方向定义：主曲率 \(\kappa_1, \kappa_2\) 是法曲率在给定点的极值。达到这些极值的方向 \((du: dv)\) 称为主方向。沿主方向的曲率线是切方向场处处与主方向一致的曲线。
第二步：推导主方向的微分方程
我们的目标是找到切平面内满足主方向条件的非零方向 \((du, dv)\)。
- 利用极值条件：将法曲率 \(\kappa_n\) 视为方向比 \(\lambda = dv/du\) 的函数，并求其极值。更系统的方法是使用拉格朗日乘数法：在约束条件 \(I = 1\)（即单位切方向）下，求 \(II\) 的极值。这等价于求解一个广义特征值问题。
- 特征方程推导：对给定的方向 \((du, dv)\)，如果它是主方向，那么该方向上的法曲率 \(\kappa_n\) 应满足：沿此方向的微分变化 \(d(II - \kappa_n I) = 0\)。经过推导（或从欧拉-拉格朗日方程出发），这等价于如下方程组：
\[ \begin{cases} (L - \kappa_n E) du + (M - \kappa_n F) dv = 0, \\ (M - \kappa_n F) du + (N - \kappa_n G) dv = 0. \end{cases} \]
这是一个关于 \((du, dv)\) 的齐次线性方程组。存在非零解的条件是系数矩阵的行列式为零：
\[ \begin{vmatrix} L - \kappa_n E & M - \kappa_n F \\ M - \kappa_n F & N - \kappa_n G \end{vmatrix} = 0. \]
展开此行列式，得到关于主曲率 \(\kappa_n\) 的二次方程（称为曲率特征方程）：
\[ (EG - F^2) \kappa_n^2 - (EN + GL - 2FM) \kappa_n + (LN - M^2) = 0. \]
其判别式用于区分脐点（两个根相等）和非脐点。
- 主方向方程：对于求出的每个主曲率 \(\kappa\)（即 \(\kappa_1\) 或 \(\kappa_2\)），将其代回上面的齐次方程组，即可解出对应的主方向比 \(du : dv\)。更常见的是，从原齐次方程组中消去 \(\kappa_n\)，得到主方向满足的微分方程：
\[ (EM - FL) du^2 + (EN - GL) du dv + (FN - GM) dv^2 = 0. \]
这个关于 \(du\) 和 \(dv\) 的二次方程的两个解，就给出了两个（通常相互垂直的）主方向。
第三步：推导曲率线的微分方程
曲率线是曲面上的曲线，其切方向处处是主方向。因此，曲率线的方程可以通过主方向方程得到。
- 从主方向到曲线：主方向方程给出了在每一点 \((u, v)\) 上，曲率线切线应满足的方向关系 \(du : dv\)。要得到一条具体的曲线，我们需要一个将相邻点的方向联系起来的微分方程。
- 曲率线微分方程：将主方向方程 \((EM - FL) du^2 + (EN - GL) du dv + (FN - GM) dv^2 = 0\) 视为曲线 \(v = v(u)\) 或 \(u = u(v)\) 的微分方程。它可以分解为两个一阶常微分方程，对应两族相互正交的曲率线。
- 通常，我们可以将其写为：
\[ \begin{vmatrix} dv^2 & -du dv & du^2 \\ E & F & G \\ L & M & N \end{vmatrix} = 0. \]
这个行列式方程是曲率线微分方程的对称形式，包含了两个方程：
\[ (M dv - N du) + \mu (L dv - M du) = 0 \quad \text{（需要结合具体系数求解合适的因子）}。 \]
* 更具体地，求解主方向方程得到的两个解，可以写成：
\[ \frac{dv}{du} = f_1(u, v) \quad \text{和} \quad \frac{dv}{du} = f_2(u, v)。 \]
其中 \(f_1\) 和 \(f_2\) 是通过求解二次方程得到的具体函数表达式。积分这两个方程，就得到两族曲率线。
第四步：计算示例——旋转曲面
以旋转曲面 \(\mathbf{r}(u, v) = (f(v)\cos u, f(v)\sin u, g(v))\) 为例，其中 \(v\) 是母线参数，\(u\) 是旋转角。
- 计算基本量：
- \(\mathbf{r}_u = (-f \sin u, f \cos u, 0)\)， \(\mathbf{r}_v = (f'\cos u, f'\sin u, g')\)。
- \(E = f^2, \quad F = 0, \quad G = f'^2 + g'^2\)。
- 法向量 \(\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|} = \frac{(g'\cos u, g'\sin u, -f')}{\sqrt{f'^2+g'^2}}\)。
- \(\mathbf{r}_{uu} = (-f\cos u, -f\sin u, 0)\)， \(\mathbf{r}_{uv} = (-f'\sin u, f'\cos u, 0)\)， \(\mathbf{r}_{vv} = (f''\cos u, f''\sin u, g'')\)。
- \(L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n} = -f g' / \sqrt{f'^2+g'^2}\)。
- \(M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n} = 0\)。
- \(N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n} = (f''g' - f'g'') / \sqrt{f'^2+g'^2}\)。
- 代入主方向方程：
- 由于 \(F = 0\) 且 \(M = 0\)，主方向方程 \((EM - FL) du^2 + (EN - GL) du dv + (FN - GM) dv^2 = 0\) 简化为：
\[ (E N - G L) du dv = 0。 \]
- 这给出两个解：\(du = 0\) 或 \(dv = 0\)。
- 解释结果：
- \(du = 0\) 对应 \(u = \text{常数}\)，即经线（子午线）。
- \(dv = 0\) 对应 \(v = \text{常数}\)，即纬线（平行圆）。
- 因此，旋转曲面的曲率线就是经线和纬线组成的正交网。计算主曲率可验证，经线方向和纬线方向确实给出了法曲率的极值。
通过这个从一般公式推导到具体实例计算的过程，你应该能够清晰地掌握如何从曲面的基本系数出发，系统地求解其主方向和曲率线。这是分析任意曲面局部几何特性的标准计算方法。