可测函数
字数 2769 2025-10-26 19:16:23

可测函数

  1. 直观背景与动机
    在分析学中，我们经常需要研究函数的积分。对于你已知的黎曼积分，我们处理的是定义在区间上“性质较好”的函数（例如连续函数或只有有限个间断点的函数）。然而，勒贝格积分将积分理论推广到了更广泛的函数类。为了定义勒贝格积分，我们需要一个合适的概念来描述“哪些函数是我们可以尝试去积分的”。可测函数正是这样一个概念：它是定义在测度空间上的、与测度结构“相容”的函数，是勒贝格积分理论中基本的积分对象。

  2. 预备知识：σ-代数
    可测函数的定义依赖于σ-代数的概念。设 \(X\) 是一个集合。\(X\) 上的一个σ-代数 \(\mathcal{M}\) 是 \(X\) 的一些子集构成的集合族，满足：

    • \(X \in \mathcal{M}\)（全集在集合族中）。
    • 如果 \(E \in \mathcal{M}\)，那么它的补集 \(E^c = X \setminus E \in \mathcal{M}\)（对补集封闭）。
    • 如果 \(\{E_n\}_{n=1}^{\infty}\) 是 \(\mathcal{M}\) 中一列可数个集合，那么它们的并集 \(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \in \mathcal{M}\)（对可数并封闭）。

    我们把 \((X, \mathcal{M})\) 称为一个可测空间。\(\mathcal{M}\) 中的集合称为 \(\mathcal{M}\)-可测集（简称可测集）。

  3. 可测函数的定义
    现在，考虑两个可测空间：\((X, \mathcal{M})\) 和 \((Y, \mathcal{N})\)。一个函数 \(f: X \to Y\) 被称为 \((\mathcal{M}, \mathcal{N})\)-可测的，如果对于 \(\mathcal{N}\) 中的每一个集合 \(E\)，它在 \(f\) 下的原像（preimage）都属于 \(\mathcal{M}\)。用符号表示就是：

\[ \forall E \in \mathcal{N}, \quad f^{-1}(E) = \{ x \in X : f(x) \in E \} \in \mathcal{M}. \]

这个定义的核心思想是：函数 \(f\) 将可测集的原像映射回可测集，从而“保持”了可测结构。

  1. 最重要的特例：实值可测函数
    在分析学中最常见的情形是值域为实数（或扩展实数 \(\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\)），并配备博雷尔σ-代数。

    • 博雷尔σ-代数 \(\mathcal{B}\) 是实数集 \(\mathbb{R}\) 上由所有开集生成的最小σ-代数。它包含了所有的开集、闭集、可数多个开集或闭集的交与并等。
    • 当我们说“函数 \(f: X \to \mathbb{R}\) 是可测的”时，如果没有特别说明可测空间，通常默认定义域 \((X, \mathcal{M})\) 是一个测度空间（例如 \(\mathbb{R}^n\) 配上勒贝格可测集），值域 \((\mathbb{R}, \mathcal{B})\) 配备博雷尔σ-代数。

  2. 可测性的等价判别法
    要验证一个函数是否可测，我们不需要检查值域σ-代数中所有集合的原像。一个非常有用的定理指出：如果值域的σ-代数是由某个集合族 \(\mathcal{E}\) 生成的，那么只需要检查 \(\mathcal{E}\) 中所有集合的原像是可测的，就能推出函数是可测的。
    对于实值函数，博雷尔σ-代数可以由开区间族 \(\{ (a, \infty) : a \in \mathbb{R} \}\) 生成。因此，以下陈述是等价的：

    • \(f: X \to \mathbb{R}\) 是可测函数。
    • 对任意实数 \(a\)，集合 \(\{ x \in X : f(x) > a \}\) 是可测集。
    • 对任意实数 \(a\)，集合 \(\{ x \in X : f(x) \geq a \}\) 是可测集。
    • 对任意实数 \(a\)，集合 \(\{ x \in X : f(x) < a \}\) 是可测集。
    • 对任意实数 \(a\)，集合 \(\{ x \in X : f(x) \leq a \}\) 是可测集。
      这大大简化了可测性的验证工作。

  3. 可测函数的运算封闭性
    可测函数类在常见的函数运算下是封闭的，这使得它们非常实用。如果 \(f\) 和 \(g\) 是可测函数，\(c\) 是常数，那么以下函数也是可测的：

    • \(c f\)（数乘）
    • \(f + g\)（加法，需假设运算有定义，例如避免 \(\infty - \infty\)）
    • \(f g\)（乘法）
    • \(|f|\)（绝对值）
    • \(\sup_n f_n\), \(\inf_n f_n\), \(\limsup_{n \to \infty} f_n\), \(\liminf_{n \to \infty} f_n\)（对一列可测函数取上确界、下确界、上极限、下极限）
    • 如果 \(\{f_n\}\) 处处收敛到 \(f\)，那么极限函数 \(f\) 也是可测的。

  4. 简单函数及其重要性
    简单函数是可测函数的一种基本构建模块。它是一个只取有限个实数值的函数。更精确地说，如果存在有限个互不相交的可测集 \(E_1, E_2, \dots, E_n\) 满足 \(X = \bigcup_{i=1}^n E_i\)，以及实数 \(c_1, c_2, \dots, c_n\)，使得函数 \(s(x)\) 在每个 \(E_i\) 上取值为 \(c_i\)，即 \(s(x) = \sum_{i=1}^n c_i \chi_{E_i}(x)\)，其中 \(\chi_{E_i}\) 是集合 \(E_i\) 的指示函数（特征函数），那么 \(s(x)\) 就是一个简单函数。
    重要性：对于任何非负可测函数 \(f\)，存在一列单调递增的非负简单函数 \(\{s_n\}\) 逐点收敛于 \(f\)，即 \(s_n(x) \nearrow f(x)\)。勒贝格积分的定义通常先定义简单函数的积分，然后通过极限过程定义非负可测函数的积分，最后推广到一般可测函数。

可测函数 直观背景与动机 在分析学中，我们经常需要研究函数的积分。对于你已知的黎曼积分，我们处理的是定义在区间上“性质较好”的函数（例如连续函数或只有有限个间断点的函数）。然而，勒贝格积分将积分理论推广到了更广泛的函数类。为了定义勒贝格积分，我们需要一个合适的概念来描述“哪些函数是我们可以尝试去积分的”。可测函数正是这样一个概念：它是定义在测度空间上的、与测度结构“相容”的函数，是勒贝格积分理论中基本的积分对象。 预备知识：σ-代数 可测函数的定义依赖于σ-代数的概念。设 \( X \) 是一个集合。\( X \) 上的一个 σ-代数 \( \mathcal{M} \) 是 \( X \) 的一些子集构成的集合族，满足： \( X \in \mathcal{M} \)（全集在集合族中）。 如果 \( E \in \mathcal{M} \)，那么它的补集 \( E^c = X \setminus E \in \mathcal{M} \)（对补集封闭）。 如果 \( \{E_ n\} {n=1}^{\infty} \) 是 \( \mathcal{M} \) 中一列可数个集合，那么它们的并集 \( \bigcup {n=1}^{\infty} E_ n \in \mathcal{M} \)（对可数并封闭）。 我们把 \( (X, \mathcal{M}) \) 称为一个 可测空间 。\( \mathcal{M} \) 中的集合称为 \( \mathcal{M} \)- 可测集 （简称 可测集 ）。 可测函数的定义 现在，考虑两个可测空间：\( (X, \mathcal{M}) \) 和 \( (Y, \mathcal{N}) \)。一个函数 \( f: X \to Y \) 被称为 \( (\mathcal{M}, \mathcal{N}) \)- 可测的 ，如果对于 \( \mathcal{N} \) 中的每一个集合 \( E \)，它在 \( f \) 下的原像（preimage）都属于 \( \mathcal{M} \)。用符号表示就是： \[ \forall E \in \mathcal{N}, \quad f^{-1}(E) = \{ x \in X : f(x) \in E \} \in \mathcal{M}. \] 这个定义的核心思想是：函数 \( f \) 将可测集的原像映射回可测集，从而“保持”了可测结构。 最重要的特例：实值可测函数 在分析学中最常见的情形是值域为 实数 （或扩展实数 \( \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\} \)），并配备 博雷尔σ-代数 。 博雷尔σ-代数 \( \mathcal{B} \) 是实数集 \( \mathbb{R} \) 上由所有开集生成的最小σ-代数。它包含了所有的开集、闭集、可数多个开集或闭集的交与并等。 当我们说“函数 \( f: X \to \mathbb{R} \) 是可测的”时，如果没有特别说明可测空间，通常默认定义域 \( (X, \mathcal{M}) \) 是一个测度空间（例如 \( \mathbb{R}^n \) 配上勒贝格可测集），值域 \( (\mathbb{R}, \mathcal{B}) \) 配备博雷尔σ-代数。 可测性的等价判别法 要验证一个函数是否可测，我们不需要检查值域σ-代数中所有集合的原像。一个非常有用的定理指出：如果值域的σ-代数是由某个集合族 \( \mathcal{E} \) 生成的，那么只需要检查 \( \mathcal{E} \) 中所有集合的原像是可测的，就能推出函数是可测的。 对于实值函数，博雷尔σ-代数可以由开区间族 \( \{ (a, \infty) : a \in \mathbb{R} \} \) 生成。因此，以下陈述是等价的： \( f: X \to \mathbb{R} \) 是可测函数。 对任意实数 \( a \)，集合 \( \{ x \in X : f(x) > a \} \) 是可测集。 对任意实数 \( a \)，集合 \( \{ x \in X : f(x) \geq a \} \) 是可测集。 对任意实数 \( a \)，集合 \( \{ x \in X : f(x) < a \} \) 是可测集。 对任意实数 \( a \)，集合 \( \{ x \in X : f(x) \leq a \} \) 是可测集。 这大大简化了可测性的验证工作。 可测函数的运算封闭性 可测函数类在常见的函数运算下是封闭的，这使得它们非常实用。如果 \( f \) 和 \( g \) 是可测函数，\( c \) 是常数，那么以下函数也是可测的： \( c f \)（数乘） \( f + g \)（加法，需假设运算有定义，例如避免 \( \infty - \infty \)） \( f g \)（乘法） \( |f| \)（绝对值） \( \sup_ n f_ n \), \( \inf_ n f_ n \), \( \limsup_ {n \to \infty} f_ n \), \( \liminf_ {n \to \infty} f_ n \)（对一列可测函数取上确界、下确界、上极限、下极限） 如果 \( \{f_ n\} \) 处处收敛到 \( f \)，那么极限函数 \( f \) 也是可测的。 简单函数及其重要性 简单函数 是可测函数的一种基本构建模块。它是一个只取有限个实数值的函数。更精确地说，如果存在有限个互不相交的可测集 \( E_ 1, E_ 2, \dots, E_ n \) 满足 \( X = \bigcup_ {i=1}^n E_ i \)，以及实数 \( c_ 1, c_ 2, \dots, c_ n \)，使得函数 \( s(x) \) 在每个 \( E_ i \) 上取值为 \( c_ i \)，即 \( s(x) = \sum_ {i=1}^n c_ i \chi_ {E_ i}(x) \)，其中 \( \chi_ {E_ i} \) 是集合 \( E_ i \) 的指示函数（特征函数），那么 \( s(x) \) 就是一个简单函数。 重要性 ：对于任何非负可测函数 \( f \)，存在一列单调递增的非负简单函数 \( \{s_ n\} \) 逐点收敛于 \( f \)，即 \( s_ n(x) \nearrow f(x) \)。勒贝格积分的定义通常先定义简单函数的积分，然后通过极限过程定义非负可测函数的积分，最后推广到一般可测函数。