幂级数 幂级数是分析学中研究函数表示与性质的重要工具。我们先从一个具体的例子开始。 想象一个多项式函数，比如 f(x) = 1 + x + x² + x³。这是一个有限项的和。幂级数可以看作是这种多项式概念的无限延伸。具体来说，一个以 x=0 为中心的幂级数具有如下形式： ∑_ {n=0}^∞ a_ n x^n = a_ 0 + a_ 1 x + a_ 2 x² + a_ 3 x³ + ... 其中，系数 a_ 0, a_ 1, a_ 2, ... 是固定的常数。 第一个核心问题是：对于任意的 x 值，这个无穷级数都会收敛（即求和得到一个有限的数值）吗？答案是否定的。例如，级数 ∑_ {n=0}^∞ x^n = 1 + x + x² + ...，我们知道当 |x| < 1 时，它收敛于和 1/(1-x)；但当 |x| ≥ 1 时，它发散。这表明，每个幂级数都有一个“收敛区域”。 这个收敛区域具有一个非常优美而重要的性质：存在一个非负数 R（称为 收敛半径 ），使得： 当 |x| < R 时，幂级数绝对收敛（绝对收敛比普通收敛更强，意味着级数的绝对值之和也收敛）。 当 |x| > R 时，幂级数发散。 在边界点 |x| = R 上，收敛性需要单独判断（可能收敛也可能发散）。 收敛半径 R 可以通过柯西-阿达马公式或比值审敛法来求得。例如，对于幂级数 ∑ a_ n x^n，若极限 L = lim_ {n→∞} |a_ {n+1}/a_ n| 存在，则收敛半径 R = 1/L（当 L=0 时，R=∞；当 L=∞ 时，R=0）。 在收敛区间内部，幂级数定义了一个函数 f(x) = ∑_ {n=0}^∞ a_ n x^n。这个函数具有极好的性质： 连续性 ：f(x) 在其收敛区间内是连续的。 逐项可积与逐项可微 ：在收敛区间内的任何闭子区间上，我们可以对幂级数进行“逐项积分”或“逐项求导”，并且得到的新级数具有相同的收敛半径，其和函数正好是原函数 f(x) 的积分或导数。 即： f'(x) = ∑_ {n=1}^∞ n a_ n x^{n-1} ∫₀^x f(t) dt = ∑_ {n=0}^∞ a_ n x^{n+1}/(n+1) 这些性质使得用幂级数表示的函数非常易于进行微积分运算。 幂级数一个最深刻的应用是 泰勒级数 。如果一个函数 f(x) 在点 x=0 的某个邻域内无限可微，那么我们可以形式上构造它的麦克劳林级数： ∑_ {n=0}^∞ [ f⁽ⁿ⁾(0) / n! ] x^n 一个关键问题是：这个级数是否收敛于函数本身？即 f(x) 是否等于其泰勒级数的和？这由 泰勒定理 的余项决定。如果当 n→∞ 时，余项 R_ n(x) → 0，那么该函数就可以用这个幂级数来表示，我们称该函数是 解析函数 。 因此，幂级数不仅提供了表示函数的一种强大方法（如将 e^x, sin(x), cos(x) 等函数表示为幂级数），也为我们研究函数的局部性质提供了强有力的工具。