量子力学中的Hellinger-Toeplitz定理 定义与背景 Hellinger-Toeplitz定理是泛函分析中关于希尔伯特空间上对称算子的一个重要结论。它指出：若一个线性算子 \( A \) 在整个希尔伯特空间 \( \mathcal{H} \) 上定义，且满足对称性（即对所有 \( \phi, \psi \in \mathcal{H} \)，有 \( \langle \phi, A\psi \rangle = \langle A\phi, \psi \rangle \)），则 \( A \) 必然是有界算子。该定理揭示了无界对称算子无法在整个希尔伯特空间上同时保持对称性和定义完备性，这为量子力学中自伴算子的定义提供了关键限制。 数学表述与证明思路 设 \( \mathcal{H} \) 为希尔伯特空间，内积记为 \( \langle \cdot, \cdot \rangle \)，范数 \( \|\cdot\| \)。线性算子 \( A: \mathcal{H} \to \mathcal{H} \) 满足： \[ \langle \phi, A\psi \rangle = \langle A\phi, \psi \rangle, \quad \forall \phi,\psi \in \mathcal{H}. \] 则根据闭图像定理，只需证明 \( A \) 是闭算子。若序列 \( \phi_ n \to \phi \) 且 \( A\phi_ n \to \psi \)，对任意 \( \chi \in \mathcal{H} \)，由内积连续性： \[ \langle \chi, \psi \rangle = \lim_ {n\to\infty} \langle \chi, A\phi_ n \rangle = \lim_ {n\to\infty} \langle A\chi, \phi_ n \rangle = \langle A\chi, \phi \rangle. \] 利用对称性可得 \( \langle \chi, \psi \rangle = \langle \chi, A\phi \rangle \)，从而 \( \psi = A\phi \)，即 \( A \) 是闭算子。结合定义域为全空间，闭图像定理推出 \( A \) 有界。 量子力学中的意义 在量子力学中，可观测量常由自伴算子表示（如动量算符 \( \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx} \)）。Hellinger-Toeplitz定理解释了为什么这类算子通常不能在整个希尔伯特空间上定义：若强行定义全域对称算符，其必须有界，而动量、位置等关键算符无界。因此，必须通过限制定义域（如选取稠密子空间）来构造无界自伴算子，并借助谱理论描述测量结果。 与自伴算子理论的联系 该定理促使物理学家严格区分“对称算子”与“自伴算子”。自伴算子要求对称且定义域等于其伴随算子的定义域（\( D(A) = D(A^* ) \)）。Hellinger-Toeplitz定理表明，若省略定义域限制，对称性将直接推出有界性，从而无法描述典型量子观测。这为冯·诺依曼等人发展无界算子谱理论提供了动机。 应用实例：动量算符的构造 以一维粒子在 \( L^2(\mathbb{R}) \) 为例，动量算符 \( \hat{p} \) 在全域无定义。通过选取定义域为索伯列夫空间 \( H^1(\mathbb{R}) \)（一阶导数平方可积的函数子空间），\( \hat{p} \) 在此稠密子空间上对称但无界。若试图将定义域扩展到整个 \( L^2 \)，根据Hellinger-Toeplitz定理，对称性将强制 \( \hat{p} \) 有界，与实际矛盾，从而凸显了定义域选择的重要性。 拓展与注记 定理可推广到更一般的拓扑向量空间，但量子力学中主要应用于希尔伯特空间。它也关联到“无界算子的自伴延拓”问题，例如通过Cayley变换将对称算子延拓为自伴算子。物理上，这确保了量子系统的可观测量具有实谱，且时间演化算子幺正，从而满足概率守恒。