C*-代数的正规元与连续函数演算（Normal Elements and Continuous Functional Calculus in C*-Algebras）
字数 4647 2025-12-19 09:04:40

C*-代数的正规元与连续函数演算（Normal Elements and Continuous Functional Calculus in C*-Algebras）

我将循序渐进地为你讲解这个概念，每个步骤都会细致展开。

第一步：预备知识回顾与问题引入

我们先简要回顾几个关键概念，以便建立后续讨论的基础。

  1. C*-代数：一个（复）Banach代数 \(A\)（即一个完备的赋范代数，满足 \(\|ab\| \leq \|a\|\|b\|\)），带有一个对合运算 \(*: A \to A\)（即满足 \((a^*)^* = a, (a+b)^* = a^*+b^*, (\lambda a)^* = \overline{\lambda}a^*, (ab)^* = b^*a^*\) 的共轭线性映射），并且满足关键的 C*-恒等式：\(\|a^*a\| = \|a\|^2\) 对所有 \(a \in A\) 成立。
  2. 谱：对于一个有单位元 \(1\) 的 Banach 代数 \(A\) 中的元素 \(a\)，其谱 \(\sigma(a)\) 是所有使得 \(a - \lambda 1\) 在 \(A\) 中不可逆的复数 \(\lambda\) 的集合。谱是一个非空紧集。
  3. 正规元：C*-代数 \(A\) 中的一个元素 \(a\) 如果满足 \(a^*a = aa^*\)，则称 \(a\) 是正规的。也就是说，\(a\) 与其伴随（对合）可交换。常见的例子包括：自伴元（\(a^* = a\)）、酉元（\(a^*a = aa^* = 1\)）以及所有交换 C*-代数中的元素。

核心问题：对于 C*-代数中的一个正规元 \(a\)，我们能否像对矩阵或 Hilbert 空间上的正规算子那样，定义函数 \(f(a)\)？具体来说，我们希望将复值连续函数 \(f\) “作用” 在 \(a\) 上，得到一个良好的映射，这被称为连续函数演算。

第二步：最核心的定理陈述与思路

连续函数演算的核心结论是以下定理：

定理（连续函数演算）：设 \(A\) 是一个有单位元 \(1\) 的 C*-代数，\(a \in A\) 是一个正规元。记 \(\sigma(a)\) 为 \(a\) 的谱，\(C(\sigma(a))\) 为 \(\sigma(a)\) 上全体复值连续函数构成的代数（以逐点运算和上确界范数 \(\|f\|_{\infty} = \sup_{\lambda \in \sigma(a)} |f(\lambda)|\) 构成 Banach 代数）。那么，存在唯一的等距 \(*\)-同构映射 \(\Phi: C(\sigma(a)) \to A\)，满足：

  1. \(\Phi(1) = 1\)（这里 \(1\) 是恒等于 \(1\) 的常数函数）。
  2. \(\Phi(z) = a\)，这里 \(z\) 是恒等函数 \(z(\lambda) = \lambda\)。
  3. 对于任意 \(f \in C(\sigma(a))\)，有 \(\sigma(\Phi(f)) = f(\sigma(a)) := \{f(\lambda): \lambda \in \sigma(a)\}\)（谱映射定理）。

这个定理意味着，对于任意连续函数 \(f \in C(\sigma(a))\)，我们可以无歧义地定义 \(f(a) := \Phi(f)\)，并且这个定义保留了所有代数运算、对合运算和范数关系。

证明思路概览（理解这个思路是掌握该概念的关键）：

  1. 多项式演算：首先，对于多项式函数 \(p(\lambda) = \sum_{k,l} c_{kl} \lambda^k \overline{\lambda}^l\)（注意，由于正规元 \(a\) 和 \(a^*\) 不一定交换，我们需要同时处理 \(a\) 和 \(a^*\)），自然地定义 \(p(a) := \sum_{k,l} c_{kl} a^k (a^*)^l\)。由于 \(a\) 正规，这个代数同态是良定义的。
  2. 交换 C*-子代数：由 \(1, a, a^*\) 生成的子代数 \(C^*(1, a)\) 是一个交换的 C*-代数（因为 \(a\) 正规，其与 \(a^*\) 生成的集合可交换）。我们的目标是将同态从多项式延拓到整个 \(C(\sigma(a))\)。
  3. Gelfand 表示：对于一个交换 C*-代数（如 \(C^*(1, a)\)），其Gelfand表示给出一个等距 \(*\)-同构 \(\Gamma: C^*(1, a) \to C(\Delta)\)，其中 \(\Delta\) 是该代数的极大理想空间（一个紧 Hausdorff 空间）。特别地，\(\Gamma(a)\) 就是恒等函数 \(\hat{a}(\phi) = \phi(a)\) 在 \(\Delta\) 上。
  4. 谱与极大理想空间的识别：一个关键事实是，对于 \(a \in A\)，其谱 \(\sigma(a)\) 与 Gelfand 变换 \(\hat{a}\) 的值域完全一致，即 \(\sigma(a) = \{\phi(a) : \phi \in \Delta\}\)。并且映射 \(\phi \mapsto \phi(a)\) 在 \(\Delta\) 与 \(\sigma(a)\) 之间建立了一个同胚（拓扑等价）。因此，我们可以将 \(C(\Delta)\) 等同于 \(C(\sigma(a))\)。
  5. 延拓与定义：通过 Gelfand 表示 \(\Gamma\)，我们有 \(C^*(1, a) \cong C(\sigma(a))\)。这个同构 \(\Phi^{-1} = \Gamma\) 将 \(a\) 映为函数 \(z\)。反过来，对于任意 \(f \in C(\sigma(a))\)，我们定义 \(f(a) := \Phi(f) = \Gamma^{-1}(f)\)。这就完成了连续函数演算的构造。
  6. 唯一性：由 \(*\)-同态的性质和连续性，一旦确定了 \(1\) 和 \(z\) 的像，它在多项式（由 \(z\) 和 \(\overline{z}\) 生成）上的值就唯一确定了。由于多项式在 \(C(\sigma(a))\) 中稠密（Stone-Weierstrass 定理），连续延拓也是唯一的。

第三步：深入理解与性质

现在我们来详细解读这个定理的几个核心性质和推论。

  1. 运算的保持：
  • 代数同态：\((f+g)(a) = f(a) + g(a), \quad (fg)(a) = f(a)g(a), \quad (\alpha f)(a) = \alpha f(a)\)。
  • 对合同态：\(\overline{f}(a) = (f(a))^*\)。这里 \(\overline{f}\) 表示函数的复共轭。
  • 范数保持（等距）：\(\|f(a)\| = \|f\|_{\infty}\)。这是 C*-恒等式的直接推论：\(\|f(a)\|^2 = \|f(a)^*f(a)\| = \|(\overline{f}f)(a)\| = \|\overline{f}f\|_{\infty} = \|f\|_{\infty}^2\)。

  1. 谱映射定理的再强调：\(\sigma(f(a)) = f(\sigma(a))\)。这是一个极其强大的工具。例如，要判断 \(f(a)\) 是否可逆，只需看 \(0\) 是否在 \(f(\sigma(a))\) 中，即方程 \(f(\lambda)=0\) 在 \(\sigma(a)\) 上是否有解。

  2. 与多项式演算的一致性：如果 \(f\) 本身是一个多项式，那么由连续函数演算定义的 \(f(a)\) 与我们第一步中直观的多项式代入结果完全一致。

  3. 交换性：若 \(b \in A\) 与 \(a\) 交换（即 \(ab=ba\)，并且如果考虑对合，通常还要求 \(b\) 也与 \(a^*\) 交换，或者 \(b\) 本身正规且与 \(a\) 交换），则 \(b\) 与所有 \(f(a)\) 交换。

第四步：重要特例与应用示例

让我们看几个具体的特例，以加深理解：

  1. 自伴元（\(a^* = a\)）：此时 \(\sigma(a) \subset \mathbb{R}\)。我们可以对实数轴上的连续函数 \(f \in C(\sigma(a))\) 定义 \(f(a)\)。特别地，可以定义 \(|a| = \sqrt{a^2}\)（通过函数 \(f(t)=|t|\)），以及 \(a\) 的正部 \(a_+ = \max(a, 0)\) 和负部 \(a_- = \max(-a, 0)\)，它们满足 \(a = a_+ - a_-\)，且 \(a_+ a_- = 0\)。这在算子的极分解、投影值测度中非常关键。

  2. 酉元（\(u^*u = uu^* = 1\)）：此时 \(\sigma(u) \subset \mathbb{T} = \{z \in \mathbb{C}: |z|=1\}\)（单位圆）。我们可以定义 \(u^n\) 对于任意整数 \(n\)（即通过函数 \(f(z)=z^n\)），这自然推广了酉算子的整数幂。更重要的是，我们可以定义连续函数演算，例如 \(u\) 的“角度”函数，虽然这通常需要更精细的 Borel 函数演算来定义对数。

  3. 正规算子的谱定理：在 Hilbert 空间 \(H\) 上，考虑 C*-代数 \(B(H)\)（有界线性算子全体）。若 \(T \in B(H)\) 是正规算子（\(T^*T = TT^*\)），则连续函数演算定理就是谱定理的连续函数形式。它断言存在一个从 \(C(\sigma(T))\) 到 \(B(H)\) 的等距 \(*\)-同态，将恒等函数映为 \(T\)。这是构建谱测度（投影值测度）和更一般的 Borel 函数演算的基石。

第五步：进一步推广与边界

连续函数演算是函数演算理论中最基础、最核心的一步。它的重要性在于提供了一个从连续函数范畴到 C*-代数结构的完美桥梁。在此基础上，可以进一步推广：

  • Borel 函数演算：将函数类从连续函数扩展到有界 Borel 可测函数。这允许我们定义像特征函数 \(\chi_E(a)\)（即谱投影）这样的对象，其中 \(E\) 是 \(\sigma(a)\) 的一个 Borel 子集。这在谱分解和测量量子力学中的观测量时至关重要。
  • 非正规元：对于非正规元，没有这样普适的连续函数演算。但针对特定类型（如亚正规算子）或特定函数类（如全纯函数，通过 Riesz-Dunford 积分），仍有相应的演算理论。

总结：C*-代数中正规元的连续函数演算，通过 Gelfand 表示这一桥梁，将元素 \(a\) 的代数结构与定义在其谱集 \(\sigma(a)\) 上的连续函数的分析结构等同起来。它不仅是理解正规元谱理论的核心工具，也是通往更高级的谱定理、算子理论和量子力学数学基础的必经之路。

C* -代数的正规元与连续函数演算（Normal Elements and Continuous Functional Calculus in C* -Algebras） 我将循序渐进地为你讲解这个概念，每个步骤都会细致展开。 第一步：预备知识回顾与问题引入 我们先简要回顾几个关键概念，以便建立后续讨论的基础。 C* -代数 ：一个（复）Banach代数 \( A \)（即一个完备的赋范代数，满足 \(\|ab\| \leq \|a\|\|b\|\)），带有一个对合运算 \( : A \to A\)（即满足 \((a^ )^* = a, (a+b)^* = a^ +b^ , (\lambda a)^* = \overline{\lambda}a^ , (ab)^ = b^ a^ \) 的共轭线性映射），并且满足关键的 C* -恒等式 ：\(\|a^* a\| = \|a\|^2\) 对所有 \(a \in A\) 成立。 谱 ：对于一个有单位元 \(1\) 的 Banach 代数 \(A\) 中的元素 \(a\)，其 谱 \(\sigma(a)\) 是所有使得 \(a - \lambda 1\) 在 \(A\) 中不可逆的复数 \(\lambda\) 的集合。谱是一个非空紧集。 正规元 ：C* -代数 \(A\) 中的一个元素 \(a\) 如果满足 \(a^ a = aa^ \)，则称 \(a\) 是 正规的 。也就是说，\(a\) 与其伴随（对合）可交换。常见的例子包括：自伴元（\(a^* = a\)）、酉元（\(a^ a = aa^ = 1\)）以及所有交换 C* -代数中的元素。 核心问题 ：对于 C* -代数中的一个正规元 \(a\)，我们能否像对矩阵或 Hilbert 空间上的正规算子那样，定义函数 \(f(a)\)？具体来说，我们希望将复值连续函数 \(f\) “作用” 在 \(a\) 上，得到一个良好的映射，这被称为 连续函数演算 。 第二步：最核心的定理陈述与思路 连续函数演算的核心结论是以下定理： 定理（连续函数演算） ：设 \(A\) 是一个有单位元 \(1\) 的 C* -代数，\(a \in A\) 是一个正规元。记 \(\sigma(a)\) 为 \(a\) 的谱，\(C(\sigma(a))\) 为 \(\sigma(a)\) 上全体复值连续函数构成的代数（以逐点运算和上确界范数 \(\|f\| {\infty} = \sup {\lambda \in \sigma(a)} |f(\lambda)|\) 构成 Banach 代数）。那么，存在唯一的等距 \(* \)-同构映射 \(\Phi: C(\sigma(a)) \to A\)，满足： \(\Phi(1) = 1\)（这里 \(1\) 是恒等于 \(1\) 的常数函数）。 \(\Phi(z) = a\)，这里 \(z\) 是恒等函数 \(z(\lambda) = \lambda\)。 对于任意 \(f \in C(\sigma(a))\)，有 \(\sigma(\Phi(f)) = f(\sigma(a)) := \{f(\lambda): \lambda \in \sigma(a)\}\)（ 谱映射定理 ）。 这个定理意味着，对于任意连续函数 \(f \in C(\sigma(a))\)，我们可以无歧义地定义 \(f(a) := \Phi(f)\)，并且这个定义保留了所有代数运算、对合运算和范数关系。 证明思路概览 （理解这个思路是掌握该概念的关键）： 多项式演算 ：首先，对于多项式函数 \(p(\lambda) = \sum_ {k,l} c_ {kl} \lambda^k \overline{\lambda}^l\)（注意，由于正规元 \(a\) 和 \(a^ \) 不一定交换，我们需要同时处理 \(a\) 和 \(a^ \)），自然地定义 \(p(a) := \sum_ {k,l} c_ {kl} a^k (a^* )^l\)。由于 \(a\) 正规，这个代数同态是良定义的。 交换 C* -子代数 ：由 \(1, a, a^ \) 生成的子代数 \(C^ (1, a)\) 是一个交换的 C* -代数（因为 \(a\) 正规，其与 \(a^* \) 生成的集合可交换）。我们的目标是将同态从多项式延拓到整个 \(C(\sigma(a))\)。 Gelfand 表示 ：对于一个交换 C* -代数（如 \(C^ (1, a)\)），其 Gelfand表示 给出一个等距 \( \)-同构 \(\Gamma: C^* (1, a) \to C(\Delta)\)，其中 \(\Delta\) 是该代数的极大理想空间（一个紧 Hausdorff 空间）。特别地，\(\Gamma(a)\) 就是恒等函数 \(\hat{a}(\phi) = \phi(a)\) 在 \(\Delta\) 上。 谱与极大理想空间的识别 ：一个关键事实是，对于 \(a \in A\)，其谱 \(\sigma(a)\) 与 Gelfand 变换 \(\hat{a}\) 的值域完全一致，即 \(\sigma(a) = \{\phi(a) : \phi \in \Delta\}\)。并且映射 \(\phi \mapsto \phi(a)\) 在 \(\Delta\) 与 \(\sigma(a)\) 之间建立了一个同胚（拓扑等价）。因此，我们可以将 \(C(\Delta)\) 等同于 \(C(\sigma(a))\)。 延拓与定义 ：通过 Gelfand 表示 \(\Gamma\)，我们有 \(C^* (1, a) \cong C(\sigma(a))\)。这个同构 \(\Phi^{-1} = \Gamma\) 将 \(a\) 映为函数 \(z\)。反过来，对于任意 \(f \in C(\sigma(a))\)，我们定义 \(f(a) := \Phi(f) = \Gamma^{-1}(f)\)。这就完成了连续函数演算的构造。 唯一性 ：由 \(* \)-同态的性质和连续性，一旦确定了 \(1\) 和 \(z\) 的像，它在多项式（由 \(z\) 和 \(\overline{z}\) 生成）上的值就唯一确定了。由于多项式在 \(C(\sigma(a))\) 中稠密（Stone-Weierstrass 定理），连续延拓也是唯一的。 第三步：深入理解与性质 现在我们来详细解读这个定理的几个核心性质和推论。 运算的保持 ： 代数同态 ：\( (f+g)(a) = f(a) + g(a), \quad (fg)(a) = f(a)g(a), \quad (\alpha f)(a) = \alpha f(a) \)。 对合同态 ：\( \overline{f}(a) = (f(a))^* \)。这里 \(\overline{f}\) 表示函数的复共轭。 范数保持（等距） ：\(\|f(a)\| = \|f\| {\infty}\)。这是 C* -恒等式的直接推论：\(\|f(a)\|^2 = \|f(a)^* f(a)\| = \|(\overline{f}f)(a)\| = \|\overline{f}f\| {\infty} = \|f\|_ {\infty}^2\)。 谱映射定理的再强调 ：\(\sigma(f(a)) = f(\sigma(a))\)。这是一个极其强大的工具。例如，要判断 \(f(a)\) 是否可逆，只需看 \(0\) 是否在 \(f(\sigma(a))\) 中，即方程 \(f(\lambda)=0\) 在 \(\sigma(a)\) 上是否有解。 与多项式演算的一致性 ：如果 \(f\) 本身是一个多项式，那么由连续函数演算定义的 \(f(a)\) 与我们第一步中直观的多项式代入结果完全一致。 交换性 ：若 \(b \in A\) 与 \(a\) 交换（即 \(ab=ba\)，并且如果考虑对合，通常还要求 \(b\) 也与 \(a^* \) 交换，或者 \(b\) 本身正规且与 \(a\) 交换），则 \(b\) 与所有 \(f(a)\) 交换。 第四步：重要特例与应用示例 让我们看几个具体的特例，以加深理解： 自伴元（\(a^* = a\)） ：此时 \(\sigma(a) \subset \mathbb{R}\)。我们可以对实数轴上的连续函数 \(f \in C(\sigma(a))\) 定义 \(f(a)\)。特别地，可以定义 \(|a| = \sqrt{a^2}\)（通过函数 \(f(t)=|t|\)），以及 \(a\) 的正部 \(a_ + = \max(a, 0)\) 和负部 \(a_ - = \max(-a, 0)\)，它们满足 \(a = a_ + - a_ -\)，且 \(a_ + a_ - = 0\)。这在算子的极分解、投影值测度中非常关键。 酉元（\(u^ u = uu^ = 1\)） ：此时 \(\sigma(u) \subset \mathbb{T} = \{z \in \mathbb{C}: |z|=1\}\)（单位圆）。我们可以定义 \(u^n\) 对于任意整数 \(n\)（即通过函数 \(f(z)=z^n\)），这自然推广了酉算子的整数幂。更重要的是，我们可以定义连续函数演算，例如 \(u\) 的“角度”函数，虽然这通常需要更精细的 Borel 函数演算来定义对数。 正规算子的谱定理 ：在 Hilbert 空间 \(H\) 上，考虑 C* -代数 \(B(H)\)（有界线性算子全体）。若 \(T \in B(H)\) 是正规算子（\(T^ T = TT^ \)），则连续函数演算定理就是 谱定理的连续函数形式 。它断言存在一个从 \(C(\sigma(T))\) 到 \(B(H)\) 的等距 \(* \)-同态，将恒等函数映为 \(T\)。这是构建谱测度（投影值测度）和更一般的 Borel 函数演算的基石。 第五步：进一步推广与边界 连续函数演算是函数演算理论中最基础、最核心的一步。它的重要性在于提供了一个从连续函数范畴到 C* -代数结构的完美桥梁。在此基础上，可以进一步推广： Borel 函数演算 ：将函数类从连续函数扩展到有界 Borel 可测函数。这允许我们定义像特征函数 \(\chi_ E(a)\)（即 谱投影 ）这样的对象，其中 \(E\) 是 \(\sigma(a)\) 的一个 Borel 子集。这在谱分解和测量量子力学中的观测量时至关重要。 非正规元 ：对于非正规元，没有这样普适的连续函数演算。但针对特定类型（如亚正规算子）或特定函数类（如全纯函数，通过 Riesz-Dunford 积分），仍有相应的演算理论。 总结 ：C* -代数中正规元的连续函数演算，通过 Gelfand 表示这一桥梁，将元素 \(a\) 的代数结构与定义在其谱集 \(\sigma(a)\) 上的连续函数的分析结构等同起来。它不仅是理解正规元谱理论的核心工具，也是通往更高级的谱定理、算子理论和量子力学数学基础的必经之路。