图的符号星控制与符号星控制数
字数 2840 2025-12-19 07:04:05

好的，我们来学习一个新词条。

图的符号星控制与符号星控制数

1. 从“控制”的基本概念讲起

在开始“符号星控制”之前，我们必须先理解“控制”在图论中的含义。

  • 图：由 顶点集 和连接这些顶点的 边集 组成的数学结构，用于表示对象及其之间的关系。
  • 邻域：对于一个顶点 v，它的开邻域 N(v) 是指所有与 v 直接相邻的顶点的集合。它的闭邻域 N[v] 则是在开邻域的基础上加上 v 自身，即 N[v] = N(v) ∪ {v}。
  • 支配集：假设我们有一个图 G。图中的一个顶点子集 D 被称为 支配集，如果对于图中任何一个不在 D 中的顶点 u，都存在 D 中的一个顶点 v 与 u 相邻。换句话说，D 以外的每个顶点都至少有一个“邻居”在 D 中。集合 D “控制”或“监视”了整个图。

2. 引入“符号”的概念

传统的控制概念是“有”或“无”的二元判断（一个顶点要么在支配集内，要么不在）。符号控制 对其进行了扩展，引入了权重或赋值的思想。

  • 我们给图中的每个顶点 v 分配一个数字标签 f(v)，这个标签的取值只能是 +1 或 -1（像正电荷和负电荷）。
  • 这个赋值函数 f 就叫做一个 符号控制函数（Signed Dominating Function）。
  • 那么，什么才算一个“有效”的符号控制函数呢？它的规则是：对于图中任何一个顶点 v，它自己以及它所有邻居的标签值之和（即对闭邻域 N[v] 内所有顶点的 f 值求和），必须至少为 1。
  • 用数学公式表达就是：对于所有顶点 v，都有 \(\sum_{u \in N[v]} f(u) \ge 1\)。
  • 符号控制数 \(\gamma_s(G)\) 则定义为，在所有满足上述条件的符号控制函数 f 中，所有顶点标签值之和 \(\sum_{v \in V} f(v)\) 的最小值。

3. 将“星”的概念融入进来

现在，我们在“符号控制”的基础上加入“星”的概念，这改变了我们观察的“范围”。

  • 在标准的符号控制中，我们考察的是一个顶点 v 的闭邻域 N[v]（包括它自己和所有邻居）。
  • 在符号星控制中，我们考察的范围变成了“距离顶点 v 不超过 1 条边的所有顶点”，但不包括 v 自己。这就是顶点 v 的 1-球，或者简单说，就是它的开邻域 N(v)。
  • 核心区别：符号控制关心“一个顶点及其邻居”，符号星控制只关心“一个顶点的邻居们”。

4. 正式定义：符号星控制函数与符号星控制数

基于以上的铺垫，我们现在可以给出精确的定义：

  • 定义（符号星控制函数）：对于一个图 G=(V,E)，一个函数 \(f: V \rightarrow \{+1, -1\}\) 被称为 G 的一个符号星控制函数，如果它满足以下条件：
    对于图中每一个顶点 v，其所有邻居的 f 值之和（即对开邻域 N(v) 求和）都至少为 1。
    用公式表示：\(\forall v \in V, \quad \sum_{u \in N(v)} f(u) \ge 1\)。
  • 解读：这个条件意味着，从任何一个顶点 v 的视角看出去，围绕在它周围的“邻居世界”里，正标签的总和减去负标签的总和，余额必须是正数（至少为1）。它不关心 v 本身是正是负，只关心它的邻居环境。
  • 定义（符号星控制数）：图 G 的符号星控制数，记作 \(\gamma_{ss}(G)\)，是所有符号星控制函数 f 的总权重 \(\sum_{v \in V} f(v)\) 中的最小值。

\[ \gamma_{ss}(G) = \min \left\{ \sum_{v \in V} f(v) : f \text{ 是 } G \text{ 的符号星控制函数} \right\} \]

5. 一个简单的例子

考虑一个最简单的非平凡图：一条由3个顶点 a—b—c 构成的路径图 P₃。

  • 顶点集：{a, b, c}
  • 边集：{ab, bc}

我们来尝试寻找它的符号星控制数。

  • 条件回顾：对每个顶点，其邻居的 f 值之和 ≥ 1。

  • 对于端点 a：它只有一个邻居 b。所以要求 \(f(b) \ge 1\)。由于 f(b) 只能是 +1 或 -1，这迫使我们必须有 f(b) = +1。

  • 同理，对于另一个端点 c：它只有一个邻居 b。要求 \(f(b) \ge 1\)，同样迫使 f(b) = +1。

  • 对于中间点 b：它有两个邻居 a 和 c。要求 \(f(a) + f(c) \ge 1\)。

  • 尝试赋值：

    • 我们已经确定 f(b) = +1。

  • 现在需要安排 f(a) 和 f(c)，使得 \(f(a) + f(c) \ge 1\)，同时希望所有顶点的 f 值总和 \(\sum f(v) = f(a)+f(b)+f(c)\) 尽可能小。

    • 为了让总和最小，我们希望多分配 -1。

  • 如果令 \(f(a) = -1, f(c) = -1\)，那么 \(f(a)+f(c) = -2\)，不满足 b 的条件。

  • 如果令 \(f(a) = +1, f(c) = -1\)，那么 \(f(a)+f(c) = 0\)，仍然不满足条件。

  • 因此，必须令 \(f(a) = +1, f(c) = +1\)。此时 \(f(a)+f(c) = 2 \ge 1\)，满足所有条件。

  • 计算结果：\(\sum f(v) = f(a) + f(b) + f(c) = +1 + +1 + +1 = 3\)。

  • 结论：对于路径图 P₃，其符号星控制数 \(\gamma_{ss}(P₃) = 3\)。

6. 研究意义与拓展

符号星控制数是图控制理论中的一个参数化指标，它衡量了用最“经济”（总权重最小）的 ±1 赋值方式，使每个顶点的邻居环境都保持“净正面”（和至少为1）的难度。

  • 理论价值：它是经典控制概念的众多变体之一，用于研究图在特定赋值规则下的结构性质。研究者关心这个参数在图类（如树、网格图、正则图等）上的上下界、极值图（达到最大或最小值的图）的特征，以及它与图的其他参数（如最小度、阶数、符号控制数）之间的关系。
  • 计算复杂性：确定一个给定图的符号星控制数通常是 NP-难问题，这意味着对于大规模图，没有已知的多项式时间精确算法。因此，寻找近似算法、启发式算法或针对特殊图类的精确算法是重要的研究方向。

通过以上步骤，我们从最基础的控制概念出发，逐步引入了“符号赋值”和“星邻域”的思想，最终定义了图的符号星控制数，并通过一个小例子进行了计算演示。

好的，我们来学习一个新词条。 图的符号星控制与符号星控制数 1. 从“控制”的基本概念讲起 在开始“符号星控制”之前，我们必须先理解“控制”在图论中的含义。 图 ：由 顶点集 和连接这些顶点的 边集 组成的数学结构，用于表示对象及其之间的关系。 邻域 ：对于一个顶点 v ，它的 开邻域 N(v) 是指所有与 v 直接相邻的顶点的集合。它的 闭邻域 N[ v] 则是在开邻域的基础上加上 v 自身，即 N[ v] = N(v) ∪ {v} 。 支配集 ：假设我们有一个图 G。图中的一个顶点子集 D 被称为 支配集 ，如果对于图中任何一个不在 D 中的顶点 u ，都存在 D 中的一个顶点 v 与 u 相邻。换句话说， D 以外的每个顶点都至少有一个“邻居”在 D 中。集合 D “控制”或“监视”了整个图。 2. 引入“符号”的概念 传统的控制概念是“有”或“无”的二元判断（一个顶点要么在支配集内，要么不在）。 符号控制 对其进行了扩展，引入了权重或赋值的思想。 我们给图中的 每个顶点 v 分配一个 数字标签 f(v) ，这个标签的取值只能是 +1 或 -1 （像正电荷和负电荷）。 这个赋值函数 f 就叫做一个 符号控制函数 （Signed Dominating Function）。 那么，什么才算一个“有效”的符号控制函数呢？它的规则是：对于图中 任何一个顶点 v ，它自己以及它所有邻居的标签值之和（即对闭邻域 N[ v] 内所有顶点的 f 值求和），必须 至少为 1 。 用数学公式表达就是：对于所有顶点 v ，都有 \(\sum_ {u \in N[ v ]} f(u) \ge 1\)。 符号控制数 \(\gamma_ s(G)\) 则定义为，在 所有 满足上述条件的符号控制函数 f 中，所有顶点标签值之和 \(\sum_ {v \in V} f(v)\) 的 最小值 。 3. 将“星”的概念融入进来 现在，我们在“符号控制”的基础上加入“星”的概念，这改变了我们观察的“范围”。 在标准的符号控制中，我们考察的是一个顶点 v 的 闭邻域 N[ v] （包括它自己和所有邻居）。 在 符号星控制 中，我们考察的范围变成了“距离顶点 v 不超过 1 条边的所有顶点”，但 不包括 v 自己 。这就是顶点 v 的 1-球 ，或者简单说，就是它的 开邻域 N(v) 。 核心区别 ：符号控制关心“一个顶点及其邻居”，符号星控制只关心“一个顶点的邻居们”。 4. 正式定义：符号星控制函数与符号星控制数 基于以上的铺垫，我们现在可以给出精确的定义： 定义（符号星控制函数） ：对于一个图 G=(V,E) ，一个函数 \(f: V \rightarrow \{+1, -1\}\) 被称为 G 的一个 符号星控制函数 ，如果它满足以下条件： 对于图中 每一个 顶点 v ，其所有邻居的 f 值之和（即对开邻域 N(v) 求和）都 至少为 1 。 用公式表示：\(\forall v \in V, \quad \sum_ {u \in N(v)} f(u) \ge 1\)。 解读 ：这个条件意味着，从任何一个顶点 v 的视角看出去，围绕在它周围的“邻居世界”里，正标签的总和减去负标签的总和，余额必须是正数（至少为1）。它不关心 v 本身是正是负，只关心它的邻居环境。 定义（符号星控制数） ：图 G 的 符号星控制数 ，记作 \(\gamma_ {ss}(G)\)，是所有符号星控制函数 f 的 总权重 \(\sum_ {v \in V} f(v)\) 中的 最小值 。 \[ \gamma_ {ss}(G) = \min \left\{ \sum_ {v \in V} f(v) : f \text{ 是 } G \text{ 的符号星控制函数} \right\} \] 5. 一个简单的例子 考虑一个最简单的非平凡图：一条由3个顶点 a—b—c 构成的路径图 P₃ 。 顶点集：{a, b, c} 边集：{ab, bc} 我们来尝试寻找它的符号星控制数。 条件回顾 ：对每个顶点，其邻居的 f 值之和 ≥ 1。 对于端点 a ：它只有一个邻居 b 。所以要求 \(f(b) \ge 1\)。由于 f(b) 只能是 +1 或 -1，这迫使我们必须有 f(b) = +1 。 同理，对于另一个端点 c ：它只有一个邻居 b 。要求 \(f(b) \ge 1\)，同样迫使 f(b) = +1 。 对于中间点 b ：它有两个邻居 a 和 c 。要求 \(f(a) + f(c) \ge 1\)。 尝试赋值 ： 我们已经确定 f(b) = +1 。 现在需要安排 f(a) 和 f(c) ，使得 \(f(a) + f(c) \ge 1\)，同时希望所有顶点的 f 值总和 \(\sum f(v) = f(a)+f(b)+f(c)\) 尽可能小。 为了让总和最小，我们希望多分配 -1。 如果令 \(f(a) = -1, f(c) = -1\)，那么 \(f(a)+f(c) = -2\)，不满足 b 的条件。 如果令 \(f(a) = +1, f(c) = -1\)，那么 \(f(a)+f(c) = 0\)，仍然不满足条件。 因此，必须令 \(f(a) = +1, f(c) = +1\)。此时 \(f(a)+f(c) = 2 \ge 1\)，满足所有条件。 计算结果 ：\(\sum f(v) = f(a) + f(b) + f(c) = +1 + +1 + +1 = 3\)。 结论 ：对于路径图 P₃ ，其符号星控制数 \(\gamma_ {ss}(P₃) = 3\)。 6. 研究意义与拓展 符号星控制数是图控制理论中的一个 参数化指标 ，它衡量了用最“经济”（总权重最小）的 ±1 赋值方式，使每个顶点的邻居环境都保持“净正面”（和至少为1）的难度。 理论价值 ：它是经典控制概念的众多变体之一，用于研究图在特定赋值规则下的结构性质。研究者关心这个参数在图类（如树、网格图、正则图等）上的上下界、极值图（达到最大或最小值的图）的特征，以及它与图的其他参数（如最小度、阶数、符号控制数）之间的关系。 计算复杂性 ：确定一个给定图的符号星控制数通常是 NP-难问题，这意味着对于大规模图，没有已知的多项式时间精确算法。因此，寻找近似算法、启发式算法或针对特殊图类的精确算法是重要的研究方向。 通过以上步骤，我们从最基础的控制概念出发，逐步引入了“符号赋值”和“星邻域”的思想，最终定义了图的符号星控制数，并通过一个小例子进行了计算演示。