诺特环 诺特环是一类具有良好有限性条件的环，其定义基于理想链的升链条件。理解诺特环需要从环的理想结构入手，逐步分析其性质和应用。 1. 环的理想与升链条件 理想 ：回忆环 \( R \) 的理想是满足封闭性的加法子群，且对任意 \( r \in R \) 和 \( a \in I \) 有 \( ra \in I \)。 升链条件 ：若环 \( R \) 的任意理想升链 \( I_ 1 \subseteq I_ 2 \subseteq \cdots \) 在有限步后稳定（即存在 \( n \) 使得 \( I_ n = I_ {n+1} = \cdots \)），则称 \( R \) 满足 理想升链条件 。 2. 诺特环的定义 若环 \( R \) 的所有理想均满足升链条件，则称 \( R \) 为 诺特环 。 等价定义：\( R \) 的每个理想都是有限生成的（即存在有限集合生成该理想）。 3. 诺特环的典型例子 主理想整环 （如整数环 \( \mathbb{Z} \)）：每个理想由单个元素生成，自然满足升链条件。 域 ：只有平凡理想，显然是诺特环。 多项式环 \( R[ x] \) ：若 \( R \) 是诺特环，则希尔伯特基定理保证 \( R[ x ] \) 也是诺特环。 4. 诺特环的性质 有限生成模的性质 ：若 \( R \) 是诺特环，\( M \) 是有限生成的 \( R \)-模，则 \( M \) 的子模也是有限生成的。 局部化保持性 ：若 \( R \) 是诺特环，\( S \) 是其乘闭子集，则局部化 \( S^{-1}R \) 也是诺特环。 商环保持性 ：诺特环的商环仍是诺特环。 5. 诺特环在代数几何中的应用 诺特环是代数几何中研究仿射簇的基石：仿射代数集对应诺特环的素理想谱。 诺特性保证了代数集的不可约分解存在（即每个代数集可唯一分解为有限个不可约分支）。 6. 非诺特环的反例 考虑无穷多个未定元的多项式环 \( k[ x_ 1, x_ 2, \dots] \)，其理想链 \( (x_ 1) \subset (x_ 1, x_ 2) \subset \cdots \) 永不稳定，因此不是诺特环。 通过以上步骤，诺特环的有限性条件如何影响环的结构、模论及几何应用得以清晰展现。